How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Qual o tamanho do infinito?

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Quando eu estava na quarta série, meu professor disse um dia:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Existem tantos números pares quanto existem números inteiros."

"Really?", I thought.

"Sério?", pensei. Bem, pois é, existem infinitos dos dois, então suponho que exista a mesma quantidade.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Mas, por outro lado, números pares são somente uma parte dos números inteiros, sobram os ímpares.

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

Então, tem que existir mais números inteiros do que números pares, certo?

To see what my teacher was getting at,

Para ilustrar o que meu professor disse, vamos pensar primeiro sobre o que significa dois conjuntos terem o mesmo tamanho.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

O que eu quero dizer quando digo que tenho o mesmo número de dedos na minha mão esquerda e direita?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Claro, eu tenho cinco dedos em cada, mas é mais simples que isso na verdade.

Eu não preciso contar, só preciso verificar se consigo fazer uma correspondência um para um.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

De fato, pensamos que povos antigos cuja língua não tinha palavras

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

para números maiores que três usavam esse tipo de truque. Por exemplo, se você deixava sua ovelha sair do cercado para pastar,

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

você podia monitorar quantas saíram deixando uma pedrinha de lado para cada ovelha,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

E as colocando de volta uma por uma quando as ovelhas retornassem,

so you know if any are missing without really counting.

Assim você saberia se estava faltando alguma sem precisar contar.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Um outro exemplo de que correspondência é mais fundamental do que contar,

if I'm speaking to a packed auditorium,

se eu estou falando a um auditório cheio, onde todos os lugares estão ocupados e não há ninguém de pé,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

eu sei que há o mesmo número de lugares e de pessoas na plateia,

even though I don't know how many there are of either.

mesmo que eu não saiba quantos há de cada.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Portanto, o que realmente queremos dizer quando dizemos que dois conjuntos tem o mesmo tamanho

is that the elements in those sets

é que os elementos desses conjuntos podem ser conectados um para um de alguma maneira.

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

Então meu professor da 4ª série colocou os números em uma fileira e em baixo de cada um o seu dobro.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

Como vocês podem ver a linha de baixo contém todos os números pares e nós temos uma correpondência um para um.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Quer dizer, há a mesma quantidade de números pares que de números.

But what still bothers us is our distress

mas o que ainda nos incomoda é nossa angústia de que os números pares parecem ser somente uma parte dos números inteiros.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

Mas isso te convence que eu tenho a mesma quantidade de dedos na minha direita e na esquerda?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

Claro que não. Não importa se você tenta conectar os elementos de algum jeito e não funciona,

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

isso não nos convence de nada.

that doesn't convince us of anything.

Se você puder achar um jeito de conectar os elementos de dois conjuntos,

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

Então dizemos que esses dois conjuntos tem a mesma quantidade de elementos.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

Você consegue fazer uma lista de todas as frações? Pode ser difícil, há muitas frações!

This might be hard, there are a lot of fractions!

E não é óbvio o que vem primeiro, ou como ter certeza que todas estão na lista.

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

Apesar disso, há uma maneira muito inteligente de se fazer uma lista de frações.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

Isso foi feito primeiramente por Georg Cantor no final do século XIX.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Primeiro, colocamos todas as frações numa matriz. Todas estão lá. Por exemplo, você pode encontrar, digamos, 117/243,

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

na 117ª linha e na 243ª coluna.

Now we make a list out of this

Agora fazemos uma lista conmeçando no canto superior esquerdo e varrendo diagonalmente,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

pulando qualquer fração, como 2/2, que represente um número que já tenhamos considerado.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

E assim temos uma lista de todas as frações, o que significa que criamos uma correspondência um para um

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

entre os números inteiros e as frações, apesar de termos pensado que havia mais frações.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

Ok, aqui é que fica interessante.

OK, here's where it gets really interesting.

Você talvez saiba que nem todos os números reais — isto é, nem todos os números num eixo numérico — são frações.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

A raíz quadrada de dois e pi, por exemplo.

Any number like this is called irrational.

Qualquer número como esses é chamado irracional. Não porque ele seja louco ou coisa parecida, mas porque frações são

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

razões entre números inteiros, e são portanto chamadas racionais; deixando o resto como não-racional, ou seja, irracional.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

Irracionais são representados por decimais infinitos que não se repetem.

So, can we make a one-to-one match

Portanto, podemos fazer uma correspondência um para um entre os números inteiros e o conjunto de todos os decimais,

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

contendo os racionais e irracionais? Isto é, podemos criar uma lista de todos os números decimais?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Cantor mostrou que não. Não somente que não sabemos como, mas que não há como.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Olhe, suponha que você diga que criou uma lista de todos os decimais. Vou mostrar que você está errado

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

produzindo um decimal que não está na sua lista.

I'll construct my decimal one place at a time.

Vou construir meu decimal um dígito por vez.

For the first decimal place of my number,

Para o primeiro dígito do meu número, vou olhar para o primeiro dígito decimal do seu primeiro número.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Se for um "um", colocarei no meu um "dois"; caso contrário, colocarei um "um".

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

Para o segundo dígito do meu número, vou olhar para o segundo dígito decimal do seu segundo número.

I'll look at the second place of your second number.

Novamente, se o seu for um "um", colocarei no meu um "dois", e caso contrário, colocarei no meu um "um".

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

Vê o que está acontecendo? O decimal que eu produzi não pode estar na sua lista.

The decimal I've produced can't be on your list.

Por quê? Poderia ser, digamos o seu 143º número? Não, pois o 143º dígito decimal do meu número

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

é diferente do 143º dígito do seu 143º número. Eu fiz desse jeito.

I made it that way.

Your list is incomplete.

Sua lista está incompleta. Ela não contém o meu número decimal.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

E, não importa qual lista você me entregue, eu posso fazer a mesmo coisa, e produzir um decimal que não esteja na lista.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Então, chegamos a esta conclusão incrível:

The decimal numbers cannot be put on a list.

Os números decimais não podem ser colocados numa lista. Eles representam um infinito maior que o infinito dos números inteiros.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Então, mesmo que conheçamos somente algums irracionais, como a raíz quadrada de dois e pi,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

o infinito dos irracionais é na verdade maior que o infinito das frações.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Alguém uma vez disse que os racionais — as frações — são como as estrelas do céu noturno;

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

os irracionais são como a escuridão;

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor também mostrou que, para qualquer conjunto infinito, se formarmos um novo conjunto com todos os subconjuntos do conjunto original

forming a new set made of all the subsets of the original set

construimos um infinito maior que o do conjunto original. Isso quer dizer que, uma vez que se tenha um infinito,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

pode-se sempre criar um maior pegando o conjunto de todos os subconjuntos do primeiro conjunto. E então um ainda maior

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

pegando o conjunto dos subconjuntos deste. E assim por diante.

And so on.

Portanto, há uma quantidade infinita de infinitos de tamanhos diferentes.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Se essas ideias te deixam desconfortável, você não está sozinho. Alguns dos maiores matemáticos do tempo de Cantor

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

ficaram muito incomodados com isso. Tentaram tornar esses infinitos diferentes irrelevantes,

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

para fazer que a matemática funcionasse sem eles de algum jeito.

Cantor foi visto como vilão, e isso se tornou tão ruim para ele que ele sofreu de depressão severa,

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

e passou a última metade de sua vida entrando e saindo de instituições mentais.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

Mas enfim suas ideias triunfaram. Hoje, elas são consideradas fundamentais e magníficas.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

Todos matemáticso pesquisadores aceitam essas ideias, todo estudante de matemática as aprende,

every college math major learns them,

E as expliquei para vocês em alguns minutos.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Algum dia, talvez, elas serão conhecimento comum.

There's more.

E tem mais. Acabos de mostrar que o conjunto de números decimais — ou seja, os números reais — é um

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

infinito maior que o conjunto dos números inteiros. Cantor se perguntou se havia infinitos

Cantor wondered whether there are infinities

de tamanhos diferentes entre esses dois infinitos. Ele acreditava que não, mas não conseguiu provar.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

a hipótese de Cantor ficou conhecida como a hipótese do continuum.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Em 1900, o grande matemático David Hilvert listou a hipótese do continuum como o problema não resolvido

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

mais importante da matemática.

The 20th century saw a resolution of this problem,

O século XX viu uma resolução desse problema, mas de um jeito inesperado e quebrando paradigmas.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Na década de 20, Kurt Gödel mostrou que não é possível provar a hipótese do continuum como falsa.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Depois, na década de 60, Paul J. Cohen mostrou que não é possível porvar a hipótese do continuum como verdadeira.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Em conjunto, esses resultados mostram que há perguntas na matemática pras quais não há respostas.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

Uma conclusão atordoante.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Matemática é considerada o auge do raciocínio humano,

but we now know that even mathematics has its limitations.

mas agora sabemos que até a matemática tem suas limitações.

Mesmo assim, matemática oferece algumas coisas impressionantes sobre o que se pensar.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.