What's so sexy about math? | Cédric Villani

Übersetzung: Sebastian Schumacher Lektorat: Andreas Herzog

What is it that French people do better than all the others?

Was machen Franzosen besser als alle anderen?

Wenn Sie Umfragen nehmen würden,

If you would take polls,

the top three answers might be:

könnten die drei häufigsten Antworten

love, wine and whining.

Liebe, Wein und Jammern sein.

(Laughter)

(Lachen)

Maybe.

Vielleicht.

Aber lassen mich Ihnen eine vierte Antwort vorschlagen:

But let me suggest a fourth one:

mathematics.

Mathematik.

Did you know that Paris has more mathematicians

Wussten Sie, dass es mehr Mathematiker in Paris gibt

than any other city in the world?

als in jeder anderen Stadt der Welt?

And more streets with mathematicians' names, too.

Und mehr Straßen sind nach Mathematikern benannt.

Wenn Sie die Statistiken der Fields-Medaille betrachten,

And if you look at the statistics of the Fields Medal,

often called the Nobel Prize for mathematics,

die auch als Nobelpreis für Mathematiker bezeichnet

and always awarded to mathematicians below the age of 40,

und nur an Mathematiker unter 40 Jahren verliehen wird,

werden Sie feststellen, dass Frankreich mehr Medaillengewinner pro Einwohner hat

you will find that France has more Fields medalists per inhabitant

als jedes andere Land.

than any other country.

What is it that we find so sexy in math?

Warum finden wir Mathematik so sexy?

After all, it seems to be dull and abstract,

Sie scheint doch so stumpf und abstrakt zu sein.

just numbers and computations and rules to apply.

Nur Ziffern und Berechnungen und Anwendungen von Regeln.

Mathematics may be abstract,

Mathematik ist vielleicht abstrakt,

but it's not dull

aber keineswegs stumpf und nicht nur bloßes Rechnen.

and it's not about computing.

It is about reasoning

Es geht um Denken

and proving our core activity.

und die Bestätigung unseres grundlegenden Handelns.

It is about imagination,

Es geht um die Phantasie,

the talent which we most praise.

unser höchstgepriesenes Talent.

It is about finding the truth.

Es geht darum, die Wahrheit zu finden.

There's nothing like the feeling which invades you

Nichts ist besser als das Gefühl,

when after months of hard thinking,

wenn man nach monatelangem Überlegen

you finally understand the right reasoning to solve your problem.

endlich den Lösungsansatz des Problems gefunden hat.

Der große Mathematiker André Weil verglich dieses Gefühl --

The great mathematician André Weil likened this --

no kidding --

kein Scherz --

to sexual pleasure.

mit sexuellem Genuss,

But noted that this feeling can last for hours, or even days.

aber bemerkte, dass dieses Gefühl für Stunden anhalten kann,

manchmal sogar Tage.

The reward may be big.

Die Belohnung kann groß sein.

Hidden mathematical truths permeate our whole physical world.

Verborgene mathematischen Wahrheiten durchdringen unsere ganze physische Welt.

They are inaccessible to our senses

Sie sind unseren Sinnen verschlossen,

but can be seen through mathematical lenses.

aber können durch die Brille der Mathematik betrachtet werden.

Close your eyes for moment

Schließen Sie Ihre Augen für einen Moment

and think of what is occurring right now around you.

und denken Sie an das, was gerade um Sie herum stattfindet.

Invisible particles from the air around are bumping on you

Unsichtbare Teilchen aus der Luft stoßen auf Sie,

by the billions and billions at each second,

mehrere Trillionen mal pro Sekunde.

all in complete chaos.

Alle in komplettem Chaos.

And still,

Trotzdem können ihre Statistiken genau,

their statistics can be accurately predicted by mathematical physics.

mithilfe mathematischer Physik, vorhergesagt werden.

And open your eyes now

Öffnen Sie nun Ihre Augen und sehen Sie die Statistik

to the statistics of the velocities of these particles.

der Geschwindigkeit dieser Teilchen.

The famous bell-shaped Gauss Curve,

Die berühmte glockenförmige Gaußkurve,

or the Law of Errors --

oder das Fehlergesetz

of deviations with respect to the mean behavior.

von Abweichungen bezüglich des Mittelwertverhaltens.

This curve tells about the statistics of velocities of particles

Die Kurve zeigt die Statistik von Teilchengeschwindigkeiten

in the same way as a demographic curve

in derselben Weise, wie eine demographische Kurve

would tell about the statistics of ages of individuals.

die Statistik von Altersstrukturen einer Bevölkerung darstellt.

It's one of the most important curves ever.

Sie ist eine der wichtigsten Kurven überhaupt.

Sie kommt immer wieder vor,

It keeps on occurring again and again,

in vielen Theorien und Experimenten,

from many theories and many experiments,

as a great example of the universality

als ein schönes Beispiel für die Universalität,

which is so dear to us mathematicians.

die uns Mathematikern so teuer ist.

Of this curve,

Von dieser Kurve sagte der berühmte Wissenschaftler Francis Galton:

the famous scientist Francis Galton said,

"It would have been deified by the Greeks if they had known it.

„Die Griechen hätten sie vergöttert,

wenn Sie sie gekannt hätten.

It is the supreme law of unreason."

Sie ist das höchste Gesetz der Unvernunft.“

And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board.

Es gibt kein besseres Mittel, um diese Göttin zu materialisieren,

als das Galtonbrett.

Inside this board are narrow tunnels

Innerhalb dieses Brettes sind enge Tunnel,

through which tiny balls will fall down randomly,

durch die winzige Kügelchen zufällig fallen,

going right or left, or left, etc.

nach rechts oder links und so weiter.

All in complete randomness and chaos.

Alle in völligem Zufall und Chaos.

Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.

Mal sehen, was passiert, wenn wir diese zufälligen Bahnen

gemeinsam betrachten.

(Board shaking)

(schüttelt das Galtonbrett)

This is a bit of a sport,

Es ist nicht ganz einfach ...

because we need to resolve some traffic jams in there.

weil wir im Brett einige Staus zu lösen haben.

Aha.

Aha.

We think that randomness is going to play me a trick on stage.

Spielt mir der Zufall einen Streich auf der Bühne?

There it is.

Und siehe da:

Unsere oberste Göttin der Unvernunft,

Our supreme goddess of unreason.

the Gauss Curve,

die Gaußkurve.

trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics.

Eingeklemmt in einer durchsichtigen Kiste wie Dream in den „Sandmann“-Comics.

For you I have shown it,

Ihnen habe ich es gezeigt,

but to my students I explain why it could not be any other curve.

aber meinen Studenten muss ich erklären, warum es keine andere Kurve sein könnte.

And this is touching the mystery of that goddess,

Und das berührt das Geheimnis dieser Göttin.

Es ersetzt einen wunderschönen Zufall durch eine wunderschöne Erklärung.

replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.

All of science is like this.

Jede Wissenschaft funktioniert so.

And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure.

Schöne mathematischen Erklärungen sind nicht nur zum Vergnügen.

They also change our vision of the world.

Sie ändern auch unsere Wahrnehmung der Welt.

Zum Beispiel,

For instance,

Einstein,

Einstein, Perrin, Smoluchowski,

Perrin,

Smoluchowski,

they used the mathematical analysis of random trajectories

sie verwendeten die mathematische Analyse von zufälligen Bahnen

and the Gauss Curve

und die Gaußkurve,

to explain and prove that our world is made of atoms.

um zu erklären und beweisen, dass unsere Welt

aus Atomen zusammengesetzt ist.

It was not the first time

Es war nicht das erste Mal,

that mathematics was revolutionizing our view of the world.

dass die Mathematik unsere Wahrnehmung der Welt revolutionierte.

More than 2,000 years ago,

Bereits vor über 2000 Jahren,

at the time of the ancient Greeks,

im griechischen Altertum,

it already occurred.

fand dies schon einmal statt.

In those days,

Nur ein kleiner Teil der Welt war schon entdeckt und es schien,

only a small fraction of the world had been explored,

and the Earth might have seemed infinite.

dass die Erde unendlich sei.

But clever Eratosthenes,

Aber der kluge Eratosthenes

using mathematics,

bediente sich der Mathematik

was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.

und konnte die Erde mit einer erstaunlichen Genauigkeit

von zwei Prozent messen.

Here's another example.

Hier ist ein weiteres Beispiel.

In 1673, Jean Richer noticed

Im Jahr 1673 stellt Jean Riecher fest,

that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris.

dass ein Pendel in Cayenne etwas langsamer schwingt als in Paris.

From this observation alone, and clever mathematics,

Aus dieser Beobachtung allein, und kluger Mathematik,

Newton rightly deduced

hat Newton richtig geschlossen,

that the Earth is a wee bit flattened at the poles,

dass die Erdkugel etwas plattgedrückt ist,

like 0.3 percent --

etwa 0,3 Prozent.

so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.

So wenig, dass das nicht zu bemerken ist,

wenn man sich ein echtes Bild der Erde anschaut.

These stories show that mathematics

Diese Geschichten zeigen, dass man mit der Mathematik

is able to make us go out of our intuition

aus seiner bloße Intuition herausgehen kann.

measure the Earth which seems infinite,

Man kann die Erde messen, die unendlich scheint,

Atome sehen, die unsichtbar sind

see atoms which are invisible

or detect an imperceptible variation of shape.

oder einen unmerklichen Unterschied einer Körperform erkennen.

And if there is just one thing that you should take home from this talk,

Wenn bei Ihnen nur eines von diesem Gespräch hängen bleibt,

it is this:

dann dies:

mathematics allows us to go beyond the intuition

Die Mathematik ermöglicht es uns,

über die Intuition hinaus weiterzugehen

and explore territories which do not fit within our grasp.

und Gebiete zu erkunden, die außerhalb unserer Wahrnehmung liegen.

Here's a modern example you will all relate to:

Hier ist ein modernes Beispiel, das Sie alle kennen:

searching the Internet.

Die Suche im Internet,

das World Wide Web.

The World Wide Web,

more than one billion web pages --

Mehr als eine Milliarde Webseiten.

do you want to go through them all?

Wollen Sie jede einzeln durchgehen?

Computing power helps,

Maschinelle Rechenleistung hilft,

but it would be useless without the mathematical modeling

aber ohne die mathematische Modellierung wäre sie nutzlos,

to find the information hidden in the data.

die Information zu finden, die in den Daten verborgen ist.

Let's work out a baby problem.

Gehen wir mal ein Anfängerproblem durch.

Imagine that you're a detective working on a crime case,

Stellen Sie sich vor, dass Sie ein Detektiv sind,

der an einem Kriminalfall arbeitet

and there are many people who have their version of the facts.

und es gibt viele Menschen, die ihre eigene Version der Fakten haben.

Who do you want to interview first?

Wen möchten Sie zuerst verhören?

Sensible answer:

Vernünftige Antwort:

prime witnesses.

die Hauptzeugen.

You see,

Nehmen Sie an,

suppose that there is person number seven,

dass es Person Nummer 7 gibt,

die Ihnen eine Geschichte erzählt,

tells you a story,

but when you ask where he got if from,

aber wenn Sie fragen, von wo sie diese Geschichte bekam,

he points to person number three as a source.

zeigt sie auf Person Nummer 3 als Quelle.

And maybe person number three, in turn,

Vielleicht zeigt Person Nummer 3 wiederum

points at person number one as the primary source.

auf Person Nummer 1 als Primärquelle.

Now number one is a prime witness,

Jetzt ist Nummer 1 der Hauptzeuge,

so I definitely want to interview him -- priority.

also möchte ich auf jeden Fall zuerst ihn verhören.

And from the graph

Aus dem Graphen sehen wir auch,

we also see that person number four is a prime witness.

dass Person Nummer 4 ein Hauptzeuge ist.

And maybe I even want to interview him first,

Vielleicht möchte ich ihn sogar zuallererst interviewen,

because there are more people who refer to him.

weil mehr Leute auf ihn hingewiesen haben.

OK, that was easy,

Ok, das war einfach.

but now what about if you have a big bunch of people who will testify?

Aber was macht man, wenn eine ganze Menge Menschen

als Zeugen in Betracht kommen?

And this graph,

Und dieser Graph

I may think of it as all people who testify in a complicated crime case,

stellt beispielsweise alle Zeugen in einem komplizierten Kriminalfall dar.

but it may just as well be web pages pointing to each other,

Aber es könnten genauso gut Webseiten sein, die auf einander zeigen;

referring to each other for contents.

die sich bei der Suche nach Inhalten auf einander berufen.

Which ones are the most authoritative?

Welche sind die ergiebigsten Quellen?

Not so clear.

Nicht ganz so klar.

Schauen wir auf PageRank,

Enter PageRank,

one of the early cornerstones of Google.

einem der frühen Eckpfeiler von Google.

This algorithm uses the laws of mathematical randomness

Dieser Algorithmus verwendet die Gesetze mathematischer Zufälligkeit,

to determine automatically the most relevant web pages,

um automatisch die wichtigsten Webseiten zu bestimmen

in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment.

in der gleichen Weise, wie Zufälligkeit im Galtonbrett verdeutlicht wird.

So let's send into this graph

Lassen Sie uns also in diese Grafik

a bunch of tiny, digital marbles

einige kleine digitale Murmeln senden

and let them go randomly through the graph.

und lassen wir sie irgendwie durch den Graphen gehen.

Each time they arrive at some site,

Jedes Mal, wenn sie auf einer Seite ankommen,

they will go out through some link chosen at random to the next one.

werden sie zufällig durch weiterführende Links

auf die nächste Seite gehen.

And again, and again, and again.

Wieder und wieder und wieder.

And with small, growing piles,

Mit kleinen, wachsenden Haufen

we'll keep the record of how many times each site has been visited

werden wir zählen, wie oft jede Seite

by these digital marbles.

von den digitalen Murmeln besucht wurde.

Here we go.

Also los geht's!

Randomness, randomness.

Zufälligkeit, Zufälligkeit.

And from time to time,

Und von Zeit zu Zeit

also let's make jumps completely randomly to increase the fun.

werden sie auch ganz zufällige Sprünge machen, um den Spaß zu erhöhen.

Und siehe da:

And look at this:

from the chaos will emerge the solution.

Aus dem Chaos ersteht eine Lösung.

The highest piles correspond to those sites

Die höchsten Säulen haben die Seiten,

which somehow are better connected than the others,

die irgendwie besser verbunden sind

more pointed at than the others.

als die anderen, also häufiger verlinkt werden.

And here we see clearly

Hier sehen wir deutlich,

which are the web pages we want to first try.

welche die Webseiten sind, die wir zuerst versuchen wollen.

Once again,

Und wieder

the solution emerges from the randomness.

kommt die Lösung aus der Zufälligkeit.

Of course, since that time,

Natürlich hat Google inzwischen wesentlich aufwendigere Algorithmen gefunden.

Google has come up with much more sophisticated algorithms,

but already this was beautiful.

Aber das war schon sehr schön.

And still,

Und doch nur ein Problem unter Millionen.

just one problem in a million.

With the advent of digital area,

Mit dem Aufkommen des digitalen Zeitalters

lassen sich immer mehr Probleme mathematisch analysieren,

more and more problems lend themselves to mathematical analysis,

was die Arbeit des Mathematikers immer nützlicher macht.

making the job of mathematician a more and more useful one,

to the extent that a few years ago,

Bis dahin, dass dieser Job vor ein paar Jahren

it was ranked number one among hundreds of jobs

an erste Stelle stand unter hunderten anderen,

in a study about the best and worst jobs

in einer Studie über die besten und die schlechtesten Jobs

published by the Wall Street Journal in 2009.

des Wall Street Journals im Jahr 2009.

Mathematician --

Mathematiker --

best job in the world.

der beste Job der Welt.

That's because of the applications:

Das liegt an den Anwendungen:

communication theory,

Kommunikationstheorie,

information theory,

Informationstheorie,

game theory,

Spieltheorie,

compressed sensing,

Komprimierte Erfassung,

machine learning,

maschinelles Lernen,

graph analysis,

Graphentheorie,

harmonic analysis.

harmonische Analyse

And why not stochastic processes,

und warum nicht stochastische Verfahren,

linear programming,

lineare Programmierung,

or fluid simulation?

oder Flüssigkeitssimulation?

Each of these fields have monster industrial applications.

Jeder dieser Bereiche hat riesige industrielle Anwendungen

und durch sie

And through them,

there is big money in mathematics.

gibt es viel Geld in der Mathematik.

And let me concede

Ich muss zugeben, dass,

that when it comes to making money from the math,

wenn es darum geht, Geld aus der Mathematik zu machen,

the Americans are by a long shot the world champions,

die Amerikaner bei Weitem die Weltmeister sind.

with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies,

Mit schlauen Vorzeigemilliardären

und erstaunlichen Großkonzernen,

all resting, ultimately, on good algorithm.

alle letztlich von guten Algorithmen abhängig.

Now with all this beauty, usefulness and wealth,

Jetzt, mit all dieser Schönheit, Nützlichkeit und Reichtum,

mathematics does look more sexy.

sieht Mathematik mehr sexy aus.

But don't you think

Aber glauben Sie nicht,

that the life a mathematical researcher is an easy one.

das Leben eines mathematischen Forschers sei einfach.

It is filled with perplexity,

Es ist mit Verworrenheit gefüllt,

frustration,

Frustration

a desperate fight for understanding.

und einem verzweifelten Kampf um das Verstehen.

Let me evoke for you

Lassen Sie mich Ihnen

einen der markantesten Tage in meinem Mathematikerleben beschreiben.

one of the most striking days in my mathematician's life.

Or should I say,

Oder sollte ich sagen,

one of the most striking nights.

eine der markantesten Nächte?

At that time,

Damals befand ich mich am „Institute for Advanced Studies“

I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton --

in Princeton -- über viele Jahre der Wirkungsort von Albert Einstein

for many years, the home of Albert Einstein

and arguably the most holy place for mathematical research in the world.

und wohl auch der heiligste Ort der mathematischen Forschung weltweit.

And that night I was working and working on an elusive proof,

In dieser Nacht arbeitete ich

an einem schwer fassbaren Beweis,

which was incomplete.

der unvollständig war.

It was all about understanding

Es ging um das Verständnis der paradoxen Stabilitätseigenschaft des Plasmas,

the paradoxical stability property of plasmas,

was eine Ansammlung von Elektronen ist.

which are a crowd of electrons.

Im perfekten Modell der Plasmen

In the perfect world of plasma,

gibt es keine Kollisionen und keine Reibung,

there are no collisions

and no friction to provide the stability like we are used to.

die normalerweise die Stabilität bewirken.

But still,

Doch wenn das Gleichgewicht eines Plasmas leicht gestört wird,

if you slightly perturb a plasma equilibrium,

you will find that the resulting electric field

werden Sie feststellen, dass die resultierende elektrische Abschirmung

spontaneously vanishes,

sofort verschwindet oder gedämpft wird,

or damps out,

as if by some mysterious friction force.

als ob eine geheimnisvolle Reibungskraft im Spiel wäre.

This paradoxical effect,

Dieser paradoxe Effekt,

called the Landau damping,

genannt die Landau-Dämpfung,

is one of the most important in plasma physics,

ist einer der wichtigsten in der Plasmaphysik.

Und er wurde mithilfe mathematischer Ideen entdeckt.

and it was discovered through mathematical ideas.

But still,

Doch ein vollständiges mathematisches Verständnis dieses Phänomens fehlte

a full mathematical understanding of this phenomenon was missing.

And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot,

und zusammen mit meinem früheren Schüler und Hauptmitarbeiter Clément Mouhot,

in Paris at the time,

damals in Paris,

we had been working for months and months on such a proof.

hatte ich monatelang auf einen solchen Beweis hingearbeitet.

Actually,

Irrtümlicherweise hatte ich bereits angekündigt, dass wir es lösen können.

I had already announced by mistake that we could solve it.

But the truth is,

Aber die Wahrheit ist,

the proof was just not working.

dass der Beweis nicht funktionierte.

Trotz mehr als 100 Seiten komplizierter, mathematischer Argumente

In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments,

and a bunch discoveries,

und einer Reihe von Entdeckungen

und riesigen Rechnungen funktionierte es nicht.

and huge calculation,

it was not working.

And that night in Princeton,

In dieser Nacht in Princeton

a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy.

machte mich eine bestimmte Lücke in der Argumentationskette verrückt.

I was putting in there all my energy and experience and tricks,

Ich bot all meine Energie, Erfahrung und Tricks auf,

and still nothing was working.

aber es funktioniert trotzdem nicht.

1 a.m., 2 a.m., 3 a.m.,

1.00 Uhr, 2.00 Uhr, 3.00 Uhr morgens.

not working.

Nichts funktionierte.

Around 4 a.m., I go to bed in low spirits.

Um 4.00 Uhr ging ich niedergeschlagen schlafen.

Then a few hours later,

Dann ein Paar Stunden später

waking up and go,

stand ich auf und bemerkte:

"Ah, it's time to get the kids to school --"

„Ah, es ist Zeit, die Kinder zur Schule zu bringen.“

What is this?

Was ist das?

Da war diese Stimme in meinem Kopf, ich schwöre es.

There was this voice in my head, I swear.

"Take the second term to the other side,

„Nimm den zweiten Term auf die andere Seite,

Fourier transform and invert in L2."

Fourier-Transformation und invertiere in L2.“

(Laughter)

(Lachen)

Damn it,

Verdammt.

Das war der Anfang der Lösung!

that was the start of the solution!

You see,

Sehen Sie, ich dachte,

I thought I had taken some rest,

dass ich mich etwas ausgeruht hatte,

aber eigentlich hatte mein Gehirn weitergearbeitet.

but really my brain had continued to work on it.

In those moments,

In diesen Momenten

you don't think of your career or your colleagues,

denkt man nicht an seine Karriere oder an seine Kollegen,

it's just a complete battle between the problem and you.

es ist nur ein totaler Kampf zwischen dem Problem und dir.

That being said,

Übrigens schadet es nie,

it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work.

wenn Sie eine Belohnung für Ihre harte Arbeit erhalten.

And after we completed our huge analysis of the Landau damping,

Nach dem Abschluss unserer gewaltigen Analyse der Landau-Dämpfung

I was lucky enough

hatte ich das Glück,

to get the most coveted Fields Medal

die höchst begehrte Fields-Medaille

from the hands of the President of India,

aus den Händen der Präsidentin von Indien

in Hyderabad on 19 August, 2010 --

am 19. August 2010 in Hyderabad entgegenzunehmen.

an honor that mathematicians never dare to dream,

Eine Ehre, von der Mathematiker nicht einmal zu träumen wagen.

a day that I will remember until I live.

Ein Tag, an den ich mich mein ganzes Leben lang erinnern werde.

What do you think,

Was denkt man

on such an occasion?

bei einer solchen Gelegenheit?

Stolz, ja?

Pride, yes?

And gratitude to the many collaborators who made this possible.

Und Dankbarkeit an die Hauptmitarbeiter, die dies ermöglichten?

And because it was a collective adventure,

Und weil es ein kollektives Abenteuer war,

you need to share it, not just with your collaborators.

muss man es teilen -- nicht nur mit den Mitarbeitern.

I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research,

Ich glaube, dass jeder den Nervenkitzel der mathematischen Forschung

schätzen lernen kann,

and share the passionate stories of humans and ideas behind it.

und die leidenschaftlichen Geschichten von Menschen und Ideen dahinter

teilen kann.

And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré,

Ich arbeitete mit meinen Mitarbeitern am „Institut Henri Poincaré“ dafür,

gemeinsam mit Partnern und Künstlern der mathematischen Kommunikation weltweit,

together with partners and artists of mathematical communication worldwide,

so that we can found our own, very special museum of mathematics there.

dass wir unser eigenes, ganz besonderes Museum der Mathematik

gründen können.

So in a few years,

In ein paar Jahren,

when you come to Paris,

wenn Sie nach Paris kommen,

after tasting the great, crispy baguette and macaroon,

und Sie den Geschmack von knusprigen Baguettes und Makronen genießen,

kommen Sie uns bitte am „Institut Henri Poincaré“ besuchen

please come and visit us at Institut Henri Poincaré,

and share the mathematical dream with us.

und teilen Sie mit uns den mathematischen Traum.

Thank you.

Danke.

(Applause)

(Applaus)