How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Cât de mare este infinitul?

Traducător: Adriana Oprisa Corector: Ariana Bleau Lugo

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Când eram în clasa a IV-a, profesorul ne-a spus într-o zi:

"There are as many even numbers as there are numbers."

„Există tot atâtea numere pare câte numere există."

"Really?", I thought.

„Serios?” m-am gândit.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

Ei bine, da, există o infinitate din ambele, deci e corect.

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Însă, cele pare sunt o parte din întreg, cele impare alta,

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

deci trebuie să fie mai multe numere întregi decât numere pare, nu?

To see what my teacher was getting at,

Ca să înțelegem, să vedem ce înseamnă când două seturi au aceeaşi mărime.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

Ce înseamnă când spun că am acelaşi număr de degete la ambele mâini?

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Am cinci degete la fiecare, dar e mai simplu de atât.

Dacă le suprapun, nu trebuie să le număr ca să verific.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

În antichitate unele limbi vorbite de oameni

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

nu aveau cuvinte pentru numere mai mari decât trei.

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Dacă îţi laşi oile să pască,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

ştii câte au ieşit dacă aşezi pentru fiecare câte o piatră,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

pe care o iei când oile se întorc de la păşune,

so you know if any are missing without really counting.

şi aşa ştii câte lipsesc fără să numeri.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Un alt exemplu mai bun decât numărarea e următorul:

if I'm speaking to a packed auditorium,

dacă vorbesc într-o sală plină, cu scaunele ocupate şi nimeni în picioare.

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

Știu că există acelaşi număr de scaune ca și oameni,

even though I don't know how many there are of either.

chiar dacă nu ştiu câte sunt de fiecare.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Când spunem că două seturi sunt de aceeaşi mărime

is that the elements in those sets

înseamnă că elementele lor pot fi potrivite în perechi.

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

Profesorul a înşirat numerele pe rând şi dedesubt a plasat dublul lor.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

Vedem că pe rândul de jos sunt numere pare şi alcătuiesc perechi.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Adică, există atâtea numere pare câte numere sunt.

But what still bothers us is our distress

Ne preocupă însă că numerele pare par a fi o parte din total.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

But does this convince you

Asta înseamnă că nu am acelaşi număr de degete la mâini?

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

Sigur nu. Faptul că nu putem potrivi elementele

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

nu înseamnă nimic.

that doesn't convince us of anything.

Dacă găsim un mod în care elementele a două seturi se potrivesc,

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

atunci spunem că cele două au acelaşi număr de elemente.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

Putem face o listă a fracţiilor? E greu, sunt multe!

This might be hard, there are a lot of fractions!

And it's not obvious what to put first,

Nu ştim cu ce să începem sau cum să le listăm pe toate.

or how to be sure all of them are on the list.

Nevertheless, there is a very clever way

Totuși, există o modalitate deşteaptă de a face o listă a fracţiilor.

that we can make a list of all the fractions.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Georg Cantor a făcut asta la sfârşitul secolului XIX.

First, we put all the fractions into a grid.

Întâi, punem toate fracţiile într-o grilă. Toate.

They're all there.

De exemplu, găsim117/243 pe rândul 117, coloana 223.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

Now we make a list out of this

Facem o listă din stânga sus, coborând înapoi pe diagonală,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

sărind peste orice fracție, ca 2/2, care e acelaşi număr ca cel ales deja.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

Așa obținem lista tuturor fracţiilor, adică am creat o potrivire

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

între numerele întregi şi fracţii,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

deşi credeam că poate ar trebui să existe mai multe fracţii.

Aici devine interesant.

OK, here's where it gets really interesting.

Ştiţi că nu toate numerele reale înșirate pe o linie sunt fracţii.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

Rădăcina pătrată a lui 2 sau π, de exemplu.

Any number like this is called irrational.

Orice astfel de număr e iraţional. Nu înseamnă că e nebun,

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

dar pentru că fracţiile sunt rații de numere întregi sunt numite raţionale;

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

iar restul sunt iraţionale.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Numerele iraţionale au un număr infinit de zecimale non-repetitive.

So, can we make a one-to-one match

Oare putem potrivi numerele întregi şi cele cu zecimale,

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

și raţionale şi iraţionale?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Putem face o listă a tuturor numerelor zecimale?

Cantor showed that you can't.

Candor a arătat că nu poți.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Nu pentru că nu ştim cum, pur și simplu nu se poate.

Dacă susțineţi că aveţi o listă a tuturor numerelor zecimale,

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

vă demonstrez că nu e aşa,

by producing a decimal that is not on your list.

creând un număr zecimal care nu e pe listă.

I'll construct my decimal one place at a time.

Voi construi numărul zecimal adăugând câte o zecimală.

For the first decimal place of my number,

Pentru prima zecimală, mă uit la locul primei zecimale al primului număr.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Dacă e 1, la mine trec 2; altfel, trec la mine un 1.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

Pe locul doi al numărului meu,

I'll look at the second place of your second number.

mă uit la locul doi al celui de-al doilea număr.

Iarăşi, dacă la voi e 1, la mine va fi 2, altfel, trec la mine 1.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

Vedeţi cum funcţionează? Zecimalele mele nu există la voi.

The decimal I've produced can't be on your list.

De ce? Ar putea fi al 143-lea număr?

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

Nu, pentru că locul celui de-al 143-lea loc al zecimalei mele

is different from the 143rd place of your 143rd number.

diferă de acelaşi loc al zecimalei voastre.

I made it that way.

Your list is incomplete.

Lista voastră e incompletă. Nu conţine zecimalele mele.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Indiferent de listă, pot produce un număr zecimal care nu-i pe lista ta.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Ne confruntăm cu o concluzie surprinzătoare:

The decimal numbers cannot be put on a list.

numerele zecimale nu pot fi puse pe o listă.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Reprezintă o infinitate mai mare decât a numerelor întregi.

Chiar dacă suntem familiari doar cu o parte a numerelor iraționale,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

ca rădăcina pătrată sau Pi,

the infinity of irrationals

infinitatea iraţionalelor e mai mare decât infinitatea fracţiilor.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Cineva a spus că dacă fracţiile sunt ca stelele pe cerul întunecat;

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

numerele iraţionalele sunt ca întunericul.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor a arătat că, pentru orice set infinit,

forming a new set made of all the subsets of the original set

formarea unui nou set alcătuit din toate subseturile setului original

represents a bigger infinity than that original set.

reprezintă o infinitate mai mare decât setul original.

This means that, once you have one infinity,

Asta înseamnă că, odată ce ai o infinitate,

you can always make a bigger one

poţi obţine oricând una mai mare, făcând un set al subsetului primului set.

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

Şi apoi unul și mai mare,

by making the set of all the subsets of that one.

alcătuind un set al tuturor subseturilor acestuia etc.

And so on.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Așadar, există un număr infinit de infinităţi de mărimi diferite.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Dacă această ideea te amețește, nu ești singur.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

Unii matematicieni contemporani cu Cantor nu erau de acord.

were very upset with this stuff.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Au încercat să facă irelevante aceste diferite infinităţi,

to make mathematics work without them somehow.

să le excludă din matematică.

Cantor a fost criticat atât de mult încât a intrat în depresie,

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

şi restul vieţii l-a petrecut în mare parte prin instituţii mentale.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

Însă ideile sale au câştigat.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Astăzi, sunt considerate fundamentale şi magnifice.

All research mathematicians accept these ideas,

Toţi matematicienii le acceptă, studenții de la Matematică le învaţă,

every college math major learns them,

iar eu ți le-am explicat în câteva minute.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Poate într-o zi vor fi înțelese de toată lumea.

There's more.

Încă ceva. Am subliniat că setul de numere zecimale, numerele reale,

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

sunt o infinitate mai mare decât setul numerelor întregi.

Cantor wondered whether there are infinities

Candor s-a întrebat dacă există infinităţi

of different sizes between these two infinities.

de dimensiuni diferite între aceste două infinităţi.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Nu credea că există, dar nu putea demonstra.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Ipoteza lui Candor a devenit cunoscută ca Ipoteza Continuumului.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

În 1900, matematicianul David Hilbert

listed the continuum hypothesis

a menţionat ipoteza continuumului ca cea mai importantă

as the most important unsolved problem in mathematics.

problemă nerezolvată în matematică.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Secolul XX a rezolvat acestă problemă, neaşteptat,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

printr-o schimbare radicală a paradigmei.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

În 1920, Kurt Godel a arătat că nu se poate demonstra

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

că ipoteza continumuului e falsă.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Apoi, în 1960, Paul Cohen a arătat

că nu putem demonstra că e adevărată.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Împreună, aceste două rezultate arată

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

că există întrebări fără răspuns în matematică.

A very stunning conclusion.

O concluzie uimitoare!

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Matematica e pe drept considerată apogeul raţionamentului uman,

but we now know that even mathematics has its limitations.

dar acum ştim că până şi ea își are limitele sale.

Și totuși, matematica are multe lucruri minunate la care să ne gândim.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.