How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Translator: Maria Nainggolan Reviewer: Bias Ayu

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Ketika aku kelas empat SD, suatu hari guru saya berkata:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Jumlah bilangan genap sama dengan bilangan bulat."

"Really?", I thought.

"Benarkah?", pikirku.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

Ya, ada jumlah yang tak terhingga dari keduanya,

so I suppose there are the same number of them.

jadi aku pikir jumlah keduanya adalah sama.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Tetapi bilangan genap hanyalah bagian dari bilangan bulat,

all the odd numbers are left over,

semua bilangan ganjil sisanya,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

pasti lebih banyak bilangan bulat daripada bilangan genap, kan?

To see what my teacher was getting at,

Untuk melihat apa yang dimaksud guruku,

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

pertama mari berpikir apa arti dua himpunan dengan ukuran yang sama.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

Apa yang kumaksud ketika aku berkata jumlah jari

on my right hand as I do on left hand?

tangan kanan sama dengan tangan kiri?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Tentu, lima jari di masing-masing tangan tetapi sebenarnya ini lebih simpel.

Aku tidak perlu menghitungnya,

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

aku hanya perlu memasangkannya, satu sama lain.

In fact, we think that some ancient people

Faktanya, kita berpikir bahwa orang kuno

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

yang berbicara bahasa tanpa ada kata untuk angka lebih besar dari tiga

used this sort of magic.

menggunakan trik ini.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Contoh, jika kamu membiarkan dombamu keluar dari kandang,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

kamu dapat melacak berapa yang keluar dengan menyisihkan batu pada setiap domba,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

dan meletakkannya kembali saat domba kembali,

so you know if any are missing without really counting.

jadi kamu tahu berapa yang hilang tanpa perlu menghitung.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Contoh lain bahwa mencocokkan lebih sederhana daripada menghitung,

if I'm speaking to a packed auditorium,

jika aku berbicara di auditorium yang penuh,

where every seat is taken and no one is standing,

setiap kursi diduduki dan tidak ada yang berdiri,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

aku tahu bahwa ada jumlah yang sama antara kursi dan penonton,

even though I don't know how many there are of either.

walaupun aku tidak tahu ada berapa.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Jadi, yang kita maksud dari dua himpunan berukuran sama

is that the elements in those sets

adalah elemen dari dua himpunan tersebut

can be matched up one by one in some way.

dapat dicocokkan satu per satu dengan suatu cara.

My fourth grade teacher showed us

Guru kelas empatku menunjukkan

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

bilangan bulat yang ditata berurutan dan di bawahnya ada kelipatannya.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

Lihat, baris bawah berisi semua bilangan genap,

and we have a one-to-one match.

dan satu per satu dicocokkan.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Yang mana, jumlah bilangan genap sama dengan bilangan bulat.

But what still bothers us is our distress

Tetapi yang mengganggu kita adalah kesulitan kita

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

melupakan fakta bahwa bilangan genap merupakan bagian dari bilangan bulat.

But does this convince you

Tetapi, apakah ini meyakinkanmu

that I don't have the same number of fingers

bahwa aku tidak memiliki jumlah jari yang sama

on my right hand as I do on my left?

pada tangan kanan dan kiri?

Of course not.

Tentu tidak.

It doesn't matter if you try to match

Tidak masalah jika kamu mencoba

the elements in some way and it doesn't work,

mencocokkan elemen-elemen dan tidak berhasil,

that doesn't convince us of anything.

yang tidak meyakinkan kita.

If you can find one way

Jika kamu tahu satu cara

in which the elements of two sets do match up,

yang elemen kedua himpunan cocok,

then we say those two sets have the same number of elements.

barulah kita mengatakan jumlah elemen keduanya adalah sama.

Can you make a list of all the fractions?

Bisakah kamu membuat daftar semua pecahan?

This might be hard, there are a lot of fractions!

Ini mungkin sulit, ada banyak sekali pecahan!

And it's not obvious what to put first,

Dan, tidak jelas mana yang pertama,

or how to be sure all of them are on the list.

atau bagaimana memastikan semuanya ada di daftar.

Nevertheless, there is a very clever way

Namun, ada cara pintar

that we can make a list of all the fractions.

untuk membuat daftar semua pecahan.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Ini pertama kali dilakukan oleh Georg Cantor pada tahun 800-an.

First, we put all the fractions into a grid.

Pertama, taruh pecahan dalam sebuah kisi.

They're all there.

Semua ada di sana.

For instance, you can find, say, 117/243,

Contoh, kamu dapat menemukan, misalnya, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

pada baris 117 dan kolom 234.

Now we make a list out of this

Sekarang kita membuat daftar dari ini

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

dengan mulai dari kiri atas lalu bolak-balik secara diagonal,

skipping over any fraction, like 2/2,

melompati pecahan, seperti 2/2,

that represents the same number as one the we've already picked.

yang melambangkan angka yang sama dengan yang sudah kita pilih.

We get a list of all the fractions,

Kita mendapatkan daftar semua pecahan,

which means we've created a one-to-one match

kita telah membuat pencocokan satu per satu

between the whole numbers and the fractions,

antara keseluruhan angka dan pecahan,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

walaupun kita pikir seharusnya lebih banyak pecahan.

OK, here's where it gets really interesting.

Baik, ini lebih menarik.

You may know that not all real numbers

Kamu tahu bahwa tidak semua bilangan riil

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

- yaitu tidak semua angka pada garis bilangan - adalah pecahan.

The square root of two and pi, for instance.

Akar kuadrat dari dua dan pi, contohnya.

Any number like this is called irrational.

Angka seperti ini disebut irasional.

Not because it's crazy, or anything,

Bukan karena ia gila, atau apapun,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

tetapi karena bentuk pecahannya adalah rasio dari bilangan bulat,

and so are called rationals;

dan disebut rasional;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

berarti sisanya non-rasional, yaitu, irasional.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Irasional dilambangkan dengan desimal tak terbatas, tak terulang.

So, can we make a one-to-one match

Jadi, bisakah kita mencocokkan satu per satu

between the whole numbers and the set of all the decimals,

antara bilangan bulat dan set dari semua desimal,

both the rationals and the irrationals?

rasional dan irasional?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Bisakah kita membuat daftar semua bilangan desimal?

Cantor showed that you can't.

Cantor menunjukkan bahwa kamu tidak bisa.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Bukan kita tidak tahu bagaimana, tetapi memang tidak bisa dilakukan.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

Lihat, misalnya kamu berhasil membuat daftar semua bilangan desimal.

I'm going to show you that you didn't succeed,

Aku akan menunjukkan bahwa kamu gagal,

by producing a decimal that is not on your list.

dengan membuat desimal yang tidak ada di daftarmu.

I'll construct my decimal one place at a time.

Aku akan membangun desimalku satu tempat pada satu waktu

For the first decimal place of my number,

Untuk letak desimal angka pertamaku,

I'll look at the first decimal place of your first number.

aku akan melihat letak desimal pertama dari angka pertamamu.

If it's a one, I'll make mine a two;

Jika punyamu satu, aku akan membuat punyaku dua;

otherwise I'll make mine a one.

atau sebaliknya.

For the second place of my number,

Untuk letak angka keduaku,

I'll look at the second place of your second number.

aku akan melihat letak angka keduamu.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

Lagi, jika punyamu satu, aku akan membuat punyaku dua,

and otherwise I'll make mine a one.

dan juga sebaliknya.

See how this is going?

Lihat bagaimana ini terjadi?

The decimal I've produced can't be on your list.

Desimal yang kubuat tidak ada di daftarmu.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

Mengapa? Misalnya, angka ke-143 mu?

No, because the 143rd place of my decimal

Tidak, karena letak ke-143 dari desimalku

is different from the 143rd place of your 143rd number.

berbeda dengan letak ke-143 dari angka ke-143 mu.

I made it that way.

Aku membuktikannya.

Your list is incomplete.

Daftarmu tidak lengkap.

It doesn't contain my decimal number.

Ia tidak memiliki angka desimalku.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Dan, aku akan melakukan hal yang sama pada daftar apa pun milikmu

and produce a decimal that's not on that list.

dan membuat desimal yang tidak ada pada daftarmu.

So we're faced with this astounding conclusion:

Jadi kita dihadapkan dengan kesimpulan mengejutkan ini:

The decimal numbers cannot be put on a list.

BIlangan desimal tidak bisa dimasukkan dalam daftar.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Mereka melambangkan ketidakterbatasan dari bilangan bulat.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

Jadi, walaupun kita tahu beberapa bilangan irasional,

like square root of two and pi,

seperti akar kuadrat dua dan pi,

the infinity of irrationals

ketidakterbatasan bilangan irasional

is actually greater than the infinity of fractions.

lebih besar dari ketidakterbatasan pecahan.

Someone once said that the rationals

Seseorang berkata bilangan irasional

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

- pecahan - seperti bintang-bintang di langit malam.

The irrationals are like the blackness.

Bilangan irasional seperti kegelapan.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor juga menunjukkan untuk himpunan tidak terbatas,

forming a new set made of all the subsets of the original set

pembentukan himpunan baru dari semua himpunan bagian dari himpunan asli

represents a bigger infinity than that original set.

mewakili ketidakterbatasan yang lebih besar dari himpunan aslinya.

This means that, once you have one infinity,

Ini artinya, dengan satu ketidakterbatasan,

you can always make a bigger one

kamu dapat membuatnya lebih besar

by making the set of all subsets of that first set.

dengan membuat semua himpunan bagian dari himpunan pertama.

And then an even bigger one

Dan yang lebih besar lagi

by making the set of all the subsets of that one.

dengan membuat semua himpunan bagian dari yang tadi.

And so on.

Dan seterusnya.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Jadi, ada jumlah tak terbatas dari ketidakterbatasan dari berbagai ukuran.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Jika ini membuatmu tak nyaman, kamu tidak sendiri.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

Beberapa ahli matematika besar pada era Cantor

were very upset with this stuff.

sangat kesal dengan hal ini.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Mereka mencoba membuat bilangan tak terhingga tak relevan,

to make mathematics work without them somehow.

membuat matematika bekerja tanpa adanya mereka.

Cantor was even vilified personally,

Cantor bahkan diejek secara personal,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

sangat buruk hingga ia depresi,

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

dan menghabiskan setengah hidupnya keluar masuk rumah sakit jiwa.

But eventually, his ideas won out.

Namun akhirnya, idenya berhasil.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Hari ini, idenya mengakar dan dianggap luar biasa.

All research mathematicians accept these ideas,

Semua ahli matematika menerimanya,

every college math major learns them,

setiap jurusan matematika mempelajarinya,

and I've explained them to you in a few minutes.

dan aku telah menjelaskannya padamu tadi.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Suatu saat, mungkin, ini akan menjadi pengetahuan umum.

There's more.

Ada lagi.

We just pointed out that the set of decimal numbers

Kita baru belajar bahwa himpunan desimal

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

- yaitu pecahan - membentuk ketidakterbatasan

than the set of whole numbers.

daripada himpunan bilangan bulat.

Cantor wondered whether there are infinities

Cantor berpikir apakah ada ketidakterbatasan

of different sizes between these two infinities.

dari dua ukuran yang berbeda.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Ia percaya hal itu ada, namun tidak dapat membuktikannya.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Dugaan Cantor dikenal sebagai hipotesis kontinum.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

Pada 1900, ahli matematika David Hilbert

listed the continuum hypothesis

menyatakan hipotesis kontinum

as the most important unsolved problem in mathematics.

sebagai permasalahan penting matematika yang tak terpecahkan.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Abad ke-20 melihat solusi dari permasalahan ini,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

namun dengan cara yang benar-benar tak terduga.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Pada 1920-an, Kurt Gödel menunjukkan

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

bahwa kamu tidak dapat membuktikan hipotesis kontinum salah.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Kemudian, pada 1960-an, Paul J. Cohen menunjukkan

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

bahwa kamu tidak dapat membuktikan hipotesis kontinum benar.

Taken together, these results mean

Jika kita gabungkan, ini berarti

that there are unanswerable questions in mathematics.

ada pertanyaan yang tidak bisa dijawab dalam matematika.

A very stunning conclusion.

Kesimpulan yang sangat menarik.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Matematika dianggap sebagai puncak penalaran manusia,

but we now know that even mathematics has its limitations.

namun kita tahu sekarang bahwa matematika memiliki keterbatasan.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

Namun, matematika memiliki hal-hal luar biasa untuk kita pikirkan.