How big is infinity? - Dennis Wildfogel

Sonsuz Ne Büyüklüktedir?

Çeviri: Sevkan Uzel Gözden geçirme: İrem Uzel

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

4.sınıftayken öğretmen bir gün şöyle demişti:

"There are as many even numbers as there are numbers."

"Ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı vardır."

"Really?", I thought.

"Gerçekten mi?", diye düşündüm. Aslında evet, ikisinden de sonsuz tane olduğuna göre aynı miktarda oldukları varsayılabilir.

Well, yeah, there are infinitely many of both,

so I suppose there are the same number of them.

But even numbers are only part of the whole numbers,

Öte yandan, çift sayılar tüm sayıların sadece bir bölümü olup, bir o kadar da tek sayı vardır.

all the odd numbers are left over,

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

Öyleyse, tüm sayıların miktarı çift sayılardan daha fazla olmalı, değil mi?

To see what my teacher was getting at,

Öğretmenin nereye varmak istediğini anlamak için, önce iki kümenin eşit büyüklükte olmasının anlamını düşünelim.

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

Sağ elimdeki parmak sayısının sol elimdekine eşit olduğunu söylerken neyi kastediyorum?

What do I mean when I say I have the same number of fingers

on my right hand as I do on left hand?

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

Tabi ki her birinde 5 parmak var, ama aslında bundan daha basit.

Saymama gerek yok. sadece onların birebir karşılıklı olduğunu görmem yeterli.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

In fact, we think that some ancient people

3'ten büyük sayılara ad verilmemiş diller konuşan bazı eski toplumlarda,

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

insanların bu tür bir sihir kullandığı düşünülüyor. Örneğin, otlamaları için koyunları saldığınızda,

used this sort of magic.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

her biri için bir taş koyarak, kaç tanesinin çıktığının hesabını tutabilirsiniz.

and putting those stones back one by one when the sheep return,

Geri dönenler için de taşları eksiltirsiniz.

so you know if any are missing without really counting.

Böylece, saymadan eksik olup olmadığını görebilirsiniz.

As another example of matching being more fundamental than counting,

Karşılaştırma yapmanın saymaktan daha temel olmasına bir diğer örnek olarak şu verilebilir:

if I'm speaking to a packed auditorium,

Bütün sandalyelerin kapıldığı ve kimsenin ayakta kalmadığı ağzına kadar dolu bir salonda konuşurken,

where every seat is taken and no one is standing,

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

sandalyelerin de dinleyicilerin de sayısını bilmesem bile,

even though I don't know how many there are of either.

aynı sayıda olduklarını bilirim.

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

Yani, iki kümenin eşit büyüklükte olduğunu söylerken kastettiğimiz şey,

is that the elements in those sets

bu kümelerdeki elemanların birebir karşılıklı eşlenebileceğidir.

can be matched up one by one in some way.

My fourth grade teacher showed us

4.sınıf öğretmenim, tamsayıları yanyana dizmiş ve her birinin altına iki katını yazmıştı.

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

Gördüğünüz gibi, alttaki satırda çift sayılar var ve birebir karşılık gelme söz konusu.

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

and we have a one-to-one match.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

Yani, ne kadar sayı varsa, o kadar çift sayı var.

But what still bothers us is our distress

Ama hâlâ, çift sayıların, bütün sayıların sadece bir bölümü olması gerçeğinden ötürü çektiğimiz sıkıntı, bizi endişelendiriyor.

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

Peki ama böyle yapmam, sizi iki elimdeki parmak sayısının aynı olmadığına ikna eder mi?

But does this convince you

that I don't have the same number of fingers

on my right hand as I do on my left?

Of course not.

Elbette hayır. Elemanları eşleştirmeyi denediğiniz yollardan biri işe yaramazsa sorun olmaz.

It doesn't matter if you try to match

the elements in some way and it doesn't work,

Bu ikna edici olmaz.

that doesn't convince us of anything.

Eğer iki kümenin elemanlarını eşleştirecek bir adet yol bulabilirseniz,

If you can find one way

in which the elements of two sets do match up,

o zaman bu iki kümenin eleman sayısı eşittir, deriz.

then we say those two sets have the same number of elements.

Can you make a list of all the fractions?

Bütün kesirlerin bir listesini yapabilir misiniz? Çok zor, çünkü çok fazla kesir var!

This might be hard, there are a lot of fractions!

Nereden başlanacak, hepsinin yazıldığından nasıl emin olunacak?

And it's not obvious what to put first,

or how to be sure all of them are on the list.

Neyse ki, tüm kesirleri listelememizi sağlayan akıllıca bir yol var.

Nevertheless, there is a very clever way

that we can make a list of all the fractions.

İlk olarak 1800'lerin sonunda, Georg Cantor tarafından yapılmış.

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

Önce tüm kesirleri bir ızgaraya yerleştiriyoruz. Hepsi burada. Örneğin, 117/243'ü bulmak için

First, we put all the fractions into a grid.

They're all there.

For instance, you can find, say, 117/243,

in the 117th row and 243rd column.

117.satıra ve 223.sütuna bakabilirsiniz.

Now we make a list out of this

Şimdi bundan bir liste çıkarmak için sol üstten başlayıp, çaprazlama ileri-geri giderek,

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

skipping over any fraction, like 2/2,

2/2 gibi zaten seçilmiş sayıya rastladığımızda atlayarak ilerleyebiliriz.

that represents the same number as one the we've already picked.

We get a list of all the fractions,

Böylece, tam sayılarla kesirler arasında birebir eşleme yaparak,

which means we've created a one-to-one match

between the whole numbers and the fractions,

bütün kesirlerin bir listesini yapmış oluruz; daha fazla kesir olabileceğini düşündüğümüz gerçeğine rağmen.

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

İşin ilginç noktası şurada:

OK, here's where it gets really interesting.

Gerçel sayıların tümünün -- yani bir sayı doğrusundaki tüm sayıların -- kesir olmadığını biliyorsunuzdur.

You may know that not all real numbers

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

The square root of two and pi, for instance.

Örneğin 2'nin karekökü ya da pi sayısı.

Any number like this is called irrational.

Böyle sayılara irrasyonel sayı denir. Çılgın falan olduklarından değil.

Not because it's crazy, or anything,

but because the fractions are ratios of whole numbers,

Kesirlerin, tam sayıların oranları olması nedeniyle rasyonel (oransal) olarak adlandırılmaları, dolayısıyla geriye kalanların rasyonel olmayan anlamında irrasyonel olmasından dolayı.

and so are called rationals;

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

İrrasyonel sayılar, sonsuza kadar tekrarsız devam eden ondalıklarla temsil edilir.

So, can we make a one-to-one match

Peki acaba tam sayılarla, hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları kapsayan tüm ondalıklı sayılar arasında birebir eşleme yapılabilir mi?

between the whole numbers and the set of all the decimals,

both the rationals and the irrationals?

Yani, tüm ondalıklı sayıların bir listesini yapabilir miyiz?

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

Cantor yapılamayacağını gösterdi. Nasıl yapılacağını bilmediğimizden değil, bu mümkün olmadığından.

Cantor showed that you can't.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

Tüm ondalıklı sayıların listesini yaptığınızı iddia ettiğinizi varsayalım. Listenizde olmayan bir ondalıklı sayı üreterek,

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

I'm going to show you that you didn't succeed,

by producing a decimal that is not on your list.

aslında başaramadığınızı göstereyim size.

I'll construct my decimal one place at a time.

Ondalıklı sayımı basamak basamak oluşturacağım.

For the first decimal place of my number,

İlk basamak için, sizin ilk sayınızın ilk basamağına bakacağım.

I'll look at the first decimal place of your first number.

If it's a one, I'll make mine a two;

Eğer 1 ise, benimkini 2 alacağım. Değilse benimkini 1 alacağım.

otherwise I'll make mine a one.

For the second place of my number,

İkinci basamağım için, sizin ikinci sayınızın ikinci basamağına bakacağım.

I'll look at the second place of your second number.

Yine eğer sizinki 1 ise benimkini 2 alacağım, değilse benimkini 1 alacağım.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

and otherwise I'll make mine a one.

See how this is going?

Nasıl ilerlediğini görüyor musunuz? Ürettiğim ondalıklı sayı sizin listede olamaz.

The decimal I've produced can't be on your list.

Neden? Örneğin sizin 143. sayınız olabilir mi? Hayır, çünkü benim sayımın 143.basamağı

Why? Could it be, say, your 143rd number?

No, because the 143rd place of my decimal

is different from the 143rd place of your 143rd number.

sizin 143.sayınızın 143.basamağından farklı. Bu şekilde yapıyorum.

I made it that way.

Your list is incomplete.

Listeniz eksik. Benim ürettiğim ondalıklı sayıyı içermiyor.

It doesn't contain my decimal number.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

Ve bana hangi listeyi getirirseniz getirin, aynı şeyi yaparak orada olmayan bir ondalıklı sayı üretebilirim.

and produce a decimal that's not on that list.

So we're faced with this astounding conclusion:

Buradan şu şaşırtıcı sonuca ulaşıyoruz:

The decimal numbers cannot be put on a list.

Ondalıklı sayıların listesi yapılamaz. Onlar, tam sayıların sonsuzluğundan daha büyük bir sonsuzluk temsil eder.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

2'nin karekökü ve pi sayısı gibi az sayıda irrasyonel sayıya aşina olsak da,

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

like square root of two and pi,

the infinity of irrationals

irrasyonellerin sonsuzluğu, kesirlerin sonsuzluğundan daha büyüktür.

is actually greater than the infinity of fractions.

Someone once said that the rationals

Birisi şöyle demişti: Rasyoneller --kesirler-- gece göğündeki yıldızlar gibidir;

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

The irrationals are like the blackness.

irrasyoneller ise oradaki siyahlıktır.

Cantor also showed that, for any infinite set,

Ayrıca Cantor herhangi bir sonsuz kümenin tüm alt kümelerinden oluşan yeni bir küme oluşturulduğunda,

forming a new set made of all the subsets of the original set

orijinal kümeden daha büyük bir sonsuzluk temsil edeceğini gösterdi. Yani, bir sonsuzluğunuz varsa,

represents a bigger infinity than that original set.

This means that, once you have one infinity,

you can always make a bigger one

daima onun alt kümelerinin kümesinden daha büyük bir sonsuzluk elde edebilirsiniz.

by making the set of all subsets of that first set.

And then an even bigger one

by making the set of all the subsets of that one.

Ondan da daha büyüğünü, onun alt kümelerinin kümesi ile elde ederek devam edebilirsiniz.

And so on.

Dolayısıyla, değişik boyutlardaki sonsuzlukların sayısı sonsuzdur.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

Bu düşüncelerden rahatsız olan tek kişi siz değilsiniz. Cantor'un zamanındaki büyük matematikçilerin çoğu

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

were very upset with this stuff.

bu durumdan hiç hoşlanmamıştı. Bu farklı sonsuzlukları saf dışı ederek,

They tried to make these different infinities irrelevant,

to make mathematics work without them somehow.

onlarsız bir matematik yapmayı denediler.

Cantor'un kişiliğine saldırılar bile yapıldı ve bu durum onu öyle kötü etkiledi ki,

Cantor was even vilified personally,

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

ağır bir depresyona girdi ve ömrünün ikinci yarısını akıl hastanelerine girip-çıkarak geçirdi.

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

Ama sonunda fikri galip geldi. Bugün artık vazgeçilmez ve muhteşem olarak kabul görüyor.

But eventually, his ideas won out.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

All research mathematicians accept these ideas,

Tüm matematik araştırmacıları bu fikirleri kabul ediyor, tüm üniversitelerin matematik bölümlerinde öğretiliyor

every college math major learns them,

ve bunları size bir kaç dakika içinde açıkladım.

and I've explained them to you in a few minutes.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

Belki bir gün, bunlar herkesçe bilinir olacak.

There's more.

Dahası var. Ondalık sayılar kümesinin -yani gerçel sayıların-

We just pointed out that the set of decimal numbers

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

than the set of whole numbers.

tam sayılar kümesinden daha büyük bir sonsuzluk olduğunu gösterdik. Cantor, büyüklüğü bu iki sonsuzluğun arasında olan

Cantor wondered whether there are infinities

başka sonsuzluklar olup olmadığını merak etmişti. Olabileceğine inanmıyordu, fakat bunu kanıtlayamadı.

of different sizes between these two infinities.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

Cantor'un tahmini "süreklilik hipotezi" olarak bilinir.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

1900 yılında, büyük matematikçi David Hilbert "süreklilik hipotezi"nin

In 1900, the great mathematician David Hilbert

listed the continuum hypothesis

as the most important unsolved problem in mathematics.

matematikteki çözülmemiş en önemli problem olduğunu belirtmişti.

The 20th century saw a resolution of this problem,

20.yüzyıl bu probleme bir çözüm önerdi, ama bütünüyle beklenmedik, taşları yerinden oynatan bir biçimde.

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

1920'lerde, Kurt Gödel "süreklilik hipotezi"nin yanlış olduğunun kanıtlanmasının mümkün olmadığını gösterdi.

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

Ardından 1960'larda, Paul J. Cohen "süreklilik hipotezi"nin doğruluğunun asla kanıtlanamayacağını gösterdi.

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

Bu ikisi birleştirildiğinde, matematikte çözülmesi olanaksız problemler olduğu sonucu çıkıyordu.

Taken together, these results mean

that there are unanswerable questions in mathematics.

A very stunning conclusion.

Son derece çarpıcı bir sonuç.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

Matematiği hep insan mantığının zirvesi olarak görürüz,

but we now know that even mathematics has its limitations.

ama artık biliyoruz ki, matematiğin bile bir sınırı var.

Yine de matematik bize üzerinde düşünülecek heyecan verici şeyler sunuyor.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.