How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Переводчик: Вадим Гузик Редактор: Ростислав Голод

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Когда я был в четвёртом классе, мой учитель как-то сказал:

"There are as many even numbers as there are numbers."

«Чётных чисел существует столько же, сколько и всех чисел».

"Really?", I thought.

«Правда?» — подумал я.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

Ну да, и тех, и других бесконечно много,

so I suppose there are the same number of them.

поэтому полагаю, что их одинаковое число.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Но чётные числа — всего лишь часть всех целых чисел,

all the odd numbers are left over,

не содержащая нечётных чисел,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

то есть целых чисел должно быть больше, чем чётных?

To see what my teacher was getting at,

Чтобы понять, что имел в виду мой учитель,

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

давайте задумаемся над тем, что означает равенство двух множеств.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

Что я подразумеваю, когда говорю, что у меня равное число пальцев

on my right hand as I do on left hand?

как на правой, так и на левой руке?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Конечно, на каждой руке у меня по пять пальцев, но всё ещё проще.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

Считать мне не надо, мне лишь требуется соединить обе руки.

In fact, we think that some ancient people

В древности, когда люди говорили на языках,

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

в которых не было слов для чисел больше чем 3,

used this sort of magic.

им приходилось проделывать схожие трюки.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Например, когда выгоняешь овец из загона на пастбище,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

можно сосчитать, сколько овец ушло пастись, отложив по камню на овцу.

and putting those stones back one by one when the sheep return,

Когда oвцы вернутся, то камни можно будет опять положить на место

so you know if any are missing without really counting.

и узнать таким образом, все ли овцы на месте, даже не считая их.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Ещё один пример сравнения более действенного, чем подсчёт:

if I'm speaking to a packed auditorium,

если я выступаю в аудитории,

где свободных мест нет и никто из слушателей не слушает стоя,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

я знаю, что там то же количество стульев, что и людей,

even though I don't know how many there are of either.

хотя мне даже не надо считать ни стулья, ни присутствующих.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Таким образом, когда мы говорим, что два множества равны, это означает,

is that the elements in those sets

что количество элементов в этих множествах

can be matched up one by one in some way.

можно сопоставить друг с другом.

My fourth grade teacher showed us

В 4-ом классе учитель продемонстрировал это,

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

выписав все целые числа в ряд, а под ними — их удвоенные значения.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

Теперь видно, что в нижнем ряду все числа чётные,

and we have a one-to-one match.

а мы сопоставляли один к одному.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

То есть чётных чисел столько же, сколько и всех чисел.

But what still bothers us is our distress

Но нам по-прежнему не даёт покоя тот факт,

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

что чётные числа являются лишь частью всех чисел.

But does this convince you

Но поверите ли вы в то,

that I don't have the same number of fingers

что у меня не столько же пальцев

on my right hand as I do on my left?

на правой, сколько на левой руке?

Of course not.

Конечно, нет.

It doesn't matter if you try to match

Неважно, что у вас не получится

the elements in some way and it doesn't work,

как-то сопоставить элементы,

that doesn't convince us of anything.

это всё равно ничего нам не докажет.

If you can find one way

А если у вас получится

in which the elements of two sets do match up,

каким-то образом сопоставить две группы предметов,

then we say those two sets have the same number of elements.

тогда говорят, что в обеих группах равное число предметов.

Вы можете составить список всех дробей?

Can you make a list of all the fractions?

This might be hard, there are a lot of fractions!

Это нелегко, ведь дробей существует множество!

And it's not obvious what to put first,

И непонятно, что записать вначале

or how to be sure all of them are on the list.

и как сделать так, чтобы все они попали в список.

Nevertheless, there is a very clever way

Однако существует очень умный способ

that we can make a list of all the fractions.

сделать список всех дробей.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Впервые в конце XIX века это проделал Георг Кантор.

First, we put all the fractions into a grid.

Вначале все дроби записываются в таблицу.

They're all there.

Вот они все.

For instance, you can find, say, 117/243,

Например, скажем, 117/243

in the 117th row and 243rd column.

пишем в 117-й ряд 223-й колонки.

Now we make a list out of this

А теперь составим из них список,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

начав с верхнего левого угла и двигаясь вверх-вниз по диагонали,

skipping over any fraction, like 2/2,

пропуская такие дроби, как 2/2,

that represents the same number as one the we've already picked.

равные числам, которые мы уже выбрали.

We get a list of all the fractions,

Мы получили список всех дробей,

which means we've created a one-to-one match

что означает, что у нас в списке

between the whole numbers and the fractions,

каждому целому числу соответствует дробь,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

несмотря на то, что нам казалось, что дробей будет больше.

OK, here's where it gets really interesting.

Вот сейчас будет интересно.

You may know that not all real numbers

Вы наверняка знаете, что не все действительные числа —

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

то есть числа на числовой оси — дроби.

The square root of two and pi, for instance.

Квадратный корень 2 или число Пи, например.

Any number like this is called irrational.

Каждое подобное число называется иррациональным.

Not because it's crazy, or anything,

Не в смысле «безумное» или нечто подобное,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

а из-за того, что дроби — это соотношения целых чисел,

and so are called rationals;

называемых рациональными,

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

что означает, что остальные являются нерациональными.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Иррациональные числа — это бесконечные десятичные дроби.

So, can we make a one-to-one match

Что ж, можно ли сопоставить

between the whole numbers and the set of all the decimals,

целые числа множеству всех десятичных дробей,

both the rationals and the irrationals?

как рациональных, так и иррациональных?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

То есть можно ли составить список всех десятичных чисел?

Cantor showed that you can't.

Кантор доказал, что нельзя.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Не потому, что мы не знаем как, а потому, что это невозможно.

Допустим, вы утверждаете,

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

будто составили последовательность всех десятичных дробей.

I'm going to show you that you didn't succeed,

А я докажу вам, что у вас ничего не вышло:

by producing a decimal that is not on your list.

я придумаю десятичную дробь,

которой в вашей последовательности не будет.

I'll construct my decimal one place at a time.

В своей десятичной дроби я буду заменять по очереди один знак.

For the first decimal place of my number,

Для первого знака моего числа

I'll look at the first decimal place of your first number.

я посмотрю на первый знак вашего первого числа.

If it's a one, I'll make mine a two;

Если это единица, у себя я поставлю двойку,

otherwise I'll make mine a one.

иначе я ставлю единицу.

For the second place of my number,

Для второго разряда моего числа

I'll look at the second place of your second number.

я посмотрю на второе место вашего второго числа.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

Снова: если у вас единица, у меня будет двойка,

and otherwise I'll make mine a one.

иначе я поставлю единицу.

See how this is going?

Понятно, как я это делаю?

The decimal I've produced can't be on your list.

Десятичная дробь, которую я создал, не может оказаться в вашем списке.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

Почему? Что, если она окажется, например, вашим 143-им числом?

No, because the 143rd place of my decimal

Нет, потому что на 143-ем месте моей дроби

is different from the 143rd place of your 143rd number.

будет число, отличное от 143-его места вашей 143-й дроби.

I made it that way.

Я выиграл.

Your list is incomplete.

Ваш список не полон.

It doesn't contain my decimal number.

В нём нет моего десятичного числа.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

И какое бы число вы ни предложили, я могу сделать так же

and produce a decimal that's not on that list.

и придумать числительное, которого нет в вашем списке.

So we're faced with this astounding conclusion:

Так мы пришли к такому поразительному выводу:

The decimal numbers cannot be put on a list.

невозможно составить полный список десятичных дробей.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Они составляют бо́льшую бесконечность, нежели бесконечность целых чисел.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

Поэтому даже если мы и знаем всего несколько иррациональных чисел,

like square root of two and pi,

таких как квадратный корень 2 и число Пи,

the infinity of irrationals

бесконечность иррациональных чисел

is actually greater than the infinity of fractions.

в самом деле больше бесконечности дробей.

Someone once said that the rationals

Кто-то однажды сказал, что рациональные числа —

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

дроби — как звёзды на ночном небе.

The irrationals are like the blackness.

А иррациональные числа — это как темнота вокруг них.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Кантор также доказал, что для любого бесконечного множества

forming a new set made of all the subsets of the original set

можно создать новое множество из подмножеств изначального множества,

represents a bigger infinity than that original set.

представляющее собой ещё бóльшую бесконечность.

This means that, once you have one infinity,

Это означает, что, будь у вас бесконечность,

you can always make a bigger one

всегда можно получить ещё бóльшую,

by making the set of all subsets of that first set.

создав множество из всех подмножеств изначального множества.

And then an even bigger one

А затем ещё бóльшую,

by making the set of all the subsets of that one.

создав множество из всех подмножеств вашего множества.

And so on.

И так далее.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Таким образом существует бесконечное число бесконечностей разного размера.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Если вас это не радует, то вы не один такой.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

Великих математиков-современников Кантора

were very upset with this stuff.

ужасно расстраивало такое положение дел.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Они пытались сделать бесконечности несущественными,

to make mathematics work without them somehow.

чтобы математика как-то обходилась без них.

Cantor was even vilified personally,

Даже самого Кантора подвергли очень жёсткой критике,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

что очень подорвало его здоровье, он впал в глубочайшую депрессию

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

и вторую половину жизни часто лечился в психиатрических клиниках.

But eventually, his ideas won out.

Но в итоге его идеи победили.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Сегодня его взгляды считаются фундаментальными и важными.

All research mathematicians accept these ideas,

Их полностью разделяют учёные-математики,

every college math major learns them,

студенты-математики изучают его труды,

and I've explained them to you in a few minutes.

а я только что объяснил вам их за пару минут.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Возможно, когда-нибудь его идеи станут известны каждому.

There's more.

Более того!

We just pointed out that the set of decimal numbers

Мы только что упомянули, что множество десятичных дробей,

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

то есть действительных чисел, является бо́льшей бесконечностью,

than the set of whole numbers.

чем множество целых чисел.

Cantor wondered whether there are infinities

Кантора интересовало, существуют ли бесконечности

of different sizes between these two infinities.

других размеров между двумя этими бесконечностями.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Он думал, что нет, но не мог это доказать.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Предположение Кантора стало известным под названием континуум-гипотеза.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

В 1900 г. великий математик Давид Гильберт

listed the continuum hypothesis

назвал континуум-гипотезу

as the most important unsolved problem in mathematics.

самой важной нерешённой проблемой математики.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Решение данной проблемы было найдено в XX веке,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

однако оно заставило полностью пересмотреть научную парадигму.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

В 1920-е годы, Курт Гёдель продемонстрировал,

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

что никогда не удастся опровергнуть континуум-гипотезу.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Затем, в 1960-е годы, Поль Коэн также продемонстрировал,

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

что континуум-гипотезу никогда не удастся доказать.

Taken together, these results mean

А соединив оба этих результата,

that there are unanswerable questions in mathematics.

приходим к выводу, что в математике есть неразрешимые вопросы.

A very stunning conclusion.

Весьма неожиданное умозаключение.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Математика по праву считается апофеозом человеческой мысли,

but we now know that even mathematics has its limitations.

но теперь мы знаем, что даже у математики есть свои пределы.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

Но у математики есть для нас и весьма интересные идеи для размышления.