How big is infinity? - Dennis Wildfogel

L'infini, c'est grand comment ?

Traducteur: Elisabeth Buffard Relecteur: Ms Buffard's students

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Quand j'étais en CM1 , mon professeur nous a dit un jour:

"There are as many even numbers as there are numbers."

« Il y a autant de nombres pairs qu'il y a de nombres. »

"Really?", I thought.

Je me suis dit, « Vraiment ? » . Bon, voyons, puisqu'il y a un nombre infini des deux, je suppose qu'il y a le même nombre des deux."

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Mais, d'un autre côté, les nombres pairs sont seulement une partie des nombres entiers, tous les nombres impairs sont laissés de côté,

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

donc il doit forcément y avoir plus de nombres entiers que de nombres pairs, n'est-ce pas ?

To see what my teacher was getting at,

Pour voir où mon professeur voulait en venir, réfléchissons d'abord à ce que signifie pour deux ensembles d'avoir la même taille.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

Qu'est-ce que veux dire quand j'affirme que j'ai autant de doigts sur ma main droite que j'en ai sur ma main gauche ?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Bien sûr, j'ai cinq doigts à chaque main, mais en fait c'est plus simple que ça.

Je n'ai pas besoin de compter, j'ai juste besoin de vérifier si je peux les apparier, jusqu'au dernier.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

En fait, nous pensons que les peuples anciens qui parlaient des langues qui n'avaient pas de mots

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

pour des nombres supérieurs à trois utilisaient ce genre de magie. Par exemple, si on laisse sortir les moutons d'un enclos pour brouter,

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

on peut garder une trace de combien sont sortis en mettant de côté une pierre pour chacun d'eux,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

et en replaçant ces pierres une par une lorsque les moutons rentrent,

so you know if any are missing without really counting.

de sorte qu'on sait s'il en manque, sans vraiment compter .

As another example of matching being more fundamental than counting,

Un autre exemple pour montrer que l'appariement est plus important que le comptage :

if I'm speaking to a packed auditorium,

si je m'adresse à une salle comble où chaque siège est occupé et que personne n'est debout,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

j'en déduis qu'il y a le même nombre de sièges que de personnes dans l'assistance,

even though I don't know how many there are of either.

même si j'ignore combien il y a d'éléments dans chaque groupe.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Donc, ce que nous voulons dire lorsque nous disons que deux ensembles ont la même taille

is that the elements in those sets

c'est que nous pouvons, d'une certaine façon, apparier les éléments des groupes un à un .

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

Ainsi, mon professeur de CM1 a aligné devant nous tous les nombres entiers, et sous chacun d'eux nous avions leurs doubles.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

Comme vous pouvez le voir, la ligne du bas contient tous les nombres pairs, chacun étant apparié à un seul nombre.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Autrement dit, il y a autant de nombres pairs qu'il y a de nombres.

But what still bothers us is our distress

Mais ce qui nous ennuie toujours, c'est que les nombres pairs semblent n'être qu'une partie de la totalité des nombres.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

Mais est-ce que ça vous convainc que je n'ai pas le même nombre de doigts à ma main droite et à ma main gauche ?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

Bien sûr que non. Peu importe que vous essayez d'apparier les éléments d'une façon qui ne fonctionne pas,

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

ça ne prouve rien.

that doesn't convince us of anything.

Si vous pouvez trouver une façon d'apparier les éléments de deux ensembles,

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

alors nous affirmons que ces deux ensembles ont le même nombre d'éléments.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

Pouvez-vous faire une liste de toutes les fractions? Ça pourrait s'avérer difficile, il y a tellement de fractions !

This might be hard, there are a lot of fractions!

Et il n'est pas évident de savoir par où commencer, ou de savoir si on en n'a pas oublié.

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

Cependant, il existe un moyen très astucieux de faire une liste de toutes les fractions.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

Le premier à l'avoir fait fut Georg Cantor, à la fin du 19ème siècle.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

D'abord, nous mettons toutes les fractions dans une grille. Elles sont toutes là. Par exemple, on peut trouver, par exemple, 117/243,

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

à la 117ème ligne et 223ème colonne.

Now we make a list out of this

Maintenant nous faisons une liste à partir de cette grille,en commençant en haut à gauche et en balayant la grille en diagonale par allers-retours successifs,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

en sautant les fractions, comme 2/2 par exemple, qui représentent un nombre qu'on a déjà rencontré.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

Ainsi, nous avons une liste de toutes les fractions , ce qui signifie que nous avons apparier

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

les nombres entiers et les fractions, bien que nous pensions que, peut-être, il devrait y avoir plus de fractions.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

Bon, c'est là que ça devient vraiment intéressant.

OK, here's where it gets really interesting.

Vous savez peut-être que tous les nombres réels ne sont pas des fractions (pas tous ceux que l'on trouve sur l'axe des réels)

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

Par exemple, la racine carrée de 2 et Pi

Any number like this is called irrational.

N'importe lequel de ces nombres est appelé « irrationnel ». Pas irrationnel au sens de absurde, mais parce que les fractions sont

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

des quotients de nombres entiers, appelés aussi ratios, appelés nombres rationnels. Donc, les autres sont « non-rationnels », soit irrationnels.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Les irrationnels s'écrivent avec une infinité de décimales qui ne se répètent pas.

So, can we make a one-to-one match

Bon, peut-on créer un appariement entre les nombres entiers et l'ensemble de tous les réels

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

incluant les rationnels et les irrationnels ? Autrement dit, peut-on faire une liste de tous les nombres réels ?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Candor a démontré que l'on ne peut pas. Non pas qu'on ne sache pas comment faire, il a démontré que ça n'est pas faisable.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Supposons que vous prétendiez avoir fait une liste de tous les réels. Je vais vous prouver que vous n'avez pas réussi

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

en produisant un nombre qui n'est pas sur votre liste.

I'll construct my decimal one place at a time.

Je vais construire mon nombre petit à petit.

For the first decimal place of my number,

Pour la première décimale de mon nombre, je regarde la première décimale de votre premier nombre dans la liste.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Si c'est un UN, je place un DEUX dans le mien. Dans le cas contraire, je place un UN.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

Pour la deuxième décimale de mon nombre, je regarde la deuxième décimale de votre deuxième nombre.

I'll look at the second place of your second number.

Là encore, si le vôtre est un UN, je place un DEUX dans le mien. Dans le cas contraire, je place un UN.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

Vous voyez comment ça marche? Le nombre que j'ai crée ne peut pas être dans votre liste.

The decimal I've produced can't be on your list.

Pourquoi ? Pourrait-il être, par exemple, le 143e nombre de votre liste ? Non, parce que la 143e décimale de mon nombre

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

est différente de la 143e décimale de votre 143e nombre. Je l'ai construit comme ça.

I made it that way.

Your list is incomplete.

Votre liste est incomplète. Elle ne contient pas mon nombre .

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Et, quelque soit la liste que vous me donnerez, je peux faire de même et produire un nombre qui n'est pas sur cette liste.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Nous sommes donc confrontés à cette conclusion stupéfiante :

The decimal numbers cannot be put on a list.

Les nombres réels ne peuvent pas être listés. Ils représentent un infini plus grand que l'infini des nombres entiers.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Donc, même si nous sommes familiers avec seulement quelques irrationnels, comme la racine carrée de 2 et Pi,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

l'infinité de tous les irrationnels est en fait plus grande que l'infinité des fractions.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Quelqu'un a dit un jour que les rationnels (les fractions) sont comme les étoiles dans un ciel nocturne ;

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

les irrationnels sont comme la noirceur.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor a également démontré que, pour tout ensemble infini, la construction d'un nouvel ensemble à partir de tous les sous-ensembles de l'ensemble de départ

forming a new set made of all the subsets of the original set

représente un infini plus grand que celui de l'ensemble de départ. Ce qui signifie que, à partir d'un infini donné,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

vous pouvez toujours en créer un plus grand en construisant l'ensemble de tous les sous-ensembles de cet ensemble de départ . Et même un autre encore plus grand

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

en construisant l'ensemble de tous les sous-ensembles de celui-là. Et ainsi de suite.

And so on.

Donc, il y a un nombre infini d'infinis de différentes tailles.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Si ces idées vous dérangent, vous n'êtes pas tout seul. Certains des plus grands mathématiciens de l'époque de Cantor

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

furent très contrariés par tout ça. Ils ont essayé rendre ces différents infinis insignifiants

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

pour, d'une certaine façon, faire fonctionner les mathématiques sans eux.

Cantor a même été dénigré personnellement, et ça a pris une telle ampleur qu'il en a fait une dépression profonde

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

et a passé le reste de sa vie à entrer et sortir des établissements psychiatriques.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

Mais au final ses idées l'ont emporté. Aujourd'hui, on les considère comme fondammentales et magnifiques.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

Tous les chercheurs en mathématiques acceptent ces idées, tous les étudiants en maths les apprennent,

every college math major learns them,

et je vous les ai expliquées en quelques minutes.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Un jour peut-être, elles seront connues de tous.

There's more.

Il y a plus. Nous venons de faire remarquer que l'ensemble des nombres, c'est-à-dire des nombres réels, est

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

un infini plus grand que celui de l'ensemble des nombres entiers. Candor s'est demandé si il y a des infinis

Cantor wondered whether there are infinities

de différentes tailles entre ces deux infinis . Il ne le croyait pas, mais il n'a pas pu le prouver.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

La conjecture de Cantor devint connu sous le nom l "hypothèse du continu".

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

En 1900, le grand mathématicien David Hilbert a inscrit l'hypothèse du continu comme le plus important

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

problème non résolu des mathématiques.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Le 20e siècle a vu la résolution de ce problème, mais d'une façon complètement inattendue, ébranlant notre vision du monde.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Dans les années 1920, Kurt Gödel a montré qu'on ne pourra jamais prouver que l"hypothèse du continu est fausse.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Puis, dans les années 1960, Paul J. Cohen a démontré qu'on ne pourra jamais prouver que l'hypothèse du continu est vraie.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Pris ensemble, ces résultats signifient qu'il y a des questions auxquelles on ne peut répondre en mathématiques.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

Une conclusion vraiment incroyable.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Les mathématiques sont, à juste titre, considérées comme le summum du raisonnement humain,

but we now know that even mathematics has its limitations.

mais nous savons maintenant que même les mathématiques ont leurs limites.

Pourtant, les mathématiques ont encore des choses vraiment étonnantes pour stimuler notre pensée.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.