How big is infinity? - Dennis Wildfogel

¿Cómo de infinito es el infinito?

Revisor: Sebastian Betti

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Cuando estaba en cuarto de primaria, mi maestro nos dijo un día:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Hay tantos números pares como números.

"Really?", I thought.

"¿De verdad?", me dije. Pues sí, hay infinitos en cada caso, así que supongo que habrá una misma cantidad de ambos.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Pero, por otra parte, los pares son sólo parte de los números enteros; también están los impares,

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

así que tiene que haber más números enteros que pares, ¿no?

To see what my teacher was getting at,

Para ver lo que mi maestro quería decir, pensemos primero en lo que significa que dos conjuntos tengan el mismo tamaño.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

¿Qué quiero decir cuando afirmo que tengo el mismo número de dedos en mi mano derecha que en la izquierda?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Está claro que tengo cinco dedos en cada una, pero la cosa es aún más sencilla.

No tengo que contar, me basta con establecer una correspondencia uno a uno entre los dedos de ambas manos.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

De hecho, creemos que algunos pueblos antiguos que hablaban idiomas que carecían de palabras

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

para números mayores de tres usaban este tipo de recurso. Por ejemplo, si sacas las ovejas a pastar desde el redil,

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

puedes llevar la cuenta de cuántas salieron apartando una piedra por cada una de ellas

and putting those stones back one by one when the sheep return,

y volviéndolas a juntar una a una cuando las ovejas vuelven.

so you know if any are missing without really counting.

Así sabrías si falta alguna sin tener realmente que contar.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Otro ejemplo de que las correspondencias son más básicas que contar es el siguiente:

if I'm speaking to a packed auditorium,

si hablo ante un auditorio lleno a rebosar, en el que todos los asientos están ocupados y nadie está de pie,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

sé que hay el mismo número de sillas que de personas en el público,

even though I don't know how many there are of either.

aunque no sepa cuántas hay de unas ni de otras.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Así que, lo que realmente queremos decir cuando afirmamos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño

is that the elements in those sets

es que entre los elementos de ambos conjuntos se puede establecer alguna correspondencia uno a uno.

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

Mi maestro de cuarto nos mostró los números enteros en fila, y debajo de cada uno de ellos su doble.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

Como pueden ver, la fila de abajo contiene todos los números pares, y tenemos una correspondencia uno a uno.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Así que hay tantos números pares como números.

But what still bothers us is our distress

Pero lo que aún nos incomoda es que parece que los números pares son solo una parte de todos los enteros.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

Pero, ¿convence esto de que no tengo los mismos dedos en la mano derecha y en la izquierda?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

Por supuesto que no. No importa si uno intenta establecer la correspondencia de alguna manera que no sea válida,

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

eso no nos convence de nada.

that doesn't convince us of anything.

Si uno encuentra una manera de que los elementos de ambos conjuntos se correspondan entre sí uno a uno,

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

entonces decimos que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

¿Pueden hacer una lista de todas las fracciones? Puede que sea difícil, ¡son muchas!

This might be hard, there are a lot of fractions!

Y no es nada evidente por cuál empezar, o cómo asegurarnos de que en la lista están todas.

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

Sin embargo, existe una manera muy inteligente de construir la lista de todas las fracciones.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

El primero en hacerla fue Georg Cantor, a finales del siglo XIX.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Primero, ponemos todas las fracciones en una cuadrícula. Están todas. Por ejemplo, encontramos 117/243

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

en la fila 117ª y la columna 223ª.

Now we make a list out of this

Ahora creamos la lista empezando por la esquina superior izquierda y recorriéndola diagonalmente una y otra vez,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

saltándonos todas las fracciones, como 2/2, que representan números que ya hemos seleccionado.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

Tenemos así una lista de todas las fracciones, lo que significa que hemos creado una correspondencia uno a uno

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

entre los enteros y las fracciones, a pesar de que pensábamos que quizá habría más fracciones.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

Ahora es cuando la cosa se pone realmente interesante.

OK, here's where it gets really interesting.

Puede que sepan que no todos los números reales —todos los que figuran en la recta numérica— son fracciones.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos o pi.

Any number like this is called irrational.

Los números como estos se llaman irracionales. No porque estén locos, sino porque las fracciones son

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

razones entre números enteros, y por tanto se llaman racionales. Lo que significa que el resto son no racionales, es decir, irracionales.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Los irracionales se representan mediante un número infinito de decimales que no se repiten.

So, can we make a one-to-one match

¿Podemos establecer una correspondencia uno a uno entre los enteros y el conjunto de todos los decimales,

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

racionales e irracionales incluidos? Es decir, ¿podemos hacer una lista de todos los números decimales?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Cantor demostró que no. No que no supiésemos cómo hacerlo, sino que no se podía hacer.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Supongamos que alguien asegura que ha construido una lista de todos los decimales. Voy a demostrar que no es así,

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

creando un decimal que no está en la lista.

I'll construct my decimal one place at a time.

Lo haré cifra a cifra.

For the first decimal place of my number,

Para la primera cifra decimal de mi número, partiré de la primera cifra decimal de ese primer número.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Si es un uno, la mía será un dos; si no lo es, la mía será un uno.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

Para la segunda cifra de mi número, me fijaré en la segunda cifra decimal de ese segundo número.

I'll look at the second place of your second number.

De nuevo, si la de Uds es un uno, la mía será un dos; y si no lo es, la mía será un uno.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

¿Ven cómo funciona? El número decimal que he creado no puede estar en esa lista.

The decimal I've produced can't be on your list.

¿Por qué? ¿Podría ser, pongamos, el número 143º? No, porque la 143ª cifra decimal de mi número

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

es distinta de la 143ª cifra de ese 143º número. Así es como la he construido.

I made it that way.

Your list is incomplete.

La lista es incompleta. No contiene mi número decimal.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Y me des la lista que me des, siempre puedo hacer lo mismo y construir un número que no figure en ella.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Así que llegamos a esta asombrosa conclusión:

The decimal numbers cannot be put on a list.

Los números decimales no pueden ponerse en una lista. Representan una infinidad mayor que la de los números enteros.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Así que, aunque sólo estamos acostumbrados a ver unos pocos irracionales, como la raíz de dos o pi,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

la infinidad de todos los irracionales es de hecho mayor que la de las fracciones.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Alguien dijo una vez que los racionales —las fracciones— son como las estrellas del firmamento;

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

y los irracionales son la oscuridad.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor también demostró que, para cualquier conjunto infinito, se puede crear un infinito mayor que reúna

forming a new set made of all the subsets of the original set

todos los subconjuntos del conjunto inicial. Eso significa que, una vez que tengamos un infinito,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

siempre podemos crear uno mayor construyendo el conjunto que engloba a todos los subconjuntos del primero.

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

Y uno aún mayor creando el conjunto de todos los subconjuntos de este segundo. Y así sucesivamente.

And so on.

Por tanto, hay un número infinito de infinitos de distintos tamaños.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Si estas ideas les incomodan, no son los únicos. Algunos de los más grandes matemáticos de la época de Cantor

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

estaban muy molestos con estas cosas e intentaron hacer que los distintos infinitos fuesen irrelevantes,

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

hacer que,, de alguna manera, las matemáticas pudiesen funcionar sin ellos.

Cantor llegó a ser vilipendiado personalmente, y la situación se complicó tanto que cayó en una profunda depresión

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

y pasó la última mitad de su vida entrando y saliendo de centros psiquiátricos,

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

Pero, con el tiempo, sus ideas se impusieron y hoy en día se consideran fundamentales y magníficas.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

Todos los matemáticos investigadores las aceptan y se estudian en todas las universidades

every college math major learns them,

y yo te las he explicado en apenas unos minutos.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Un día, quizá, formen parte del saber popular.

There's more.

Hay más. Acabamos de señalar que el conjunto de números decimales —es decir, los números reales— es una

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

infinidad mayor que el conjunto de números enteros. Cantor se planteó si habría infinitos

Cantor wondered whether there are infinities

de diferentes tamaños entre esos dos. Pensaba que no era así, pero no fue capaz de demostrarlo.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Esta conjetura de Cantor se conoce como hipótesis del continuo.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

En 1900, el gran matemático David Hilbert destacó la hipótesis del continuo como el más importante

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

de los problemas aún por resolver en matemáticas.

The 20th century saw a resolution of this problem,

El siglo XX fue testigo de la resolución de este problema, pero de una manera completamente inesperada y disruptiva.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

En los años veinte, Kurt Gödel demostró que no se puede demostrar que la hipótesis del continuo sea falsa.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Después, en los sesenta, Paul J. Cohen demostró que tampoco se puede probar que sea cierta.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Juntos, ambos resultados implican que en matemáticas hay preguntas para las que no existe respuesta.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

Una conclusión realmente asombrosa.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Las matemáticas se consideran, con razón, la cumbre del razonamiento humano

but we now know that even mathematics has its limitations.

pero ahora sabemos que incluso las matemáticas tienen sus limitaciones.

A pesar de lo cual, siguen proporcionando cosas realmente fascinantes en las que pensar.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.