How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Fordító: Maria Ruzsane Cseresnyes Lektor: Reka Lorinczy

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Mikor negyedikes voltam, egyik nap azt mondta a tanárom:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Ugyanannyi páros szám van, ahány egész."

"Really?", I thought.

"Tényleg?" - csodálkoztam.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

Hát, végtelen sok van mindkettőből,

so I suppose there are the same number of them.

feltételezem, hogy ugyanannyian vannak.

But even numbers are only part of the whole numbers,

De az egész számoknak csak egy része páros,

all the odd numbers are left over,

az összes páratlan kimarad,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

tehát több egész szám kell legyen, mint páros, igaz?

To see what my teacher was getting at,

Hogy lássuk, tanárunk hogy jutott idáig,

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

gondoljuk előbb végig, mit jelent az, hogy két halmaz ugyanakkora.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

Miért mondom, hogy ugyanannyi ujjam van

on my right hand as I do on left hand?

a jobb és a bal kezemen?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Természetesen öt van mindkettőn, de ez valójában egyszerűbb ennél.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

Nem kell megszámoljam őket, elég, hogy egyértelműen megfeleltethetők egymásnak.

In fact, we think that some ancient people

Azt gondoljuk, hogy némely ókori nép,

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

amelynek nem volt szava a 3-nál nagyobb számokra,

ugyanezt a módszert használta.

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Pl. a juhokat úgy tartották számon,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

hogy minden juhnál félretettek egy követ, amikor kiengedték az akolból,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

és visszavettek egyet a kövekből, amikor egy visszajött,

so you know if any are missing without really counting.

Így számlálás nélkül is tudták, ha hiányzott valamelyik.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Egy másik példa arra, hogy a megfeleltetés alapvetőbb a számlálásnál:

if I'm speaking to a packed auditorium,

ha teli teremben beszélek,

where every seat is taken and no one is standing,

ahol minden szék foglalt, és senki nem áll,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

akkor tudom, hogy ugyanannyi ember van, ahány szék,

even though I don't know how many there are of either.

noha egyikről sem tudom, hogy mennyi is az.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Tehát, ha azt mondom, hogy két halmaz ugyanakkora,

is that the elements in those sets

akkor az valójában azt jelenti, hogy a két halmaz elemeit

can be matched up one by one in some way.

egy az egyben meg tudom feleltetni egymásnak.

My fourth grade teacher showed us

Negyedikes tanárom

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

az egészeket felírta egy sorba, és alájuk írta a kétszeresüket.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

- látható, hogy az alsó sor minden páros számot tartalmaz -

and we have a one-to-one match.

ez egy-egy értelmű megfeleltetés.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Azaz, ugyanannyi páros szám van, mint egész.

But what still bothers us is our distress

De az még mindig zavar minket,

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

hogy az egész számoknak láthatóan csak egy részük páros.

But does this convince you

De ez meggyőz bárkit is arról,

that I don't have the same number of fingers

hogy nem ugyanannyi ujjam van

on my right hand as I do on my left?

a jobb kezemen, mint a balon?

Of course not.

Természetesen nem.

It doesn't matter if you try to match

Ha valahogy megpróbáljuk megfeleltetni

the elements in some way and it doesn't work,

az elemeket egymásnak, és azon a módon nem sikerül,

that doesn't convince us of anything.

az semmit nem jelent.

If you can find one way

Ha találunk egy megfeleltetést

in which the elements of two sets do match up,

a két halmaz elemei között,

then we say those two sets have the same number of elements.

akkor azt mondjuk, hogy a két halmazban ugyanannyi elem van.

Can you make a list of all the fractions?

Fel lehet-e vajon sorolni az összes törtet?

This might be hard, there are a lot of fractions!

Hát az nehéz lenne, mivel nagyon sok tört van,

And it's not obvious what to put first,

és nem nyilvánvaló, hogy melyikkel kezdjük.

or how to be sure all of them are on the list.

És hogyan győződjünk meg róla, hogy mindegyiket felírtuk-e?

Nevertheless, there is a very clever way

Ennek ellenére van egy nagyon ügyes módszer

that we can make a list of all the fractions.

az összes tört felsorolására.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Georg Cantor csinálta meg először az 1800-as évek végén.

First, we put all the fractions into a grid.

Először minden törtet beírunk egy táblázatba.

They're all there.

Itt van az összes.

For instance, you can find, say, 117/243,

Pl. a 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

117. sor 223. oszlopában található.

Now we make a list out of this

Most ezeket egy listába rendezzük:

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

a bal felső sarokból indulunk, majd hol hátra, hol előre haladunk átlósan,

skipping over any fraction, like 2/2,

átugorva minden olyan törtet,

that represents the same number as one the we've already picked.

mint pl. a 2/2, amit már más formában feljegyeztünk.

We get a list of all the fractions,

Kapunk egy listát az összes törttel,

which means we've created a one-to-one match

azaz létrehoztunk egy egy-egy értelmű megfeleltetést

between the whole numbers and the fractions,

az egész számok és a törtek között,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

noha azt gondoltuk, hogy talán több törtnek kéne lennie, mint egésznek.

OK, here's where it gets really interesting.

Itt kezd az egész valóban izgalmassá válni.

You may know that not all real numbers

Talán tudják, hogy nem minden valós szám tört,

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

azaz nem minden szám a számegyenesen .

The square root of two and pi, for instance.

Például nem az a négyzetgyök kettő vagy a π (pi).

Any number like this is called irrational.

Ezeket a számokat irracionális számoknak nevezzük.

Not because it's crazy, or anything,

Nem azért, mert értelmetlenek lennének,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

hanem mert a tört két egész aránya [ratio],

ezért nevezzük a törteket racionális számoknak,

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

a többit pedig nem racionálisnak, azaz irracionálisnak,

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Az irracionális számok végtelen, nem szakaszos tizedes törtek.

So, can we make a one-to-one match

Tudunk-e vajon egy-egyértelmű megfeleltetést találni

between the whole numbers and the set of all the decimals,

az egészek és a tizedes törtek között, beleértve ezekbe

both the rationals and the irrationals?

racionális és irracionális számokat egyaránt ?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Lehet-e vajon [az 1-nél kisebb pozitív] tizedes törteket listába rendezni?

Cantor showed that you can't.

Cantor megmutatta, hogy nem.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Nem csupán nem tudjuk, hogy hogyan kéne, de nem is lehet.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

Tegyük fel, hogy azt állítjuk, hogy felírtunk minden tizedes törtet.

I'm going to show you that you didn't succeed,

Megmutatom, hogy mégsem sikerült,

by producing a decimal that is not on your list.

mert készítek egy olyat, ami nem szerepel még a listában.

I'll construct my decimal one place at a time.

Egyenként határozom meg a számjegyeket.

For the first decimal place of my number,

Az első helyiértéket

I'll look at the first decimal place of your first number.

az első szám első helyiértékéhez igazítom.

If it's a one, I'll make mine a two;

Ha az egy, akkor az enyém legyen kettő,

otherwise I'll make mine a one.

ha nem, akkor legyen egy.

For the second place of my number,

A számom második helyiértékéhez

I'll look at the second place of your second number.

a második szám második helyiértékét nézem meg.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

Ugyanúgy, ha az egy, akkor én kettőt írok,

and otherwise I'll make mine a one.

ha nem, akkor egyet.

See how this is going?

Látják már, hogyan megy?

The decimal I've produced can't be on your list.

A szám, amit előállítottam, nem lehet a listánkon.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

Miért? Lehetne vajon azonos mondjuk a 143. számmal?

No, because the 143rd place of my decimal

Nem, mert a 143. jegyükben

is different from the 143rd place of your 143rd number.

különböznek,

I made it that way.

hiszen így hoztam létre.

Your list is incomplete.

A listánk nem teljes.

It doesn't contain my decimal number.

Nem tartalmazza az én számomat.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Bármilyen listát is veszünk ezt megtehetem,

and produce a decimal that's not on that list.

konstruálok egy olyan számot, ami nincs a listán.

So we're faced with this astounding conclusion:

Szembesülünk a meghökkentő következtetéssel:

The decimal numbers cannot be put on a list.

A tizedes törtek nem sorolhatók fel.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Egy nagyobb végtelent alkotnak, mint az egész számok.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

Bár csak néhány irracionális számot ismerünk igazán,

like square root of two and pi,

mint a négyzetgyök kettő vagy a π (pi),

the infinity of irrationals

az irracionális számok végtelenje

is actually greater than the infinity of fractions.

valójában nagyobb, mint a törtek végtelenje.

Someone once said that the rationals

Egyszer valaki azt mondta, hogy annyi a racionális szám,

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

a tört, mint a csillag az éjszakai égen.

The irrationals are like the blackness.

Akkor az irracionális meg, mint a sötétség.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor megmutatta azt is, hogy minden végtelen halmaz

forming a new set made of all the subsets of the original set

összes részhalmazának halmaza

represents a bigger infinity than that original set.

nagyobb végtelent reprezentál, , mint az eredeti halmaz.

This means that, once you have one infinity,

Ez azt jelenti, hogy ha van egy végtelenünk,

you can always make a bigger one

akkor mindig tudunk egy nagyobbat csinálni,

by making the set of all subsets of that first set.

véve az összes részhalmazának halmazát.

And then an even bigger one

És még egy ennél is nagyobbat,

by making the set of all the subsets of that one.

ennek a halmaznak a részhalmazaiból.

And so on.

És így tovább.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Tehát végtelen számú különböző méretű végtelen van.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Akit ez a gondolat nyugtalanít, nincs egyedül.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

Cantor korának nagy matematikusai

were very upset with this stuff.

ellenszenvvel fogadták ezt az dolgot.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Megpróbáltak ezekkel a különféle végtelenekkel

to make mathematics work without them somehow.

nem törődni a matematika művelése során.

Cantor was even vilified personally,

Cantort személyében is becsmérelték miatta.

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

Ez olyan érzékenyen érintette, hogy mély depresszióba esett,

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

élete második felében rendszeres vendége volt az ideggyógyintézeteknek.

But eventually, his ideas won out.

Végül győzött az elmélete.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Manapság meghatározó, és nagyszerűnek tartják.

All research mathematicians accept these ideas,

Minden kutató matematikus elfogadja,

every college math major learns them,

minden matekszakos hallgató tanulja,

and I've explained them to you in a few minutes.

és perc alatt elmagyaráztam.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Talán egyszer még általánosan ismert lesz.

There's more.

De van még folytatás.

We just pointed out that the set of decimal numbers

Most mutattuk meg, hogy a tizedes törtek

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

-- azaz a valós számok -- nagyobb végtelent alkotnak,

than the set of whole numbers.

mint az egész számok.

Cantor wondered whether there are infinities

Cantor azt kérdezte, hogy vannak-e más számosságú

of different sizes between these two infinities.

végtelenek e két végtelen között.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Nem hitte, hogy lennének, de nem sikerült bebizonyítania.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Cantor sejtése kontinuumhipotézis néven vált ismertté.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

1900-ban David Hilbert, a nagy matematikus

listed the continuum hypothesis

a kontinuumhipotézist

as the most important unsolved problem in mathematics.

a matematika legfontosabb megoldatlan problémájának nevezte.

The 20th century saw a resolution of this problem,

A 20. század eldöntötte a problémát,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

de igen váratlan, meghökkentő módon.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Az 1920-as években Kurt Gödel megmutatta,

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

hogy nem lehet megcáfolni a kontinuumhipotézist.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Később, az 1960-as években Paul J. Cohen megmutatta,

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

hogy nem bizonyítható, hogy a kontinuumhipotézis igaz lenne.

Taken together, these results mean

Összegezve, az következik,

that there are unanswerable questions in mathematics.

hogy vannak megválaszolhatatlan kérdések a matematikában.

A very stunning conclusion.

Elég döbbenetes következtetés.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

A matematikát jogosan tartják az emberi gondolkodás csúcsának,

but we now know that even mathematics has its limitations.

de látjuk, hogy még a matematikának is vannak korlátai.

Még a matematikában is vannak meglepő dolgok, amin van mit töprengeni.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.