How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Quanto è grande l'infinito?

Traduttore: Jamila Al Ibrahim Revisore: Anna Cristiana Minoli

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

Quando ero in quarta elementare, un giorno il maestro ci disse:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri."

"Really?", I thought.

"Davvero?", pensai. Bè, sono infiniti entrambi, quindi suppongo ce ne sia lo stesso numero totale.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Ma, d'altra parte, i numeri pari sono solo una parte dei numeri interi, tutti i numeri dispari sono esclusi,

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

quindi ci devono essere più numeri interi che numeri pari, giusto?

To see what my teacher was getting at,

Per vedere dove il maestro volesse arrivare, pensiamo innanzitutto cosa voglia dire per due insiemi avere la stessa grandezza.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

Cosa intendo quando dico che ho lo stesso numero di dita nella mano destra e nella mano sinistra?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Naturalmente, ne ho cinque su ognuna, ma in realtà è ancora più semplice di così.

Non devo contare, ho solo bisogno di vedere che corrispondono una a una.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

Infatti, si pensa che alcune popolazioni antiche non avessero parole per indicare

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

numeri più grandi del tre e che utilizzassero un qualche tipo di magia. Per esempio, se lasciamo pascolare le pecore fuori da un recinto,

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

possiamo tenere traccia di quante escano posando ogni volta una pietra da parte,

and putting those stones back one by one when the sheep return,

e poi mettendo via le pietre una a una man mano che le pecore rientrano,

so you know if any are missing without really counting.

così sappiamo se ne mancano senza doverle contare.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Vediamo un altro esempio di quanto la corrispondenza sia fondamentale più del contare,

if I'm speaking to a packed auditorium,

Se parlo a una sala gremita, dove tutti i posti sono occupati e nessuno è in piedi,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

so che ci sono lo stesso numero di sedie quante sono le persone del pubblico,

even though I don't know how many there are of either.

pur non conoscendone il numero esatto.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Allora, dicendo che due insiemi hanno la stessa dimensione intendiamo

is that the elements in those sets

che gli elementi di tali insiemi possano in qualche modo corrispondere uno a uno.

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

Il maestro di quarta elementare ci mostrò i numeri interi in fila e sotto ogni numero mise il suo doppio.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

Come potete vedere, la riga in basso contiene tutti i numeri pari, e c'è una corrispondenza uno a uno.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Dunque, ci sono tanti numeri pari quanti sono i numeri.

But what still bothers us is our distress

Eppure ci infastidisce ancora il pensiero che i numeri pari possano essere solo una parte dei numeri interi.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

Ma questo vi spinge forse a pensare che la mia mano destra non abbia lo stesso numero di dita della sinistra?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

No di certo. Non importa se cerchiamo di far corrispondere gli elementi in un modo che non funziona,

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

questo non ci convince di nulla.

that doesn't convince us of anything.

Se si riesce a trovare un modo in cui gli elementi di due insiemi corrispondono,

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

allora diciamo che questi due insiemi hanno lo stesso numero di elementi.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

Possiamo fare una lista di tutte le frazioni? Potrebbe essere difficile, ci sono una miriade di frazioni!

This might be hard, there are a lot of fractions!

E non è ovvio quali mettere per prime, o come accertarsi che ci siano tutte nella lista.

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

Eppure c'è un metodo ingegnoso per fare un elenco di tutte le frazioni.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

Il primo a usarlo fu Georg Cantor, a fine Ottocento.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

In primo luogo, abbiamo messo tutte le frazioni in una griglia. Ci sono tutte. Per esempio, abbiamo 117/243,

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

riga 117, colonna 223.

Now we make a list out of this

Ora da questa stiliamo un elenco partendo da in alto a sinistra e scorrendo avanti e indietro in diagonale,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

saltando tutte le frazioni che come 2/2 rappresentano un numero già inserito.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

Così abbiamo una lista di tutte le frazioni, in altre parole abbiamo creato una corrispondenza uno a uno

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

tra i numeri interi e le frazioni, nonostante pensassimo che ci dovessero essere più frazioni.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

Ok, qui si fa tutto molto interessante.

OK, here's where it gets really interesting.

Come forse sapete, non tutti i numeri reali, ovvero non tutti i numeri su una retta, sono frazioni.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

Per esempio, l'elevazione al quadrato e il pi greco .

Any number like this is called irrational.

Questo tipo di numeri sono chiamati irrazionali. Non perché siano pazzi, o altro, ma perché le frazioni sono

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

rapporti di numeri interi, e perciò si chiamano razionali, ne consegue che i restanti siano non-razionali, ovvero irrazionali.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

I numeri irrazionali sono rappresentati da decimali infiniti e aperiodici.

So, can we make a one-to-one match

Allora possiamo creare una corrispondenza uno a uno tra i numeri interi e l'insieme di tutti i decimali,

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

sia i razionali che gli irrazionali? Ovvero, si può creare una lista di tutti i numeri decimali?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Candor ha dimostrato che non è possibile. Non solo che non si sa come farlo, ma che proprio non può essere fatto.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Per esempio, supponiamo di aver creato una lista di tutti i decimali. Vi dimosterò che il tentativo è fallito,

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

producendo un decimale che non è nella lista.

I'll construct my decimal one place at a time.

Costruisco il mio decimale in un punto alla volta.

For the first decimal place of my number,

Per la prima cifra decimale del mio numero, prendo la prima cifra decimale del primo numero nella lista.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

Per la seconda cifra del mio numero, prendo la seconda cifra del secondo numero nella lista.

I'll look at the second place of your second number.

Ancora, se si tratta dell'uno, prendo il due, altrimenti prendo l'uno.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

Vedete cosa succede? il decimale che ho creato non può essere nella lista.

The decimal I've produced can't be on your list.

Perché? Potrebbe essere il 143° numero? No, perché il 143° posto del mio decimale

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

è diverso dal 143° posto del 143° numero della lista. Ho fatto così.

I made it that way.

Your list is incomplete.

La lista è incompleta. Non contiene il mio numero decimale.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

E, non ha importanza quale lista creiate, posso fare la stessa cosa, e produrre un decimale che non è su quella lista.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Così ci troviamo di fronte a una conclusione sorprendente:

The decimal numbers cannot be put on a list.

i numeri decimali non possono essere elencati: rappresentano un infinito più grande dell'infinità di tutti i numeri.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

Quindi, anche se conosciamo qualche numero irrazionale, come la radice quadrata di due e il "p" greco,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

l'infinità dei numeri irrazionali è anche più grande dell'infinità delle frazioni.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Una volta qualcuno disse che i numeri razionali - le frazioni - sono come le stelle in un cielo stellato:

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

i numeri irrazionali sono come l'oscurità.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Cantor dimostrò anche che, per ogni gruppo di numeri infiniti, formare un nuovo gruppo composto da ogni sotto gruppo del gruppo originale

forming a new set made of all the subsets of the original set

rappresenta un'infinità maggiore del gruppo originale. Questo significa che, una volta ottenuta una infinità,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

puoi sempre ottenerne una più grande componendo un gruppo di tutti i sottogruppi di quel primo gruppo. E anche uno più grande

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

combinando il gruppo di tutti i sottogruppi del primo. E così via.

And so on.

Quindi, vi sono infiniti numeri di infinite grandezze differenti.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Se questa idea vi rende inquieti, non siete i soli. Alcuni dei più grandi matematici del periodo di Cantor

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

erano irritati da questa cosa. Provarono a rendere questi differenti infiniti irrilevanti,

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

per far lavorar i matematici senza di essi.

Cantor si avvili personalmente e stette talmente male che soffri di una depressione profonda

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

e passò l'ultima metà della sua vita dentro e fuori da ospedali psichiatrici.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

Ma alla fine le sue idee vinsero. Oggi sono considerate fondamentali e magnifiche.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

Tutti i ricercatori matematici le accettano al giorno d'oggi, tutti gli studenti universitari le imparano,

every college math major learns them,

e io ve le ho spiegate in qualche minuto.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Un giorno forse, saranno conosciute da tutti.

There's more.

C'è di più. Abbiamo solo accennato che il gruppo di numeri decimali - che sono i numeri reali - è

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

una infinità più grande del gruppo di tutti i numeri. Candor si chiedeva se vi sono infinità

Cantor wondered whether there are infinities

di grandezze differenti tra queste due infinità. Non credeva ve ne fossero, ma poté provarlo.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

La congettura di Candor divenne nota come l'ipotesi del continuo.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

Nel 1900 il grande matematico David Hilbert postulò che l'ipotesi del continuo fosse il più importante

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

problema non risolto della matematica.

The 20th century saw a resolution of this problem,

Il 20esimo secolo vide la soluzione di questo problema ma in una maniera completamente inaspettata che distrusse il paradigma iniziale.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

Negli anni Venti, Kurt Gödel dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo è falsa.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Poi negli anni Sessanta, Paul J. Cohen dimostrò che non si può provare che la teoria del continuo sia vera.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Considerati insieme, questi risultati significano che vi sono delle domande della matematica senza risposta.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

Una conclusione stupefacente.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

La matematica è considerata a ragione il picco del ragionamento umano

but we now know that even mathematics has its limitations.

ma adesso sappiamo anche che anche la matematica ha dei limiti.

Tuttavia, la matematica ci offre ancora cose veramente meravigliose su cui riflettere.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.