How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Translator: Ruby Phan Reviewer: Duong Dinh

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Khi tôi vào lớp 4, một ngày giáo viên nói với chúng tôi rằng

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Có bao nhiêu số chẵn thì có bấy nhiêu con số"

"Really?", I thought.

"Thật sao?", tôi nghĩ.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

Chắc vậy, cả hai đều có rất nhiều,

so I suppose there are the same number of them.

nên cứ cho là bằng nhau vậy."

But even numbers are only part of the whole numbers,

Nhưng mặt khác, số chẵn chỉ là một phần của số nguyên,

all the odd numbers are left over,

còn lại là số lẻ,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

như vậy số nguyên nhiều hơn số chẵn, đúng chứ?

To see what my teacher was getting at,

Để hiểu điều thầy tôi đang hướng đến

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

trước tiên hãy nghĩ về khái niệm hai tập hợp bằng nhau.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

Điều đó có nghĩa là gì khi tôi nói

2 bàn tay tôi có số ngón tay bằng nhau

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Dĩ nhiên, tôi có 5 ngón trên mỗi bàn tay, nhưng còn đơn giản hơn thế.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

Tôi không phải đếm, tôi chỉ cần nhìn chúng đối cặp với nhau, 1 đối 1.

In fact, we think that some ancient people

Thật ra, chúng ta đều nghĩ những người cổ đại

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

không có từ ngữ để chỉ số lớn hơn 3,

used this sort of magic.

họ dùng thuật tính này.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Ví dụ, nếu bạn lùa cừu ra ngoài ăn cỏ,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

bạn có thể biết số cừu ra ngoài bằng cách xếp 1 viên đá cho 1 con,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

và kiểm tra lại từng viên một khi bầy cừu trở về chuồng,

so you know if any are missing without really counting.

vậy bạn sẽ biết có mất con nào không mà không cần phải đếm.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Một ví dụ nữa cho thấy sự đối xứng đơn giản hơn việc đếm,

if I'm speaking to a packed auditorium,

Nếu tôi diễn thuyết trong 1 phòng đầy người

where every seat is taken and no one is standing,

mọi người đều có ghế và không ai đứng,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

tôi sẽ biết số ghế đúng bằng số người trong phòng,

even though I don't know how many there are of either.

mặc dù tôi không biết số lượng là bao nhiêu.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Vậy, ý nghĩa thật sự khi nói 2 tập hợp bằng nhau

is that the elements in those sets

là các phần tử trong 2 tập hợp đó

can be matched up one by one in some way.

có thể được đối cặp với nhau theo kiểu 1 đối 1.

My fourth grade teacher showed us

Thầy giáo lớp 4 của tôi đã liệt kê

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

số nguyên thành 1 hàng, và bên dưới là số gấp đôi nó.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

Như các bạn thấy, hàng dưới gồm các số chẵn

and we have a one-to-one match.

và chúng ta có thể xếp 1 đối 1.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Đấy chính là, "có bao nhiêu số chẵn thì có bấy nhiêu con số."

But what still bothers us is our distress

Nhưng điều làm chúng ta bế tắc

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

là thật ra số chẵn dường như chỉ là một phần của số nguyên.

But does this convince you

Liệu có thuyết phục được bạn,

that I don't have the same number of fingers

rằng số ngón trên tay phải và tay trái

on my right hand as I do on my left?

của tôi là khác nhau?

Of course not.

Dĩ nhiên là không.

It doesn't matter if you try to match

Thật vô nghĩa nếu cố đối ứng

the elements in some way and it doesn't work,

các phần tử bằng phương pháp vớ vẩn,

that doesn't convince us of anything.

không giúp chỉ ra được điều gì.

If you can find one way

Nếu bạn tìm ra được 1 cách

in which the elements of two sets do match up,

để các thành phần của 2 tập hợp đối ứng,

then we say those two sets have the same number of elements.

thì ta nói 2 tập hợp đó bằng nhau về số lượng phần tử.

Can you make a list of all the fractions?

Bạn có thể liệt kê ra hết các phân số không ?

This might be hard, there are a lot of fractions!

Có thể rất khó bởi có rất nhiều phân số!

And it's not obvious what to put first,

Và không rõ cái nào xếp đầu tiên,

hay làm sao chúng ta chắc rằng chúng đã được liệt kê đầy đủ.

or how to be sure all of them are on the list.

Nevertheless, there is a very clever way

Tuy nhiên, có 1 cách thông minh

that we can make a list of all the fractions.

có thể dùng để liệt kê hết các phân số.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Được Georg Cantor áp dụng đầu tiên vào cuối những năm 1800.

First, we put all the fractions into a grid.

Đầu tiên, ta xếp tất cả phân số theo kiểu mạng lưới.

They're all there.

Tất cả đều ở đây.

For instance, you can find, say, 117/243,

Ví dụ, bạn có thể tìm được 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

ở hàng thứ 117 và cột thứ 243.

Now we make a list out of this

Bây giờ ta liệt kê

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

từ phần trên cùng bên trái và lượn về trước theo đường chéo,

skipping over any fraction, like 2/2,

bỏ qua bất kì phân số nào, như 2/2,

that represents the same number as one the we've already picked.

bằng giá trị với số mà ta đã chọn rồi.

We get a list of all the fractions,

Vậy là ta có bảng liệt kê tất cả các phân số,

which means we've created a one-to-one match

nghĩa là ta có phép đối ứng 1-1

between the whole numbers and the fractions,

giữa những số nguyên với phân số,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

mặc dù ta nghĩ hẳn là có nhiều phân số hơn.

Vâng, đây là phần thật sự rất thú vị.

OK, here's where it gets really interesting.

You may know that not all real numbers

Có thể bạn biết không phải tất cả các số thực

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

- k phải tất cả các con số nằm trên tia số - đều là phân số.

The square root of two and pi, for instance.

Căn 2 và số Pi là một ví dụ.

Any number like this is called irrational.

Bất cứ con số nào giống như thế được gọi là số vô tỉ.

Not because it's crazy, or anything,

Không phải vì lộn xộn gì,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

mà bởi vì phân số là tỷ số giữa các số nguyên,

and so are called rationals;

nên gọi nó là số hữu tỷ;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

có nghĩa phần còn lại không phải số hữu tỷ, là số vô tỷ.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Nó chính là những số thập phân vô hạn và không lặp lại.

So, can we make a one-to-one match

Vậy, ta có thể ghép cặp 1-1

between the whole numbers and the set of all the decimals,

giữa tất cả các số nguyên và số thập phân,

both the rationals and the irrationals?

gồm cả số hữu tỷ và số vô tỷ không?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Nghĩa là, liệu ta có thể liệt kê tất cả các số chữ số thập phân?

Cantor showed that you can't.

Candor nói rằng bạn không thể.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Không phải vì chúng ta không biết cách, mà là không thể làm nổi.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

Xem nào, ví dụ bạn đã lập một bảng liệt kê tất cả các số thập phân.

I'm going to show you that you didn't succeed,

Tôi sẽ chỉ ra rẳng bạn đã không thành công

by producing a decimal that is not on your list.

bằng cách viết thêm một con số chưa có trong bảng của bạn.

I'll construct my decimal one place at a time.

Tôi sẽ viết lần lượt từng chữ số một.

For the first decimal place of my number,

Với chữ số thập phân đầu tiên,

tôi sẽ nhìn chữ số thập phân đầu tiên trong số đầu tiên của bạn.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Nếu nó là 1, tôi viết số của tôi là 2,

otherwise I'll make mine a one.

nếu khác thì tôi viết là 1.

For the second place of my number,

Với vị trí thứ 2 trong con số của tôi,

I'll look at the second place of your second number.

tôi sẽ nhìn vào vị trí thứ 2 trong con số của bạn.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

Một lần nữa, nếu số của bạn là 1, thì tôi viết lại là 2,

and otherwise I'll make mine a one.

nếu khác thì tôi viết là 1.

See how this is going?

Nhìn thử xem ?

The decimal I've produced can't be on your list.

Số thập phân mà tôi đưa ra không thể có trong danh sách của bạn.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

Tại sao? Nó có thể là con số thứ 143 của bạn không?

No, because the 143rd place of my decimal

Không, vì trong chữ số thập phân của tôi ở vị trí 143

is different from the 143rd place of your 143rd number.

khác với vị trí thứ 143 trong con số thứ 143 của bạn.

I made it that way.

Tôi đã cố tình làm thế.

Your list is incomplete.

Danh sách của bạn luôn thiếu.

It doesn't contain my decimal number.

Nó không có con số của tôi.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Và bất kể danh sách của bạn thế nào, tôi có thể làm tương tự,

and produce a decimal that's not on that list.

và tạo ra 1 con số hoàn toàn mới không có trong danh sách đó.

So we're faced with this astounding conclusion:

Vậy chúng ta đối mặt với kết luận đáng kinh ngạc này:

The decimal numbers cannot be put on a list.

Số thập phân không thể xếp vào bảng liệt kê.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Nó là một tập vô hạn lớn hơn so với tập vô hạn của số nguyên.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

Nên dù ta đã quen với một vài số vô tỷ,

like square root of two and pi,

như căn 2 và pi,

the infinity of irrationals

thì tập vô hạn của số vô tỷ

is actually greater than the infinity of fractions.

thật sự vẫn lớn hơn tập vô hạn của các phân số.

Someone once said that the rationals

Có ai đó từng nói rằng số hữu tỷ

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

-- nếu phân số -- giống như ngôi sao trên bầu trời đêm.

The irrationals are like the blackness.

Thì số vô tỉ chính là bóng tối.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor cũng chỉ ra rằng, đối với bất kì tập vô hạn nào,

forming a new set made of all the subsets of the original set

việc thiết lập một tập vô hạn mới từ các tập con của tập hợp gốc

represents a bigger infinity than that original set.

sẽ cho ra một tập vô hạn lớn hơn tập gốc.

This means that, once you have one infinity,

Nghĩa là, khi bạn có 1 tập vô hạn,

you can always make a bigger one

bạn luôn có thể tạo ra một tập vô hạn lớn hơn

by making the set of all subsets of that first set.

từ các tập con của tập đầu tiên.

And then an even bigger one

Và thậm chí là tập hợp lớn hơn

by making the set of all the subsets of that one.

bằng cách tạo ra từ các tập con và chính tập đó nữa.

And so on.

Và cứ như thế.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Vậy, có 1 số tập vô hạn nằm trong tập vô hạn khác, có độ lớn khác nhau.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Nếu những khái niệm này làm bạn khó chịu, không phải chỉ mình bạn.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

Một số nhà toán học vĩ đại nhất thời Cantor

were very upset with this stuff.

đã rất bực mình về điều này.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Họ cố khiến những điều này không quan trọng nữa,

to make mathematics work without them somehow.

để toán học vẫn dùng được mà không cần nó.

Cantor was even vilified personally,

Cantor thậm chí bị lăng mạ,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

và tình hình tệ hại hơn khi ông suy sụp tột độ,

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

và trải qua nửa đời còn lại bằng việc lui tới trại tâm thần.

But eventually, his ideas won out.

Nhưng cuối cùng, khái niệm của ông đã chiến thắng.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Ngày nay, nó là một khái niệm nền tảng quan trọng.

All research mathematicians accept these ideas,

Tất cả các nhà toán học đã chấp nhận khái niệm này,

every college math major learns them,

mọi ngành toán cấp đại học đều nghiên cứu nó,

and I've explained them to you in a few minutes.

và tôi đã giải thích cho bạn trong vài phút.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Một ngày nào đó, chắc chắn chúng sẽ trở nên phổ biến.

There's more.

Còn nữa.

We just pointed out that the set of decimal numbers

Ta chỉ mới chỉ ra rằng tập hợp số thập phân

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

- tức là số thực - có sự vô hạn lớn hơn

than the set of whole numbers.

tập hợp số nguyên.

Cantor wondered whether there are infinities

Candor từng tự hỏi có tồn tại những tập vô hạn

of different sizes between these two infinities.

kích thước khác nhau nằm giữa hai tập vô hạn này không?

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Ông không nghĩ là có, trừ phi chứng minh được.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Phỏng đoán của Candor được biết đến với tên: "giả thuyết Continuum" (giả thuyết liên tục)

In 1900, the great mathematician David Hilbert

Năm 1900, một nhà toán học vĩ đại, David Hilbert,

listed the continuum hypothesis

cho rẳng "giả thuyết continuum"

as the most important unsolved problem in mathematics.

là vấn đề chưa lời giải quan trọng nhất trong toán học.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Thế kỉ 20 đã có những bước tiến trong vấn đề này,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

nhưng theo cách hoàn toàn ngoài mong đợi.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Vào những năm 1920, Kurt Godel đã chỉ ra

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

bạn không bao giờ chứng minh được "giả thuyết continuum" là sai.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Rồi đến những năm 1960, Paul J.Cohen lại nói rằng

bạn không bao giờ chứng minh được "giả thuyết continuum" là đúng.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Taken together, these results mean

Tóm lại, những kết quả này cho thấy

that there are unanswerable questions in mathematics.

có một câu hỏi không lời giải trong toán học.

A very stunning conclusion.

Một kết luận đầy sửng sốt.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Toán học được cho là đỉnh cao trong lý luận của loài người,

but we now know that even mathematics has its limitations.

nhưng giờ ta đã biết ngay cả toán học cũng có giới hạn của nó.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

Dù vậy, toán học luôn có những điều kinh ngạc để chúng ta phải suy nghĩ.