How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Jak wielka jest nieskończoność?

Tłumaczenie: Beata Wasylkiewicz-Jagoda Korekta: Rysia Wand

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Kiedy byłem w czwartej klasie, nauczyciel powiedział nam:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Liczb parzystych jest tyle samo, co liczb w ogóle".

"Really?", I thought.

"Serio?" pomyślałem.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

Jednych i drugich jest nieskończenie wiele,

so I suppose there are the same number of them.

więc sądziłem, że to tyle samo.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Ale liczby parzyste to tylko część zbioru liczb naturalnych,

all the odd numbers are left over,

liczb nieparzystych nie liczymy,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

więc liczb naturalnych powinno być więcej niż liczb parzystych.

To see what my teacher was getting at,

Żeby zrozumieć, co sugerował mój nauczyciel,

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

sprawdźmy, co to znaczy, że dwa zbiory są równoliczne.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

Co to znaczy, że mam tyle samo palców

on my right hand as I do on left hand?

u lewej i prawej dłoni?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Mam po pięć palców u każdej, ale to właściwie jest jeszcze prostsze.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

Nie muszę liczyć.

Wystarczy zauważyć, że mogę je do siebie dopasować.

In fact, we think that some ancient people

Niektóre starożytne ludy

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

mówiące językami pozbawionych określeń dla liczb większych niż 3,

used this sort of magic.

używały tego rodzaju magii.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

Wypuszczając owce z zagrody,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

wystarczy odkładać po kamieniu dla każdej,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

i przełożyć znów je przy powrocie owiec.

so you know if any are missing without really counting.

Bez liczenia wiadomo, czy są wszystkie.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Oto inny przykład porównania zamiast liczenia.

if I'm speaking to a packed auditorium,

Kiedy mówię do pełnej sali,

gdzie wszystkie miejsca są zajęte i nikt nie stoi,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

to wiem, że na sali jest tyle samo osób, co krzeseł,

even though I don't know how many there are of either.

choć nie wiem, ile jest jednych i drugich.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

To, że dwa zbiory są tej samej wielkości oznacza,

is that the elements in those sets

że elementy tych zbiorów

can be matched up one by one in some way.

można jakoś do siebie dopasować.

My fourth grade teacher showed us

Mój nauczyciel zapisał

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

liczby naturalne w rzędzie, a pod nimi ich dwukrotności.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

Niższy rząd zawierał tylko liczby parzyste i tak powstało

and we have a one-to-one match.

dopasowanie jeden do jednego.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Liczb parzystych jest tyle samo, co liczb w ogóle.

But what still bothers us is our distress

Ale co z kłopotliwym faktem,

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

że liczby parzyste to tylko część liczb naturalnych?

But does this convince you

Czy wtedy uznalibyście,

that I don't have the same number of fingers

że mam mniej palców

on my right hand as I do on my left?

u prawej niż u lewej dłoni?

Of course not.

Oczywiście, że nie.

It doesn't matter if you try to match

Nie ma znaczenia, że nie uda się

the elements in some way and it doesn't work,

dopasować elementów,

that doesn't convince us of anything.

to nie dowiedzie niczego.

If you can find one way

Jeśli znajdzie się sposób

in which the elements of two sets do match up,

na dopasowanie elementów dwóch zbiorów,

then we say those two sets have the same number of elements.

wtedy można powiedzieć, że te dwa zbiory są takie same.

Can you make a list of all the fractions?

A czy da się spisać wszystkie ułamki?

This might be hard, there are a lot of fractions!

To może być trudne, ułamków jest przecież mnóstwo!

And it's not obvious what to put first,

I nie do końca wiadomo od czego zacząć

or how to be sure all of them are on the list.

albo jak ocenić, czy wszystkie są na liście.

Nevertheless, there is a very clever way

Jednak jest pewien sprytny sposób

that we can make a list of all the fractions.

na zrobienie listy wszystkich ułamków.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Po raz pierwszy dokonał tego Georg Cantor pod koniec XIX wieku.

First, we put all the fractions into a grid.

Najpierw trzeba utworzyć z nich siatkę.

They're all there.

Wszystkie tutaj są.

For instance, you can find, say, 117/243,

117/243 można znaleźć

in the 117th row and 243rd column.

w 117 rzędzie i 243 kolumnie.

Now we make a list out of this

Teraz trzeba zrobić listę,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

zaczynając w lewym górnym rogu i idąc na skos,

skipping over any fraction, like 2/2,

pomijając każdy ułamek, taki jak 2/2,

that represents the same number as one the we've already picked.

który jest równy temu, co już zostało wybrane.

We get a list of all the fractions,

Lista wszystkich ułamków jest gotowa.

which means we've created a one-to-one match

Czyli mamy dopasowanie jeden do jednego

between the whole numbers and the fractions,

między liczbami naturalnymi i ułamkami,

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

choć można pomyśleć, że ułamków powinno być więcej.

OK, here's where it gets really interesting.

Teraz robi się naprawdę interesująco.

You may know that not all real numbers

Nie wszystkie liczby rzeczywiste

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

znajdujące się na osi liczbowej można zapisać jako ułamki.

The square root of two and pi, for instance.

Np. pierwiastka z dwóch albo liczby π

Any number like this is called irrational.

nie da się przedstawić w postaci ułamka,

Not because it's crazy, or anything,

bo są to liczby niewymierne.

but because the fractions are ratios of whole numbers,

Ułamki są ilorazami liczb naturalnych,

and so are called rationals;

czyli liczbami wymiernymi,

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

wszystkie pozostałe są niewymierne.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Liczby niewymierne mają nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.

So, can we make a one-to-one match

Czy możemy stworzyć porównanie jeden do jeden

between the whole numbers and the set of all the decimals,

między liczbami naturalnymi a ułamkami dziesiętnymi,

both the rationals and the irrationals?

wymiernymi i niewymiernymi?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Czy da się spisać wszystkie ułamki dziesiętne?

Cantor showed that you can't.

Cantor pokazał, że się nie da.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Nie dlatego, że nie ma sposobu. Po prostu się nie da.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

Przypuśćmy, że stworzono listę wszystkich ułamków dziesiętnych.

I'm going to show you that you didn't succeed,

Udowodnię, że lista jest niekompletna,

by producing a decimal that is not on your list.

tworząc ułamek, którego na niej nie ma.

I'll construct my decimal one place at a time.

W moim ułamku będę zapełniał

For the first decimal place of my number,

kolejne miejsca po przecinku, jedno po drugim.

I'll look at the first decimal place of your first number.

Jeśli pierwsza liczba z listy na pierwszym miejscu po przecinku

If it's a one, I'll make mine a two;

ma 1, to w mojej wstawię 2;

otherwise I'll make mine a one.

w przeciwnym razie, wstawię 1.

For the second place of my number,

Przy drugim miejscu po przecinku

I'll look at the second place of your second number.

sprawdzę drugie miejsce po przecinku drugiej liczby

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

I znowu, jeśli będzie to 1, ja wpiszę 2,

and otherwise I'll make mine a one.

w przeciwnym razie wpiszę 1.

See how this is going?

Rozumiecie, jak to działa?

The decimal I've produced can't be on your list.

Ułamka dziesiętnego, który stworzę, nie może być na liście.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

Dlaczego? Czy mogłaby to być 143 liczba z kolei?

No, because the 143rd place of my decimal

Nie, ponieważ 143 miejsce po przecinku mojego ułamka

is different from the 143rd place of your 143rd number.

różni się od 143 miejsca po przecinku 143 liczby na liście.

I made it that way.

Tak to urządziłem.

Your list is incomplete.

Ta lista jest niekompletna.

It doesn't contain my decimal number.

Nie ma na niej mojej liczby.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Zrobię to samo z dowolną listą

and produce a decimal that's not on that list.

i stworzę liczbę, której na liście nie ma.

So we're faced with this astounding conclusion:

Stąd zdumiewający wniosek:

The decimal numbers cannot be put on a list.

nie da się stworzyć listy ułamków dziesiętnych.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

To jeszcze większa nieskończoność niż nieskończoność liczb naturalnych.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

Nawet jeśli znamy tylko kilka liczb niewymiernych,

like square root of two and pi,

jak pierwiastek z dwóch i liczbę π,

the infinity of irrationals

to ich nieskończoność

is actually greater than the infinity of fractions.

jest większa niż nieskończoność ułamków.

Someone once said that the rationals

Ktoś powiedział, że liczby wymierne

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

- ułamki - są tak liczne, jak gwiazdy na niebie.

The irrationals are like the blackness.

Liczby niewymierne są jak ciemność.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor udowodnił również, że każdy zbiór nieskończony

forming a new set made of all the subsets of the original set

jest mniej liczny

represents a bigger infinity than that original set.

niż zbiór jego podzbiorów.

This means that, once you have one infinity,

To oznacza, że mając jedną nieskończoność,

you can always make a bigger one

możesz zawsze mieć większą

by making the set of all subsets of that first set.

przez stworzenie zbioru jej podzbiorów.

And then an even bigger one

A potem nawet jeszcze większą,

by making the set of all the subsets of that one.

tworząc zbiór podzbiorów tej ostatniej.

And so on.

I tak dalej.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

Istnieje nieskończona liczba nieskończoności różnych rozmiarów.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Jeśli nie jesteś do końca przekonany, to nie jesteś w tym sam.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

Wielu wielkich matematyków współczesnych Cantorowi

were very upset with this stuff.

również nie było przekonanych.

They tried to make these different infinities irrelevant,

Starali się unieważnić te różne nieskończoności

to make mathematics work without them somehow.

myśląc, że matematyka będzie działała bez nich.

Cantor was even vilified personally,

Szkalowali Cantora,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

przez co wpadł co skw głęboką depresję

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

i spędził drugą połowę życia w szpitalach psychiatrycznych.

But eventually, his ideas won out.

Ale ostatecznie to jego pomysły wygrały.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

Dzisiaj uchodzą za fundamentalne i niezwykłe.

All research mathematicians accept these ideas,

Akceptują je wszyscy matematycy,

every college math major learns them,

każdy wykładowca matematyki ich uczy,

and I've explained them to you in a few minutes.

a ja wytłumaczyłem je wam w kilka minut.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Być może pewnego dnia będzie to wiedza powszechna.

There's more.

Ale jest tego więcej.

We just pointed out that the set of decimal numbers

Udowodniliśmy, że zbiór ułamków dziesiętnych

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

- liczby rzeczywiste - to większa nieskończoność

than the set of whole numbers.

niż zbiór liczb naturalnych.

Cantor wondered whether there are infinities

Cantor rozważał, czy między nimi

of different sizes between these two infinities.

są inne nieskończoności różnych rozmiarów.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Sądził, że nie, ale nie mógł tego udowodnić.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Przypuszczenie Cantora jest znane, jako hipoteza continuum.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

W 1900 roku wielki matematyk David Hilbert

listed the continuum hypothesis

nazwał hipotezę continuum

as the most important unsolved problem in mathematics.

najważniejszym nierozwiązanym problemem w matematyce.

The 20th century saw a resolution of this problem,

W XX wieku udało się go rozwiązać,

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

ale w zupełnie nieoczekiwany sposób.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

W latach 20. Kurt Gödel pokazał,

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

że nie da się zaprzeczyć hipotezie continuum.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Później, w latach 60. Paul J. Cohen udowodnił,

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

że nie da się potwierdzić hipotezy continuum.

Taken together, these results mean

Razem te wyniki oznaczają,

that there are unanswerable questions in mathematics.

że w matematyce istnieją pytania bez odpowiedzi.

A very stunning conclusion.

Szokująca konkluzja.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Matematyka jest uznawana za szczyt możliwości ludzkiego umysłu,

but we now know that even mathematics has its limitations.

ale teraz wiemy, że nawet matematyka ma swoje ograniczenia.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

Matematyka wciąż nam daje do myślenia.