How big is infinity? - Dennis Wildfogel

المترجم: Ahmad Jarbou المدقّق: Anwar Dafa-Alla

When I was in fourth grade, my teacher said to us one day:

عندما كنت في الصف الرابع أخبرنا الأستاذ في أحد الأيام

"There are as many even numbers as there are numbers."

"أنه يوجد أعداد زوجية بقدر ما يوجد أعداد"

"Really?", I thought.

"حقاً؟"، فكرت

Well, yeah, there are infinitely many of both,

حسنا، أجل، يوجد عدد لا نهائي من كليهما،

so I suppose there are the same number of them.

لذلك افترضت أنه يوجد نفس العدد من كليهما

But even numbers are only part of the whole numbers,

,ولكن الأعداد الزوجية ما هي إلا جزء من الأعداد الصحيحة،

all the odd numbers are left over,

هناك أيضاً الأعداد الفردية

so there's got to be more whole numbers than even numbers, right?

لذلك لابد من أن تكون الأعداد الصحيحة أكنر من الزوجية صحيح؟

To see what my teacher was getting at,

لمعرفة ما كان يقصد أستاذي،

let's first think about what it means for two sets to be the same size.

بداية دعونا نفكر بما يعنيه أن يكون لمجموعتين نفس الحجم.

What do I mean when I say I have the same number of fingers

ماذا أقصد عندما أقول أنني أملك نفس عدد الأصابع

on my right hand as I do on left hand?

في يدي اليمنى كما هو الحال في يدي اليسرى؟

Of course, I have five fingers on each, but it's actually simpler than that.

بالطبع، لدي خمسة أصابع في كل يد، لكن الأمر في الحقيقة أبسط من ذلك.

I don't have to count, I only need to see that I can match them up, one to one.

أنا لست بحاجة إلى أن أعد الأصابع،ما أحتاجه للتأكد هو مطابقة الأصابع الواحد مع الآخر،

In fact, we think that some ancient people

في الواقع، نعتقد أن القدماء

who spoke languages that didn't have words for numbers greater than three

الذين يتكلمون اللغات التي لا تتضمن أرقام أكبر من ثلاثة

used this sort of magic.

استخدمو هذا النوع من السحر.

For instance, if you let your sheep out of a pen to graze,

على سبيل المثال، إذا تركت أغنامك تخرج من الحظيرة لترعى

you can keep track of how many went out by setting aside a stone for each one,

تستطيع تتبع عدد الأغنام الخارجة عن طريق تخصيص حجر لكل واحد

and putting those stones back one by one when the sheep return,

ووضع هذه الحجارة مره أخرى الواحد تلو الآخر عند عودة الأغنام،

so you know if any are missing without really counting.

عندها تعرف إن تم فقدان أي من الأغنام دون الحاجة لعدهم.

As another example of matching being more fundamental than counting,

وكمثال آخر على أهمية المطابقة أكثر من العد

if I'm speaking to a packed auditorium,

إذا كنت أتحدث في قاعة مكتظة بالحشود،

where every seat is taken and no one is standing,

حيث أن كل المقاعد محجوزة ولا يوجد أي شخص واقف،

I know that there are the same number of chairs as people in the audience,

أعلم أنه يوجد نفس العدد من المقاعد والناس في الجمهور

even though I don't know how many there are of either.

على الرغم من أنني لا أعرف عدد أي منهما

So, what we really mean when we say that two sets are the same size

لذلك، ما نعنيه عندما عندما نقول أن مجموعتين لهما نفس الحجم،

is that the elements in those sets

أن العناصر في هاتين المجموعتين

can be matched up one by one in some way.

من الممكن مقابلتهما واحد تلو الآخر بطريقة أو بأخرى

My fourth grade teacher showed us

أظهر لنا أستاذي في الصف الرابع

the whole numbers laid out in a row, and below each we have its double.

أن الأعداد الصحيحة ترد في صف واحد وتحتها يوجد صف من الأعداد التي تكون ضعفها. (حاصل ضربها بـ 2)

As you can see, the bottom row contains all the even numbers,

كما ترون في الصف السفلي يوجد جميع الأعداد الزوجية

and we have a one-to-one match.

ولدينا تطابق واحد لواحد.

That is, there are as many even numbers as there are numbers.

إذاً يوجد أعداد زوجية بقدر ما يوجد أعداد صحيحة كلية

But what still bothers us is our distress

ولكن الأمر المزعج هو

over the fact that even numbers seem to be only part of the whole numbers.

أن الأعداد الزوجية ما هي إلا جزء من مجموعة الأعداد الصحيحة

But does this convince you

لكن هل هذا يقنعك

that I don't have the same number of fingers

أنني لا أملك نفس عدد الأصابع

on my right hand as I do on my left?

في يدي اليمنى كما لدي في يدي اليسرى؟

Of course not.

بالطبع لا.

It doesn't matter if you try to match

ليس بالأمر المهم إذا حاولت مطابقة

the elements in some way and it doesn't work,

العناصر بطريقة ما وهذه الطريقة لم تكن مجدية

that doesn't convince us of anything.

هذا لا يقنعنا بأي شيء

If you can find one way

لأنه إذا أمكنك العثور على طريقة واحدة

in which the elements of two sets do match up,

بحيث تكون عناصر المجموعتين متطابقتين

then we say those two sets have the same number of elements.

عندها يمكننا القول أن المجموعتين لهما نفس العدد من العناصر.

Can you make a list of all the fractions?

هل تستطيع تقديم قائمة من جميع الأعداد الكسرية؟

This might be hard, there are a lot of fractions!

قد يكون من الصعب ذلك، حيث يوجد الكثير من الأعداد الكسرية!!

And it's not obvious what to put first,

وليس من الواضح ما يجب وضعه بداية،

or how to be sure all of them are on the list.

أو كيف يتم التأكد من أن القائمة تتضمن جميع الأعداد الكسرية

Nevertheless, there is a very clever way

ومع ذلك، يوجد طريقة ذكية جداً

that we can make a list of all the fractions.

نستطيع من خلالها إنشاء قائمة تتضمنها جميعها

This was first done by Georg Cantor, in the late eighteen hundreds.

لقد تم تحقيق ذلك أول مرة من قبل جورج كانتور، في أواخر ١٨٠٠

First, we put all the fractions into a grid.

بداية، نضع جميع الأعداد الكسرية ضمن مخطط شبكي

They're all there.

إنهم جميعا هناك.

For instance, you can find, say, 117/243,

على سبيل المثال، يمكن أن تجد مثلاً العدد 117/243،

in the 117th row and 243rd column.

في السطر رقم 117 والعمود رقم 243.

Now we make a list out of this

والآن لنضع قائمة بالطريقة التالية

by starting at the upper left and sweeping back and forth diagonally,

وهي البدء من الجانب العلوي الأيسر للقائمة والتحرك ذهاباً وإياباً بشكل قطري،

skipping over any fraction, like 2/2,

وتخطي أي عدد كسري من الشكل 2/2،

that represents the same number as one the we've already picked.

والذي يمثل الرقم نفسه الذي تم اختياره.

We get a list of all the fractions,

وبهكذا نكون قد حصلنا على قائمة تتضمن جميع الأعداد الكسرية،

which means we've created a one-to-one match

مما يعني أننا استطعنا إنشاء تطابق واحد لواحد،

between the whole numbers and the fractions,

بين الإعداد الصحيحة والأعداد الكسرية،

despite the fact that we thought maybe there ought to be more fractions.

على الرغم من أننا كنا نعتقد أنه لابد من وجود المزيد من الأعداد الكسرية.

OK, here's where it gets really interesting.

حسنا، هنا أصبحت الأمور مثيرة للاهتمام حقاً.

You may know that not all real numbers

لعلك تعلم أنه ليس جميع الأعداد الحقيقة

-- that is, not all the numbers on a number line -- are fractions.

الممثلة على مستقيم الأعداد هي أعداد كسرية

The square root of two and pi, for instance.

جذر العدد اثنان أو القيمة PI، على سبيل المثال

Any number like this is called irrational.

أي عدد مثل هذا يطلق عليه غير كسري(لا قياسي)

Not because it's crazy, or anything,

ليس لأنها مجنونة، أو شيء من هذا القبيل،

but because the fractions are ratios of whole numbers,

ولكن لأن الأعداد الكسرية هي نسب الأعداد الصحيحة،

and so are called rationals;

لذلك تسمى الأعداد الكسرية

meaning the rest are non-rational, that is, irrational.

مما يعني أن البقية هي أعداد لا منطقية

Irrationals are represented by infinite, non-repeating decimals.

تمثل الأرقام الكسرية باللانهاية والأرقام العشرية الغير متكررة

So, can we make a one-to-one match

لذلك؟ هل نستطيع عمل تطابق واحد لواحد

between the whole numbers and the set of all the decimals,

بين الأعداد الصحيحة ومجموعة من كل الأعداد العشرية

both the rationals and the irrationals?

كل من الأعداد الكسرية واللا كسرية؟

That is, can we make a list of all the decimal numbers?

لذلك هل يمكننا وضع قائمة تتضمن جميع الأعداد العشرية

Cantor showed that you can't.

أوضح كاندور أنك لا تستطيع.

Not merely that we don't know how, but that it can't be done.

ليس فقط أننا لا نعرف كيف يتم ذلك، بل لأنه ليس من الممكن القيام بإحصائها أصلاً.

Look, suppose you claim you have made a list of all the decimals.

انظر، على فرض أنك تدعي أنه من الممكن عمل قائمة تتضمن جميع الأرقام العشرية

I'm going to show you that you didn't succeed,

سأريك أنك لن تنجح،

by producing a decimal that is not on your list.

من خلال توليد عدد عشري ليس موجوداً ضمن قائمتك.

I'll construct my decimal one place at a time.

سأقوم بتشكيل الرقم الخاص بي في مكان واحد ووقت واحد

For the first decimal place of my number,

بالنسبة للخانة الأولى بعد الفاصلة من رقمي العشري

I'll look at the first decimal place of your first number.

سأنظر إلى الخانة الأولى من الرقم العشري الأول لديك

If it's a one, I'll make mine a two;

فإذا كان واحداً، سيكون الرقم لدي اثنان

otherwise I'll make mine a one.

وإلا سيكون واحد.

For the second place of my number,

بالنسبة للخانة الثانية بعد الفاصلة لرقمي،

I'll look at the second place of your second number.

سأنظر إلى الخانة الثانية بعد الفاصلة من الرقم الثاني لديك.

Again, if yours is a one, I'll make mine a two,

وأيضاُ، إذا كان رقمك مساوياً للواحد، سيكون رقمي اثنين،

and otherwise I'll make mine a one.

وإلا فسيكون رقمي واحد.

See how this is going?

هل ترى كيف تجري الأمور؟

The decimal I've produced can't be on your list.

العدد العشري الذي قمت بتوليده لايمكن أن يتواجد في قائمتك

Why? Could it be, say, your 143rd number?

لماذا؟ هل يمكن أن يكون الرقم موجوداً في السطر رقم 143؟

No, because the 143rd place of my decimal

لا، وذلك لأن الخانة رقم 143 من الرقم الخاص بي

is different from the 143rd place of your 143rd number.

مختلف عن الخانة 143 من الرقم 143 في القائمة الخاصة بك

I made it that way.

قمت بذلك بهذه الطريقة.

Your list is incomplete.

القائمة الخاصة بك غير مكتملة.

It doesn't contain my decimal number.

لا تحتوي على الرقم العشري الخاص بي.

And, no matter what list you give me, I can do the same thing,

وبغض النظر عن القائمة التي ستعطيها لي، أستطيع أن أقوم بذات الشيء،

and produce a decimal that's not on that list.

وأقوم بتوليد أعداد عشرية غير موجودة في قائمتك.

So we're faced with this astounding conclusion:

لذلك نحن أمام استنتاج مذهل:

The decimal numbers cannot be put on a list.

أن الأعداد العشرية لايمكن حصرها ضمن قائمة.

They represent a bigger infinity that the infinity of whole numbers.

فهي تمثل لانهاية أكبر من اللانهاية التي تمثلها الأعداد الصحيحة.

So, even though we're familiar with only a few irrationals,

لذلك، وعلى الرغم من أننا نعرف القليل من الأعداد اللاكسرية

like square root of two and pi,

مثل الجذر التربيعي للعدد اثنان والقيمة PI

the infinity of irrationals

اللانهاية من الأعداد الللا كسرية

is actually greater than the infinity of fractions.

في الواقع أكبر من اللانهاية للكسور

Someone once said that the rationals

يقول البعض بأن الأعداد الكسرية

-- the fractions -- are like the stars in the night sky.

-الكسور- هي كالنجوم في السماء ليلاً

The irrationals are like the blackness.

واللاكسرية هي كالظلمة

Cantor also showed that, for any infinite set,

أظهر العالم كانتور أنه لأي مجموعة لانهائية

forming a new set made of all the subsets of the original set

تشكل مجموعة جديدة تتكون من جميع المجموعات المتفرعة من المجموعة الأصلية

represents a bigger infinity than that original set.

تمثل لا نهاية أكبر من تلك المجموعة الأصلية

This means that, once you have one infinity,

وهذا يعني أنه عندما يكون لديك لانهاية واحدة،

you can always make a bigger one

تستطيع دائما إيجاد نهاية أكبر

by making the set of all subsets of that first set.

عبر تكوين مجموعة من جميع المجموعات الجزئية من المجموعة الأولى الأصلية.

And then an even bigger one

وعندها أيضاً تكون مجموعة أكبر

by making the set of all the subsets of that one.

من خلال تكوين مجموعة من جميع المجموعات الجزئية في آن واحد

And so on.

وهكذا.

And so, there are an infinite number of infinities of different sizes.

وأيضاً، يوجد عدد غير منته من النهايات بأحجام مختلفة.

If these ideas make you uncomfortable, you are not alone.

إذا أزعجتك هذه الفكرة، فأنت لست وحيداً.

Some of the greatest mathematicians of Cantor's day

بعض عمالقة الرياضيات في زمن كانتور

were very upset with this stuff.

كانوا منزعجين من هذه الأشياء.

They tried to make these different infinities irrelevant,

وقد حاولوا جعل هذه النهايات المختلفة لا علاقة لها،

to make mathematics work without them somehow.

لكي تعمل الرياضيات بدونهم بطريقة ما.

Cantor was even vilified personally,

حتى أن كانتور كان مذموم شخصياً،

and it got so bad for him that he suffered severe depression,

وقد ساء الوضع بالنسبة له حتى أنه كان يعاني من اكتئاب حاد،

and spent the last half of his life in and out of mental institutions.

وقضى النصف الأخير من حياته داخلاً وخارجاً إلى المصحات العقلية.

But eventually, his ideas won out.

ولكن في النهاية، أفكاره هي التي انتصرت.

Today, they're considered fundamental and magnificent.

حيث تعتبر اليوم هذه الأفكار أساسية ورائعة.

All research mathematicians accept these ideas,

كل البحوث الرياضياتية وافقت على هذه الأفكار،

every college math major learns them,

جميع كليات الرياضيات الكبرى يتم تدريس هذه الأفكار ضمنها،

and I've explained them to you in a few minutes.

وقد قمت بشرح هذه الأفكار لكم في بضعة دقائق.

Some day, perhaps, they'll be common knowledge.

في يوم من الأيام، ستكون هذه الأفكار معلومات عامة ومشتركة.

There's more.

ويوجد المزيد.

We just pointed out that the set of decimal numbers

أشرنا فقط إلى مجموعة الأعداد العشرية

-- that is, the real numbers -- is a bigger infinity

حيث أن الأعداد الحقيقة هي لانهاية أكبر

than the set of whole numbers.

من مجموعة الأعداد الصحيحة

Cantor wondered whether there are infinities

تساءل كاندور فيما إذا كان يوجد لانهايات

of different sizes between these two infinities.

بأحجام مختلفة بين هاتين اللانهاتين.

He didn't believe there were, but couldn't prove it.

وقال أنه لا يعتقد أنه يوجد ولكنه مع ذلك لم يستطع إثبات ذلك.

Cantor's conjecture became known as the continuum hypothesis.

أصبحت تخمينات كاندور تعرف بأنها الفرضيات المستمرة

In 1900, the great mathematician David Hilbert

في عام 1900، الرياضي الكبير دايفيد هيلبيرت

listed the continuum hypothesis

أدرج الفرضيات المستمرة

as the most important unsolved problem in mathematics.

كأكثر المعضلات الرياضية التي لم يتم حلها.

The 20th century saw a resolution of this problem,

وقد تم إيجاد حل لهذه المشكلة في القرن العشرين،

but in a completely unexpected, paradigm-shattering way.

ولكن بطريقة نموذجية غير متوقعة أبداً.

In the 1920s, Kurt Gödel showed

في العام 1920 أوضح كيرت جودل

that you can never prove that the continuum hypothesis is false.

بأنك لن تستطيع أبداً إثبات أن الفرضيات المستمرة غير صحيحة.

Then, in the 1960s, Paul J. Cohen showed

وبعدها، في العام 1960 أوضح بول جي كون

that you can never prove that the continuum hypothesis is true.

بأنك لا تستطيع إثبات صحة الفرضيات المستمرة.

Taken together, these results mean

بأخذ الإثباتين معاً، تكون النتيجة

that there are unanswerable questions in mathematics.

أنه يوجد أسئلة بلا أجوبة في الرياضيات.

A very stunning conclusion.

استنتاج مذهل للغاية.

Mathematics is rightly considered the pinnacle of human reasoning,

حقاً تعتبر الرياضيات هي قمة المنطق البشري،

but we now know that even mathematics has its limitations.

ولكننا نعرف الآن أنه حتى الرياضيات لها حدودها.

Still, mathematics has some truly amazing things for us to think about.

لاتزال الرياضيات تمتلك العديد من الأشياء المذهلة لنا لنفكر بها.