How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Quão grande é o infinito? — Dennis Wildfogel

Tradutor: Rafael Galupa Revisora: Tony Silva

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Quando eu estava na quarta classe, o professor disse-nos:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Há tantos números pares quanto números."

"Really?", I thought.

"A sério?", pensei eu. Realmente, há um número infinito de ambos,

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

portanto suponho que haja o mesmo número de ambos.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Por outro lado, os números pares são apenas uma parte de todos os números.

all the odd numbers are left over,

Os ímpares ficam de fora,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

portanto tem de haver mais números do que números pares.

To see what my teacher was getting at,

Para perceber o que o professor queria dizer, vamos pensar

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

no que significa dois conjuntos terem o mesmo tamanho.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

O que é que significa quando digo

on my right hand as I do on left hand?

que tenho tantos dedos na mão direita como na mão esquerda?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

É óbvio que tenho cinco dedos em cada uma mas é mais simples do que isso.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

Não preciso de os contar,

só preciso de perceber se os consigo combinar, um a um.

In fact, we think that some ancient people

Pensa-se que alguns povos antigos, que falavam línguas

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

que não tinham palavras para números maiores do que três,

used this sort of magic.

usavam este tipo de truque.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Por exemplo, se tirarem as ovelhas do curral para pastar

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

conseguem não perder a conta de quantas saíram

se puserem de lado uma pedra por cada uma

and putting those stones back one by one when the sheep return,

e depois deitarem as pedras fora, uma a uma,

quando as ovelhas regressarem.

so you know if any are missing without really counting.

Ficam a saber se falta alguma sem precisarem de contar.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Outro exemplo de emparelhar ser mais fundamental do que contar:

if I'm speaking to a packed auditorium,

quando falo para um auditório lotado,

where every seat is taken and no one is standing,

onde cada assento está ocupado e não há ninguém de pé,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

sei que há o mesmo número de assentos e pessoas no auditório

even though I don't know how many there are of either.

apesar de não saber quantos é que existem de cada.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Quando dizemos que dois conjuntos têm o mesmo tamanho

is that the elements in those sets

é que os elementos desses conjuntos

can be matched up one by one in some way.

podem ser combinados, um a um, de certa forma.

My fourth grade teacher showed us

O professor mostrou-nos os números inteiros

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

dispostos numa linha e, por baixo de cada, o seu dobro.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

Como vemos, a linha de baixo contém todos os números pares,

and we have a one-to-one match.

com correspondência de um para um.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Ou seja, há tantos números pares como há números.

But what still bothers us is our distress

Mas o que nos incomoda é a angústia

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

porque os números pares parecerem ser apenas parte dos números inteiros.

But does this convince you

Isto convence-vos de que não tenho o mesmo número de dedos

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

na mão esquerda e na mão direita?

Of course not.

Claro que não. Não importa se tentamos combinar

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

os elementos de qualquer forma e não resulta,

that doesn't convince us of anything.

isso não nos convence de nada.

If you can find one way

Se conseguirmos encontrar forma

in which the elements of two sets do match up,

de emparelhar elementos de dois conjuntos,

dizemos que esses dois conjuntos têm o mesmo número de elementos.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

Conseguem fazer uma lista de todas as frações?

This might be hard, there are a lot of fractions!

Vai ser difícil, há uma data de frações!

And it's not obvious what to put first,

E não é óbvio qual escrever primeiro

or how to be sure all of them are on the list.

ou ter a certeza de que incluímos todas na lista.

Nevertheless, there is a very clever way

De qualquer maneira, há uma maneira muito inteligente

that we can make a list of all the fractions.

de fazer uma lista com todas as frações.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

O primeiro a fazê-lo foi Georg Cantor, no final do século XIX.

First, we put all the fractions into a grid.

Primeiro, escrevemos todas as frações numa grelha.

Estão todas lá.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

Podemos encontrar, por exemplo, 117/243

in the 117th row and 243rd column.

na linha 117 e coluna 223.

Now we make a list out of this

Fazemos uma lista a partir disto,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

começando no canto superior esquerdo

e andando para trás e para a frente na diagonal,

skipping over any fraction, like 2/2,

saltando qualquer fração como 2/2

that represents the same number as one the we've already picked.

que representa um número que já escrevemos.

We get a list of all the fractions,

Assim, obtemos uma lista de todas as frações,

which means we've created a one-to-one match

o que significa que criámos uma correspondência 1:1

between the whole numbers and the fractions,

entre os números inteiros e as frações,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

apesar de termos pensado que talvez existissem mais frações.

Agora é que se torna realmente interessante.

OK, here's where it gets really interesting.

You may know that not all real numbers

Talvez saibam que nem todos os números reais

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

— isto é, todos os números numa reta numérica — são frações.

The square root of two and pi, for instance.

A raiz quadrada de 2 e o π, por exemplo.

Any number like this is called irrational.

Quaisquer números como estes chamam-se irracionais.

Not because it's crazy, or anything,

Não por serem doidos, mas porque as frações

but because the fractions are ratios of whole numbers,

são a razão entre números inteiros,

and so are called rationals;

portanto chamam-se racionais,

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

ou seja, o resto é não-racional, ou irracional.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Os irracionais são representados por decimais infinitos e não periódicos.

So, can we make a one-to-one match

Será que conseguimos fazer uma correspondência 1:1

between the whole numbers and the set of all the decimals,

entre os números inteiros e o conjunto de todos os decimais,

both the rationals and the irrationals?

tanto racionais como irracionais?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Isto é, conseguimos fazer uma lista de todos os decimais?

Cantor showed that you can't.

Cantor mostrou que não é possível.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Não é que não saibamos, mas não é possível fazê-lo.

Suponham que alegam que fizeram uma lista de todos os decimais.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

Vou mostrar-vos que não o conseguiram,

by producing a decimal that is not on your list.

gerando um decimal que não está na vossa lista.

I'll construct my decimal one place at a time.

Vou construir o meu decimal, algarismo a algarismo.

For the first decimal place of my number,

Para a primeira casa decimal do meu número,

I'll look at the first decimal place of your first number.

olho para a primeira casa decimal do vosso primeiro número.

If it's a one, I'll make mine a two;

Se for um 1, a minha será um 2. Caso contrário, a minha será um 1.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

Para a segunda casa decimal do meu número,

I'll look at the second place of your second number.

olho para a segunda casa decimal do vosso segundo número.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

De novo, se a vossa for um 1, a minha será um 2.

and otherwise I'll make mine a one.

Caso contrário, a minha será um 1.

See how this is going?

Estão a ver onde vai dar?

The decimal I've produced can't be on your list.

O decimal que eu escrever não pode estar na vossa lista.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

Porquê? Poderia o vosso 143.º número?

No, because the 143rd place of my decimal

Não, porque a 143.ª casa decimal do meu número

is different from the 143rd place of your 143rd number.

é diferente da 143.ª casa decimal do vosso 143.º número.

I made it that way.

Foi assim que o defini.

Your list is incomplete.

A vossa lista estará incompleta.

It doesn't contain my decimal number.

Não contém o meu decimal.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Seja qual for a lista que me derem,

posso fazer o mesmo e produzir um decimal que não está na lista.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Portanto, estamos perante uma conclusão espantosa:

The decimal numbers cannot be put on a list.

os números decimais não podem ser listados.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Representam um infinito maior do que o infinito dos números inteiros.

Embora estejamos familiarizados apenas com alguns irracionais,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

como a raiz quadrada e Pi,

the infinity of irrationals

a infinidade de todos os irracionais

is actually greater than the infinity of fractions.

é maior do que a infinidade das frações.

Someone once said that the rationals

Alguém disse uma vez que os racionais — as frações —

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

são como as estrelas no céu noturno;

The irrationals are like the blackness.

os irracionais são como a escuridão.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor também mostrou que, para qualquer conjunto infinito,

forming a new set made of all the subsets of the original set

que forme um novo conjunto feito de todos os subconjuntos do conjunto original

represents a bigger infinity than that original set.

representa um infinito maior do que o conjunto original.

This means that, once you have one infinity,

Isto significa que, quando temos um infinito,

you can always make a bigger one

podemos sempre encontrar um maior

by making the set of all subsets of that first set.

formando um conjunto com todos os subconjuntos do primeiro.

And then an even bigger one

E depois um ainda maior

by making the set of all the subsets of that one.

formando um conjunto com todos os subconjuntos desse.

And so on.

E por aí adiante.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Ou seja, há um número infinito de infinitos com diferentes tamanhos.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Se estas ideias vos são desconfortáveis, não são os únicos.

Alguns dos maiores matemáticos contemporâneos de Cantor

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

ficaram muito perturbados com isto.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Tentaram tornar irrelevantes estes diferentes infinitos,

to make mathematics work without them somehow.

fazer com que a matemática funcionasse sem eles.

Cantor was even vilified personally,

Cantor foi até pessoalmente difamado,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

de tal maneira que sofreu uma grave depressão

e passou a última metade da sua vida

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

dentro e fora de instituições de saúde mental.

But eventually, his ideas won out.

Mas, por fim, as suas ideias vingaram.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Atualmente, são consideradas fundamentais e magníficas.

All research mathematicians accept these ideas,

Todos os investigadores matemáticos as aceitam,

qualquer aluno universitário de matemática as aprende

every college math major learns them,

and I've explained them to you in a few minutes.

e eu expliquei-as aqui em poucos minutos.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Talvez um dia elas se tornem conhecimento geral.

There's more.

E há mais.

We just pointed out that the set of decimal numbers

Apenas destacámos que o conjunto dos números decimais

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

— os números reais —

than the set of whole numbers.

é um infinito maior que o conjunto dos números inteiros.

Cantor wondered whether there are infinities

Cantor questionava se haveria infinitos

of different sizes between these two infinities.

de diferentes tamanhos entre estes dois infinitos.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Não acreditava que houvesse, mas não o conseguiu provar.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

A sua conjetura ficou conhecida como a hipótese do "continuum".

In 1900, the great mathematician David Hilbert

Em 1900, o grande matemático David Hilbert

listed the continuum hypothesis

listou a hipótese do "continuum" como o mais importante

as the most important unsolved problem in mathematics.

problema matemático por resolver.

The 20th century saw a resolution of this problem,

O século XX assistiu à resolução deste problema,

mas de uma maneira totalmente inesperada e que abalou paradigmas.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Nos anos 20, Kurt Gödel demonstrou que nunca se poderá provar

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

que a hipótese do "continuum" seja falsa.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Mais tarde, nos anos 60, Paul J. Cohen demonstrou

que nunca se poderá provar que ela seja verdadeira.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Ou seja, estes resultados querem dizer que há questões na matemática

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

que não podem ser resolvidas.

A very stunning conclusion.

Uma conclusão muito surpreendente.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Considera-se a matemática corretamente o pináculo do raciocínio humano,

but we now know that even mathematics has its limitations.

mas sabemos agora que até a matemática tem as suas limitações.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

Ainda assim, a matemática tem coisas verdadeiramente maravilhosas

para nos fazer pensar.