How big is infinity? - Dennis Wildfogel

無限大はどのくらい大きい？

翻訳: Tomoshige Ohno 校正: Yasushi Aoki

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

私が４年生のある日 先生がこう言いました

"There are as many even numbers as there are numbers."

「偶数は自然数と同じだけあります」

"Really?", I thought.

「本当に？」と思いました 確かに自然数も偶数も 無限にあり 同じだけあると言えるかもしれませんが

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

しかしその一方で 偶数は自然数全体の 一部に過ぎず 他に奇数もあるので

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

自然数全体は 偶数より たくさんあるはずです

To see what my teacher was getting at,

先生が言わんとしたことを理解するために まず２つの 集合の大きさが同じとはどういうことか考えてみましょう

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

右手と左手に同じ本数の指があると言うとき その意味するところは何でしょう？

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

もちろん どちらの手にも５本の指がありますが 実はもっと簡単に示せます

数える必要はなく ただ手を合わせて 一本ずつ重ねていけばいいのです

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

実際 ３より大きい数を表す言葉のない言語を 使っていた古代の人々は

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

このトリックを使っていたと考えられています 例えば 囲いから羊を出し放牧するとき

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

一匹が出るごとに石を取っておき 帰って来たら石を戻すことで

and putting those stones back one by one when the sheep return,

何匹が外にいるのか分かり 戻ってない羊がいるかどうか

so you know if any are missing without really counting.

頭数を数えることなく 知ることができます

As another example of matching being more fundamental than counting,

対応付けが 数え上げより本質的である例を もう１つ挙げましょう

if I'm speaking to a packed auditorium,

私が満員の講堂で話していて 席は全て埋まり 立っている人がいないとすると

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

何人いるかは 分からないものの

even though I don't know how many there are of either.

席数と同じ数だけ聴衆がいる ことが分かります

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

つまり２つの集合が同じ 大きさであるということは

is that the elements in those sets

それぞれの集合の要素が 何らかの方法で １つずつ対応づけられるということです

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

私の４年生の時の先生は 自然数を１列に並べ その下にそれを２倍したものを書きました

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

見て分かるように 下の列は全ての偶数を含んでおり １対１で対応しています

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

つまり 自然数が存在するのと同じだけ 偶数も存在するのです

But what still bothers us is our distress

しかし偶数は自然数の一部でしかないという事実が 依然頭に引っかかります

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

かといって それで右手と左手の指の数が違う ことになるのでしょうか？

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

もちろん違います　ある方法で要素を対応付け ようとして うまくいかなかったとしても

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

そのことから言えることは 何もありません

that doesn't convince us of anything.

でも２つの集合の要素を 対応付ける方法を見つけられたなら

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

その２つの集合の要素数は 等しいと言えるのです

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

分数は全て列挙できるでしょうか？ 難しいかもしれません 何しろ分数はたくさんあります！

This might be hard, there are a lot of fractions!

何を最初に挙げたらいいのか？ 全て列挙されているか どうすれば分かるのか？

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

実は 全ての分数を列挙する うまい方法があります

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

ゲオルク・カントールが 19世紀末に考案しました

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

まず 全ての分数を格子状上に並べます 全部あるのが分かります 例えば117/243であれば

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

117行223列に見つかります

Now we make a list out of this

次に左上から始め 対角線上に行ったり 来たりしてリストを作っていきます

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

2/2のように 前に出てきたのと 同じ数は 飛ばすことにします

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

すると全ての分数のリストが得られます 分数は自然数より多いはずですが

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

それでも自然数全体と分数全体の間で １対１の対応付けができるのです

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

本当に面白くなるのはここからです

OK, here's where it gets really interesting.

ご存知かもしれませんが 実数 つまり数直線上にある 数は すべてが分数であるわけではありません

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

２の平方根や πなどがその例です

Any number like this is called irrational.

このような数は無理数(irrational)といいます そんな数は不合理だというわけではなく

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

分数は整数の比(ratio)であるために有理数(rational)と呼ばれ それ以外は有理数でない つまり無理数なのです

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

無理数は非循環小数で表されます

So, can we make a one-to-one match

自然数全体と 有理数・無理数両方を含む 小数全体の集合の間で

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

１対１の対応付けは可能なのでしょうか？ つまり小数全体は列挙できるのでしょうか？

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

カントールはそれが不可能であることを証明しました 単に方法を知らないということではなく 不可能なのです

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

仮に小数全体を列挙したとしましょう これからそのリストにない小数を作ることで

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

そのリストが不完全であることを示します

I'll construct my decimal one place at a time.

問題の小数を１桁ずつ作って行きます

For the first decimal place of my number,

小数第１位を決めるために リスト中で最初の数の小数第１位に注目します

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

もしその数が１だったら２を それ以外なら１を選びます

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

小数第２位を決めるために ２番目の数の小数第２位に注目します

I'll look at the second place of your second number.

ここでも同様に その数が１であれば２を そうでなければ１を選びます

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

どうなるかお分かりでしょうか？ そうして作った小数は このリスト中に存在し得ないのです

The decimal I've produced can't be on your list.

なぜでしょう？ その数は 例えば143番目の数で ありうるでしょうか？ いいえ この小数の小数第143位は

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

リストの143番目の数の小数第143位とは異なります そうなるように作ったんです

I made it that way.

Your list is incomplete.

リストは不完全だったわけです 今作った小数が含まれていません

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

どんなリストを与えられようと 同様の操作で そのリストに無い小数を作ることができます

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

つまり 我々は驚くべき 事実に直面したわけです

The decimal numbers cannot be put on a list.

小数は列挙不可能なのです 小数の全体は 自然数全体の無限大よりも大きな無限大ということです

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

我々に馴染み深い無理数は ２の平方根や 円周率など わずかしかありませんが

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

無理数全体の無限大は 分数の無限大よりも大きいのです

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

かつてこう言った人がいます 有理数 (分数) は 夜空の星のようであり

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

無理数は 夜空の黒い部分のようだと

Cantor also showed that, for any infinite set,

カントールはまた どのような無限集合に対しても その集合の部分集合全体からなる集合を構成すると

forming a new set made of all the subsets of the original set

元の集合よりも高位の無限大が得られることも示しました 無限集合があれば

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

その部分集合全体の集合を作ることで より大きな集合が得られ その結果に対して同じ操作をすれば

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

さらに大きな集合が得られ それをいくらでも繰り返していけます

And so on.

異なる大きさの無限大が 無数に存在するのです

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

この考えに納得いかないとしたら それはあなただけではありません カントールの時代の偉大な数学者の中にも

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

これにうろたえた人がいたのです 彼らはこの概念無しでも数学が成り立つように

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

無限大の違いを無意味なものに しようと試みました

カントールは個人的にも中傷されたために 重度の鬱に悩まされ

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

精神病院への入退院を繰り返しながら 半生を過ごしました

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

しかし結果的に彼の考えが勝ちました 今日では根本的かつ偉大な業績だと考えられています

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

全ての数学研究者がこのアイデアを受け入れ 全ての数学科の学生が学び

every college math major learns them,

私は数分でこの考えを 説明しました

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

いつの日にか 一般常識になっているかもしれません

There's more.

話には続きがあります 全ての小数(実数)の集合は 自然数全体の集合より高位の無限大だと指摘しましたが

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

カントールは これら２つの無限大の間に 異なる大きさの無限大は無いかと考えました

Cantor wondered whether there are infinities

彼は ないだろうと考えていたものの それを証明することはできませんでした

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

カントールの予想は「連続体仮説」として 知られるようになりました

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

1900年に偉大な数学者ダフィット・ヒルベルトは 数学における最も重要な未解決問題の１つとして

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

この連続体仮説を挙げました

The 20th century saw a resolution of this problem,

20世紀中にこの問題は解決されましたが その結論は 全く予想外で 旧来の考えを根底から覆すものでした

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

1920年代にクルト・ゲーデルが 連続体仮説を偽であると 証明することは不可能だと示し

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

1960年代にポール・J ・コーエンが 連続体仮説を 真であると証明することも不可能だと示したのです

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

これらを合わせると 数学には答え得ない問が存在することになります

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

実に驚くべき結論です

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

数学は人類の英知の粋だと 考えられていますが

but we now know that even mathematics has its limitations.

その数学ですら理解に限りが あることが分かったのです

それでも数学には 我々が考えるべき 本当に素晴らしいものあります

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.