How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Translator: hassan qodusi Reviewer: soheila Jafari

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

وقتی کلاس چهارم بودم، معلمم یه روز بهمون گفت:

"There are as many even numbers as there are numbers."

«به اندازه‌ی تمام اعداد، عدد زوج هم هست».

"Really?", I thought.

من گفتم «واقعاً؟».

Well, yeah, there are infinitely many of both,

خب آره، در هر دو تاش بی‌نهایت عدد هست،

so I suppose there are the same number of them.

پس فکر می‌کردم تعدادشون هم برابره.

But even numbers are only part of the whole numbers,

ولی اعداد زوج بخشی از اعداد صحیح هستند،

all the odd numbers are left over,

اعداد فرد هم گذاشتیم کنار.

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

پس باید اعداد صحیح بیشتر از اعداد زوج باشن، درسته؟

To see what my teacher was getting at,

برای فهم اینکه منظور معلمم چی بود،

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

بیایید اول بفهمیم هم‌اندازه بودنِ دو مجموعه یعنی چی؟

What do I mean when I say I have the same number of fingers

وقتی من می‌گم تعداد انگشتان دست چپم با انگشتان دست راستم

on my right hand as I do on left hand?

برابرند یعنی چی؟

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

البته که من پنج انگشت در هر دستم دارم اما موضوع ساده‌تر از اینه.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

لازم نیست بشمارم، فقط کافیه ببینم که همپوشانی دارن. یک به یک.

In fact, we think that some ancient people

در واقع، فکر می‌کنیم بعضی از مردم باستان

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

که در زبان‌شون کلمه‌ای برای شماره‌های بزرگتر از سه نداشتن

used this sort of magic.

از این جادو استفاده می‌کردن.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

مثلاً، اگر گوسفندان‌تان را برای چرا از آغل‌شون بیرون می‌برید،

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

می‌تونید با بیرون رفتن هر یک، سنگی کنار بذارید و تعدادشون رو نگه دارید.

and putting those stones back one by one when the sheep return,

و وقتی برگشتن برای هرکدوم یک سنگ رو برگردونید سرجاش

so you know if any are missing without really counting.

اینطوری می‌فهیمد چندتا گم شدن بدون اینکه واقعا شمارش کنید.

As another example of matching being more fundamental than counting,

بعنوان مثال دیگری از اولویتِ همپوشانی نسبت به شمارش کردن،

if I'm speaking to a packed auditorium,

اگر من در یک تالار سخنرانی صحبت کنم،

where every seat is taken and no one is standing,

جایی که تک تک صندلی‌ها پر باشد و هیچکس سرپا نباشد ،

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

می‌دانم که به اندازه‌ی صندلی‌ها آدم در آنجا حضور دارد،

even though I don't know how many there are of either.

گرچه تعداد دقیق هیچکدام را نمی‌دانم.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

پس، واقعا منظور واقعی‌مان وقتی می‌گوییم دو مجموعه هم‌اندازه هستند

is that the elements in those sets

این است که عناصر آن دو مجموعه

can be matched up one by one in some way.

به نوعی می‌توانند یک به یک همپوشانی کنند.

My fourth grade teacher showed us

معلم کلاس چهارمم به ما نشان داد

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

اگر اعداد صحیح در یک ردیف باشند و زیر هر یک دوبرابرش را داشته باشیم.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

همانطور که می‌بینید، ردیف پایین شامل همه‌ی اعداد زوج است،

and we have a one-to-one match.

و یک همپوشانی یک به یک داریم.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

بعبارت دیگر، به اندازه تمام اعداد، عدد زوج هم داریم.

But what still bothers us is our distress

اما چیزی که هنوز اذیتمان می‌کند نگرانی ما

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

از این واقعیت است که اعداد زوج ظاهراً تنها بخشی از اعداد صحیح هستند.

But does this convince you

اما آیا باور می‌کنید

that I don't have the same number of fingers

که تعداد انگشتان دست چپ و انگشتان دست راستم

on my right hand as I do on my left?

با هم برابر نیستند؟

Of course not.

البته که نه.

It doesn't matter if you try to match

مهم نیست که سعی کنید این عناصر

the elements in some way and it doesn't work,

به نوعی همپوشانی کنند و اینطور نشود،

that doesn't convince us of anything.

این در هیچ چیزی ما را قانع نمی‌کند.

If you can find one way

اگر بتوانید راهی پیدا کنید

in which the elements of two sets do match up,

که عناصر دو مجموعه همپوشانی کنند،

then we say those two sets have the same number of elements.

آنگاه می‌گوییم این دو مجموعه تعداد برابری از عناصر دارند.

Can you make a list of all the fractions?

آیا می‌توانید اعداد کسری را فهرست کنید؟

This might be hard, there are a lot of fractions!

کار سختی است، کسرهای بسیار زیادی وجود دارد!

And it's not obvious what to put first,

و معلوم نیست اول کدام را باید آورد،

or how to be sure all of them are on the list.

و چطور مطمئن شویم همگی در فهرست آمده‌اند.

Nevertheless, there is a very clever way

با این حال، راه زیرکانه‌ای هست

that we can make a list of all the fractions.

که می‌توانیم اعداد کسری را فهرست کنیم.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

این کار نخستین بار توسط جورج کانتور، در اواخر قرن نوزده انجام شد.

First, we put all the fractions into a grid.

اول، همه‌ی کسرها را در یک زمین می‌چینیم.

They're all there.

همگی اینجا هستند.

For instance, you can find, say, 117/243,

برای مثال، می‌توانید ۱۱۷ تقسیم بر ۲۴۳ را در ردیف

in the 117th row and 243rd column.

۱۱۷ام و ستون ۲۲۳ام پیدا کنید.

Now we make a list out of this

حالا اینها را فهرست می‌کنیم

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

از بالا چپ شروع می‌کنیم و ادامه می‌دهیم و قطری جلو می‌رویم،

skipping over any fraction, like 2/2,

از هر کسر مثل ۲/۲ چشم‌پوشی می‌کنیم،

that represents the same number as one the we've already picked.

که بیانگر همان تعدادی است که تا بحال انتخاب کردیم.

We get a list of all the fractions,

فهرستی از اعداد کسری حاصل می‌شود،

which means we've created a one-to-one match

یعنی یک همپوشانی یک به یک ایجاد کردیم

between the whole numbers and the fractions,

بین اعداد صحیح و اعداد کسری،

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

با وجود این واقعیت که فکر می‌کردیم شاید تعداد اعداد کسری بیشتر باشند.

OK, here's where it gets really interesting.

خیلی‌خوب، از اینجا به بعد خیلی جالب می‌شود.

You may know that not all real numbers

شاید بدانید که همه‌ی اعداد صحیح

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

-- یعنی، همه‌ی اعداد روی یک محور -- کسری نیستند.

The square root of two and pi, for instance.

برای مثال، ریشه‌ی دوم دو و عدد پی

Any number like this is called irrational.

هر عددی مثل این اصم یا گنگ است.

Not because it's crazy, or anything,

نه اینکه بی‌عقل یا دیوانه باشد، نه

but because the fractions are ratios of whole numbers,

بلکه به این خاطر که کسرها نسبت اعداد صحیح هستند،

and so are called rationals;

و برای همین به آنها گویا می‌گوییم،

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

یعنی باقی اعداد غیرگویا یا همان گنگ هستند.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

اعداد گنگ اعداد با اعشار بی‌نهایت و غیرتکرار شونده هستند.

So, can we make a one-to-one match

پس، آیا می‌توانیم یک همپوشانی یک به یک

between the whole numbers and the set of all the decimals,

بین اعداد صحیح و مجموعه‌ی کامل اعداد اعشار بیابیم

both the rationals and the irrationals?

هم اعداد گویا و هم اعداد گنگ؟

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

بعبارت دیگر، آیا می‌توانیم اعداد اعشاری را فهرست کنیم؟

Cantor showed that you can't.

کانتور نشان داده که نمی‌توانیم. (جرج کانتور ریاضی‌دان آلمانی)

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

نه اینکه راهش را ندانیم، بلکه کلاً نشدنی است.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

ببینید، تصور کنیم ادعا دارید که اعداد اعشاری را فهرست کرده‌اید.

I'm going to show you that you didn't succeed,

حالا من می‌خواهم نشان‌تان دهم که موفق نشدید،

by producing a decimal that is not on your list.

با تولید عددی که در فهرست شما وجود ندارد.

I'll construct my decimal one place at a time.

من هربار عدد اعشاری‌ام را فوری می‌سازم.

For the first decimal place of my number,

برای اولین رقم اعشار عددم،

I'll look at the first decimal place of your first number.

به اولین اعشار اولین عدد تو نگاه می‌کنم.

If it's a one, I'll make mine a two;

اگر یک باشد، مال من می‌شود دو،

otherwise I'll make mine a one.

وگرنه عدد یک را انتخاب می‌کنم.

For the second place of my number,

برای دومین رقم اعشارم،

I'll look at the second place of your second number.

به دومین اعشار دومین عدد تو نگاه می‌کنم.

دوباره، مال تو اگر یک باشد من عدد دو را انتخاب می‌کنم،

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

وگرنه عدد یک را می‌نویسم.

See how this is going?

می‌بینید چطور می‌شود؟

The decimal I've produced can't be on your list.

عدد اعشاری که من تولید کردم نمی‌تواند در فهرست شما باشد.

Why? Could it be, say, your 143rd number?

چرا؟ آیا می‌تواند مثلاً ۱۴۳مین عدد شما باشد؟

No, because the 143rd place of my decimal

نه، چونکه ۱۴۳مین اعشار عدد من

is different from the 143rd place of your 143rd number.

با ۱۴۳مین رقم ۱۴۳مین عدد شما فرق دارد.

I made it that way.

اینگونه آنرا ساخته‌ام.

Your list is incomplete.

فهرست شما کامل نیست.

It doesn't contain my decimal number.

چون عدد من را نیاورده‌اید.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

و مهم نیست چه فهرستی ارائه کنید، من باز هم این کار را می‌کنم.

and produce a decimal that's not on that list.

و عددی می‌سازم که در فهرست شما نیست.

So we're faced with this astounding conclusion:

پس با این نتیجه‌ی شگفت‌انگیز مواجه می‌شویم:

The decimal numbers cannot be put on a list.

اعداد اعشاری را نمی‌توان فهرست کرد.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

این اعداد بیانگر بی‌نهایتی بزرگتر از بی‌نهایتِ اعداد صحیح هستند.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

خب، گرچه با تعداد کمی از اعداد گنگ آشنا هستیم

like square root of two and pi,

مثل جذر دوم دو و عدد پی،

the infinity of irrationals

بی‌نهایتِ اعداد گنگ

is actually greater than the infinity of fractions.

خیلی بزرگتر از بی‌نهایتِ اعداد کسری/گویا است.

Someone once said that the rationals

یک نفر گفته است که اعداد گویا

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

-- اعداد کسری -- مثل ستاره‌ها در آسمان شب هستند.

The irrationals are like the blackness.

و اعداد گنگ مثل سیاهی شب هستند.

Cantor also showed that, for any infinite set,

کانتور همچنین نشان داده که، برای هر مجموعه‌ی بی‌نهایت،

forming a new set made of all the subsets of the original set

تشکیل یک مجموعه‌ی جدید از زیر مجموعه‌های مجموعه‌ی اصلی

represents a bigger infinity than that original set.

بیانگر بی‌نهایتی بزرگتر از مجموعه‌ی اصلی آن است.

This means that, once you have one infinity,

این یعنی، وقتی یک بی‌نهایت داشته باشید،

you can always make a bigger one

می‌توانید یک بی‌نهایت بزرگتر را

بوسیله ساختن یک مجموعه از همه‌ی زیرمجموعه‌های مجموعه‌ی اول بسازید.

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

و بعد بازم یکی بزرگتر از آن.

by making the set of all the subsets of that one.

با ساختن مجموعه‌ای از همه‌ی زیرمجموعه‌های این یکی

And so on.

و به همین ترتیب.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

در نتیجه، بی‌شمار بی‌نهایت در اندازه‌های گوناگون وجود دارد.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

اگر این اصول شما را ناراحت می‌کند فقط شما نیستید.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

بعضی از بزرگترین ریاضی‌دانان هم عصر کانتور

were very upset with this stuff.

از این موضوع خیلی ناراحت بودند.

They tried to make these different infinities irrelevant,

سعی کردند بگویند این بی‌نهایت‌های گوناگون بی‌ربط هستند.

to make mathematics work without them somehow.

تا ریاضی را از آن خلاص کنند.

Cantor was even vilified personally,

حتی از شخص کانتور بدگویی می‌کردند،

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

و این برای او آنقدر بد بود که به افسردگی شدید مبتلا شد،

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

و نیمه‌ی آخر زندگی‌اش را در موسسات روانپزشکی گذراند.

But eventually, his ideas won out.

اما نهایتاً، ایده‌ی او برتر بود.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

امروز، ایده‌های او اصولی و ممتاز شمرده می‌شوند.

All research mathematicians accept these ideas,

همه‌ی ریاضی‌دانان نظری ایده‌های او را قبول دارند،

every college math major learns them,

دانشکده‌های ریاضی بزرگ آن‌ها را تدریس می‌کنند،

and I've explained them to you in a few minutes.

و من تنها در چند دقیقه به شما توضیح دادم.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

شاید یک روز تبدیل به اطلاعات عمومی شوند.

There's more.

بقیه‌اش مانده.

We just pointed out that the set of decimal numbers

گفتیم که مجموعه‌ی اعداد اعشاری

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

-- یا همان اعداد حقیقی -- بی‌نهایتِ بزرگتری است

than the set of whole numbers.

از مجموعه‌ی اعداد صحیح.

Cantor wondered whether there are infinities

کانتور خواست ببیند آیا بی‌نهایت‌هایی هم

of different sizes between these two infinities.

با اندازه‌های دیگر بین این دو بی‌نهایت هست.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

فکر نمی‌کرد باشد اما نتوانست اثبات کند.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

حدس کانتور به عنوان «فرضیه پیوستار» معروف شد.

In 1900, the great mathematician David Hilbert

در سال ۱۹۰۰ ریاضی‌دان بزرگ دیوید هیلبرت

listed the continuum hypothesis

فرضیه‌ی پیوستار را در فهرستی

as the most important unsolved problem in mathematics.

به عنوان مهم‌ترین مسأله‌ی حل نشده در ریاضیات ارائه کرد.

The 20th century saw a resolution of this problem,

در قرن بیستم راه حلی برای آن پیدا شد،

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

اما به شکلی کاملاً غیرمنتظره، و مخالف باورهای قبلی.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

در دهه ۱۹۲۰، کورت گودل نشان داد

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

هرگز نمی‌توان اثبات کرد که فرضیه پیوستار غلط است.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

بعدتر در دهه ۱۹۶۰، پال جی.کوهن نشان داد

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

هرگز نمی‌توان اثبات کرد که فرضیه پیوستار درست است.

Taken together, these results mean

این دو در کنار هم یعنی اینکه

that there are unanswerable questions in mathematics.

در ریاضیات مسائل بی‌پاسخی وجود دارد.

A very stunning conclusion.

یک نتیجه‌ی فوق‌العاده.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

ریاضیات به درستی اوج منطق انسان لقب گرفته.

but we now know that even mathematics has its limitations.

اما حالا می‌دانیم که حتی ریاضیات هم محدودیت‌هایی دارد.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

اما هنوز هم ریاضی مسائل واقعاً شگفت‌انگیزی برای فکر کردن دارد.