How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Translator: Rawee Ma

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

วันหนึ่งตอนผมอยู่ ป.4 ครูเคยบอกพวกเราว่า

"There are as many even numbers as there are numbers."

จำนวนคู่และจำนวนทั้งหมดมีจำนวนเท่ากัน

"Really?", I thought.

"จริงหรือ" ผมสงสัย

Well, yeah, there are infinitely many of both,

จริงอยู่ที่ทั้งคู่มีจำนวนเป็นอนันต์

so I suppose there are the same number of them.

ฉะนั้นผมคิดว่าคงมีจำนวนเท่ากัน

But even numbers are only part of the whole numbers,

แต่จำนวนคู่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มทั้งหมด

all the odd numbers are left over,

ที่เหลือทั้งหมดก็ต้องเป็นจำนวนคี่

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

จำนวนเต็มทั้งหมดจึงต้องมีมากกว่า จำนวนคู่ ไม่ใช่หรือ

To see what my teacher was getting at,

เพื่อให้เข้าใจว่าครูของผมจะสื่ออะไร

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

ลองมาคิดกันดูก่อนว่า สองเซตมีขนาดเท่ากันแปลว่าอะไร

What do I mean when I say I have the same number of fingers

ผมหมายความว่าอย่างไร เมื่อบอกว่ามือขวาของผม

on my right hand as I do on left hand?

มีจำนวนนิ้วเท่ามือซ้าย

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

แน่นอนว่ามือแต่ละข้างผมมี 5 นิ้ว แต่อันที่จริงแล้วบอกได้ง่ายกว่านั้น

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

ผมไม่ต้องนับด้วยซ้ำ แค่จับนิ้วคู่กันหนึ่งต่อหนึ่ง

In fact, we think that some ancient people

ที่จริงแล้ว เชื่อกันว่าคนในยุคโบราณบางกลุ่ม

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

ที่พูดภาษาที่ไม่มีคำเรียกจำนวนเกิน 3

used this sort of magic.

ใช้กลวิธีนี้เช่นกัน

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

เช่น หากปล่อยแกะออกจากคอกไปเล็มหญ้า

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

เรานับจำนวนแกะที่เดินออกไปแล้วได้ ด้วยการวางหินหนึ่งก้อนต่อหนึ่งตัว

and putting those stones back one by one when the sheep return,

และเก็บหินทีละก้อนเมื่อแกะกลับเข้าคอก

so you know if any are missing without really counting.

ก็จะทำให้เรารู้ได้ว่าแกะหายหรือเปล่า โดยไม่ต้องนับ

As another example of matching being more fundamental than counting,

อีกตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่า การจับคู่ง่ายกว่าการนับ

if I'm speaking to a packed auditorium,

ถ้าผมกำลังบรรยายให้คนเต็มหอประชุม

where every seat is taken and no one is standing,

ทุกที่นั่งมีคนนั่งและไม่มีคนยืนอยู่

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

ผมจะบอกได้ว่ามีจำนวนที่นั่งเท่าจำนวนผู้ฟัง

even though I don't know how many there are of either.

แม้ผมจะไม่รู้ว่ามีจำนวนทั้งคู่ก็ตาม

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

ดังนั้น เวลาที่เราบอกว่า เซตสองเซตมีขนาดเท่ากัน

is that the elements in those sets

จึงหมายความว่าสมาชิกของเซตนั้น ๆ

can be matched up one by one in some way.

จับคู่กันได้แบบหนึ่งต่อหนึ่ง

My fourth grade teacher showed us

ครู ป.4 ผมเขียนแถวจำนวนเต็มให้ผมดู

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

จำนวนเลขทั้งหมดอยู่บนแถว แถวล่างที่มีค่าเป็นสองเท่าของแถวบน

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

จะเห็นว่าแถวล่างเป็นจำนวนคู่ทั้งหมด

and we have a one-to-one match.

และจับคู่กับแถวบนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

หมายความว่า จำนวนคู่ และจำนวนนับมีจำนวนเท่ากัน

But what still bothers us is our distress

แต่เราอาจข้องใจ

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

เพราะจำนวนคู่ดูเป็นเพียงส่วนหนึ่ง ของจำนวนเต็ม

But does this convince you

ถ้าผมทำแบบนี้ คุณคิดว่า

that I don't have the same number of fingers

ผมมีนิ้วมือข้างซ้าย

on my right hand as I do on my left?

ไม่เท่ามือข้างขวาหรือเปล่า

Of course not.

แน่นอนว่าไม่

It doesn't matter if you try to match

ไม่สำคัญว่าเราพยายาม

the elements in some way and it doesn't work,

หาวิธีจับคู่สมาชิกแล้วไม่ได้ผล

that doesn't convince us of anything.

นั่นไม่ได้บอกอะไรเราเลย

If you can find one way

ถ้าเราหาวิธีจับคู่สมาชิก

in which the elements of two sets do match up,

ของเซตสองเซตได้

then we say those two sets have the same number of elements.

เราจะพูดว่าเซตทั้งสองนั้น มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน

Can you make a list of all the fractions?

คุณไล่เศษส่วนทั้งหมดได้ไหม

This might be hard, there are a lot of fractions!

อาจยากสักหน่อย เพราะเศษส่วนมีอยู่มากมาย

And it's not obvious what to put first,

และคุณอาจนึกไม่ออกว่าจะขึ้นต้นด้วยอันไหนดี

or how to be sure all of them are on the list.

หรืออาจไม่มั่นใจว่าใส่ครบแล้วทั้งหมด

Nevertheless, there is a very clever way

กระนั้น วิธีอันชาญฉลาด

that we can make a list of all the fractions.

ที่ช่วยให้เราไล่เศษส่วนทั้งหมดได้

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

วิธีนี้คิดขึ้นครั้งแรกโดยเกออร์ก คันทอร์ ในปลายศตวรรษที่ 19

First, we put all the fractions into a grid.

ก่อนอื่น นำเศษส่วนทั้งหมดมาใส่ลงในตาราง

They're all there.

ทุกอย่างอยู่ในนั้น

For instance, you can find, say, 117/243,

จะมีครบทุกจำนวน เช่น 117/243

in the 117th row and 243rd column.

อยู่ในแถวที่ 117 สดมภ์ที่ 223

Now we make a list out of this

จากนั้น จึงไล่เศษส่วน

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

จากมุมซ้ายบนแล้วทแยงกลับไปมา

skipping over any fraction, like 2/2,

ข้ามเศษส่วนที่ซ้ำ

that represents the same number as one the we've already picked.

กับจำนวนที่เลือกไปแล้วก่อนหน้า เช่น 2/2

We get a list of all the fractions,

ก็จะได้รายการเศษส่วนทั้งหมด

which means we've created a one-to-one match

นั่นแปลว่าเราจะได้คู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง

between the whole numbers and the fractions,

ระหว่างจำนวนเต็มทั้งหมดและเศษส่วน

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

แม้เราอาจคิดว่าเศษส่วน น่าจะมีมากกว่าก็ตาม

OK, here's where it gets really interesting.

แต่ที่น่าสนใจก็คือ

You may know that not all real numbers

คุณอาจพอรู้ว่าจำนวนจริง

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

หรือจำนวนที่อยู่บนเส้นจำนวน ไม่ได้เป็นเศษส่วนทุกตัว

The square root of two and pi, for instance.

เช่น รากที่สองของ 2 และพาย

Any number like this is called irrational.

จำนวนเช่นนี้เรียก จำนวนอตรรกยะ

Not because it's crazy, or anything,

ไม่ใช่เพราะไร้ตรรกะหรืออะไร

but because the fractions are ratios of whole numbers,

แต่เพราะเศษส่วน คืออัตราส่วนของจำนวนเต็ม

and so are called rationals;

จึงเรียกจำนวนตรรกยะ

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

หมายความว่า ที่เหลือไม่ใช่จำนวนตรรกยะ หรือเป็นอตรรกยะนั่นเอง

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

จำนวนอตรรกยะ คือทศนิยมไม่รู้จบที่ไม่ซ้ำ

So, can we make a one-to-one match

คำถามคือ เราจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง

between the whole numbers and the set of all the decimals,

ระหว่างจำนวนเต็ม เซตของจำนวนทศนิยมทั้งหมด

both the rationals and the irrationals?

ทั้งแบบตรรกยะและอตรรกยะได้หรือไม่

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

พูดอีกอย่างคือ เราไล่เรียงจำนวนทศนิยมทั้งหมดได้หรือไม่

Cantor showed that you can't.

คันทอร์พิสูจน์ให้เห็นว่าทำไม่ได้

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

ไม่ใช่แค่ว่าเราไม่รู้วิธี แต่เป็นสิ่งที่ทำไม่ได้

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

สมมติว่าคุณอ้างว่าไล่เรียงทศนิยมได้ทั้งหมด

I'm going to show you that you didn't succeed,

ผมจะแสดงให้ดูว่าคุณไล่ได้ไม่ครบ

by producing a decimal that is not on your list.

ด้วยการสร้างทศนิยม ที่ไม่ได้อยู่ในรายการของคุณ

I'll construct my decimal one place at a time.

ผมจะสร้างทศนิยมทีละตำแหน่ง

For the first decimal place of my number,

ทศนิยมตำแหน่งแรกของผม

I'll look at the first decimal place of your first number.

ผมจะดูทศนิยมตำแหน่งแรก ของจำนวนแรกของคุณ

If it's a one, I'll make mine a two;

ถ้าเป็นเลข 1 ผมจะให้ของผมเป็น 2

otherwise I'll make mine a one.

ถ้าไม่ใช่ ผมจะให้เป็น 1

For the second place of my number,

ส่วนตำแหน่งที่สอง

I'll look at the second place of your second number.

ผมจะดูจากตำแหน่งที่สอง ของจำนวนที่สองของคุณ

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

เหมือนเดิม ถ้าเป็นเลข 1 ผมจะให้ของผมเป็น 2

and otherwise I'll make mine a one.

ถ้าไม่ใช่ ผมจะให้เป็น 1

See how this is going?

เห็นหรือยังว่าจะเป็นอย่างไร

The decimal I've produced can't be on your list.

ทศนิยมที่ผมสร้าง ไม่มีทางอยู่ในรายการของคุณ

Why? Could it be, say, your 143rd number?

ทำไมล่ะ ไม่ซ้ำกับเลขที่ 143 ของคุณเหรอ

No, because the 143rd place of my decimal

ไม่ซ้ำ เพราะทศนิยมตำแหน่งที่ 143 ของผม

is different from the 143rd place of your 143rd number.

ก็ต่างจากทศนิยมตำแหน่งที่ 143 ของตัวเลขที่ 143 ของคุณอยู่ดี

I made it that way.

เพราะผมทำให้เป็นแบบนั้น

Your list is incomplete.

คุณไล่อย่างไรก็ไม่ครบ

It doesn't contain my decimal number.

เพราะไม่มีจำนวนทศนิยมของผม

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

และไม่ว่ารายการของคุณเป็นอย่างไร ผมก็ทำเช่นนี้ได้

and produce a decimal that's not on that list.

และสร้างทศนิยม ที่ไม่อยู่ในรายการของคุณได้

So we're faced with this astounding conclusion:

เราจึงได้ข้อสรุปอันน่าทึ่ง

The decimal numbers cannot be put on a list.

นั่นคือ เราไล่รายการจำนวนทศนิยมไม่ได้

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

เป็นอนันต์ที่ใหญ่กว่าอนันต์ของจำนวนเต็ม

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

ฉะนั้น แม้เราจะชินกับจำนวนอตรรกยะไม่กี่ตัว

like square root of two and pi,

เช่น รากที่สองของ 2 และพาย

the infinity of irrationals

แต่อนันต์ของจำนวนอตรรกยะ

is actually greater than the infinity of fractions.

แท้จริงแล้วใหญ่กว่า อนันต์ของเศษส่วน

Someone once said that the rationals

เคยมีคนกล่าวไว้ว่าจำนวนตรรกยะ

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

หรือเศษส่วน เหมือนดาวบนฟ้ายามราตรี

The irrationals are like the blackness.

ส่วนจำนวนอตรรกยะคือความมืดมิด

Cantor also showed that, for any infinite set,

คันทอร์ยังแสดงให้เห็นด้วยว่า ในเซตอนันต์ใด ๆ ก็ตาม

forming a new set made of all the subsets of the original set

การสร้างเซตใหม่ จากเซตย่อยทั้งหมดของเซตตั้งต้น

represents a bigger infinity than that original set.

จะได้อนันต์ที่ใหญ่กว่า อนันต์ของเซตตั้งต้น

This means that, once you have one infinity,

หมายความว่าเมื่อมีอนันต์หนึ่งแล้ว

you can always make a bigger one

เราทำให้อนันต์นั้นใหญ่กว่าเดิมได้เสมอ

by making the set of all subsets of that first set.

ด้วยการสร้างเซต จากเซตย่อยทั้งหมดของเซตแรกนั้น

And then an even bigger one

และสร้างอนันต์ที่ใหญ่กว่าอีก

by making the set of all the subsets of that one.

ด้วยการสร้างเซตจากเซตย่อยทั้งหมดของเซตนั้น

And so on.

ต่อไปเรื่อย ๆ

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

ดังนั้น จึงมีอนันต์นับไม่ถ้วน ที่มีขนาดต่างกันไป

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

หากคุณไม่ชอบใจแนวคิดนี้ คุณไม่ใช่คนเดียว

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดบางคน ในสมัยคันทอร์

were very upset with this stuff.

ก็ไม่ชอบแนวคิดนี้เช่นกัน

They tried to make these different infinities irrelevant,

และพยายามเขี่ยแนวคิดอนันต์ ที่มีขนาดไม่เท่ากันนี้ทิ้ง

to make mathematics work without them somehow.

ให้คณิตศาสตร์ไม่มีแนวคิดนี้

Cantor was even vilified personally,

คันทอร์ถึงขนาดถูกพูดให้ร้าย

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

และเขาเริ่มมีอาการหนัก ถึงขนาดเป็นโรคซึมเศร้าอย่างรุนแรง

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

เข้าออกโรงพยาบาลโรคจิต ตลอดครึ่งหลังของชีวิต

But eventually, his ideas won out.

แต่ท้ายที่สุด แนวคิดของเขาก็เป็นที่ยอมรับ

Today, they're considered fundamental and magnificent.

ทุกวันนี้ แนวคิดเหล่านี้ถือว่า เป็นพื้นฐานและล้ำเลิศ

All research mathematicians accept these ideas,

นักคณิตศาสตร์วิจัยทุกคนล้วนยอมรับแนวคิดนี้

every college math major learns them,

นักเรียนเอกคณิตศาสตร์ทุกคนต้องเรียน

and I've explained them to you in a few minutes.

และผมเพิ่งอธิบายให้คุณฟังเมื่อไม่กี่นาที

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

ไม่แน่ว่าสักวันหนึ่ง แนวคิดนี้อาจเป็นความรู้ทั่วไป

There's more.

ยังไม่หมดแต่เพียงเท่านี้

We just pointed out that the set of decimal numbers

เราเพิ่งดูกันไปว่าเซตของจำนวนทศนิยม

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

ซึ่งก็คือ จำนวนจริงนั้น เป็นอนันต์ที่ใหญ่กว่า

than the set of whole numbers.

เซตจำนวนเต็มทั้งหมด

Cantor wondered whether there are infinities

คันทอร์สงสัยว่ามีอนันต์ขนาดอื่นๆ ระหว่าง

of different sizes between these two infinities.

อนันต์ทั้งสองนี้หรือไม่

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

เขาเชื่อว่าไม่มี แต่พิสูจน์ไม่ได้

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

การคาดการณ์ของคันทอร์นี้ กลายเป็นที่รู้จักในนาม สมมติฐานความต่อเนื่อง

In 1900, the great mathematician David Hilbert

ในปีพ.ศ. 2443 นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เดวิด ฮิลเบิร์ต

listed the continuum hypothesis

ยกให้สมมติฐานความต่อเนื่อง

as the most important unsolved problem in mathematics.

เป็นโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยังไม่มีคำตอบ ที่สำคัญที่สุด

The 20th century saw a resolution of this problem,

ในศตวรรษที่ 20 คำถามนี้ได้รับการไขปริศนา

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

แต่ด้วยวิธีเหนือการคาดคิด และเปลี่ยนประบวนทัศน์ไปอย่างสิ่นเชิง

In the 1920s, Kurt Gödel showed

ในช่วงปีพ.ศ. 2463 เคิร์ท โกเดล

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

แสดงให้เห็นว่าเราพิสูจน์ไม่ได้ว่า สมมติฐานความต่อเนื่องไม่เป็นจริง

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

ต่อมาในช่วงปีค.ศ.1960 พอล เจ โคเอิน แสดงให้เห็นว่า

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

เราพิสูจน์ไม่ได้ว่า สมมติฐานความต่อเนื่องเป็นจริง

Taken together, these results mean

เมื่อรวมกัน ผลที่ได้คือ

that there are unanswerable questions in mathematics.

คำถามทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีคำตอบ

A very stunning conclusion.

นับเป็นข้อสรุปที่น่าตกใจ

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

คณิตศาสตร์ถือกันว่า เป็นสุดยอดของการใช้เหตุผลของมนุษย์

but we now know that even mathematics has its limitations.

แต่เรารู้แล้วว่าแม้คณิตศาสตร์ก็ยังมีข้อจำกัด

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

แม้กระนั้น คณิตศาสตร์ยังเป็นเรื่องน่าพิศวง อย่างแท้จริง ให้เราได้ขบคิด