What's so sexy about math? | Cédric Villani

翻訳: Reiko Bovee 校正: Eriko T

What is it that French people do better than all the others?

フランス人が 他の国民より 巧みな事は何でしょう？

If you would take polls,

そんな世論調査をしたなら

the top three answers might be:

トップ３の答えは

love, wine and whining.

愛､ワイン､ワイニング（泣き言）

(Laughter)

（笑）

Maybe.

かもしれませんが

But let me suggest a fourth one:

それに加えて もう１つ提案すると

mathematics.

数学です

Did you know that Paris has more mathematicians

パリ程 数学者の多い街は

than any other city in the world?

世界中どこを捜してもありません

And more streets with mathematicians' names, too.

これ程 数学者にちなんだ 名前の街路もありません

And if you look at the statistics of the Fields Medal,

統計からすると

often called the Nobel Prize for mathematics,

数学のノーベル賞とも言われ

and always awarded to mathematicians below the age of 40,

40才以下の数学者に与えられる

you will find that France has more Fields medalists per inhabitant

フィールズ賞の受賞者人口比は

フランスが世界一です

than any other country.

What is it that we find so sexy in math?

数学の何が フランス人を そんなに魅惑するのでしょうか？

After all, it seems to be dull and abstract,

数学なんて 抽象的でつまらないとか

just numbers and computations and rules to apply.

またはルールと数字を使っての計算に 過ぎないように思えるでしょう

Mathematics may be abstract,

数学は抽象的かも知れませんが

but it's not dull

退屈ではなく

and it's not about computing.

計算が全てでもありません

It is about reasoning

数学とは論証と証明こそが

and proving our core activity.

数学者の仕事の中核を成し

It is about imagination,

想像力 すなわち

the talent which we most praise.

我々が最も称賛する能力を使う

It is about finding the truth.

真理の追求です

There's nothing like the feeling which invades you

何ヶ月も思考を重ねた上

when after months of hard thinking,

問題が解け やっと正しい証明が

you finally understand the right reasoning to solve your problem.

論証し上がった時の喜び と言ったらありません

The great mathematician André Weil likened this --

偉大なる数学者アンドレ・ヴェイユが この喜びを—

no kidding --

冗談抜きに—

to sexual pleasure.

性的快感に例えています

But noted that this feeling can last for hours, or even days.

違いは その感覚が何時間も 時には何日も継続するという事です

The reward may be big.

見返りが大きいのです

Hidden mathematical truths permeate our whole physical world.

数学的真理は この物質世界全体に潜んでいます

They are inaccessible to our senses

我々は それを五感で 感じる事は出来なくとも

but can be seen through mathematical lenses.

数学というレンズを通して 見る事が出来ます

Close your eyes for moment

では 暫く目を閉じて

and think of what is occurring right now around you.

身の回りで起きている事を 考えてみて下さい

Invisible particles from the air around are bumping on you

あなたの周りの空気中にある 見えない無数の粒子が

by the billions and billions at each second,

常にあなたの体に ぶつかってきています

all in complete chaos.

それは まったく不規則です

And still,

それでも

their statistics can be accurately predicted by mathematical physics.

動きの統計的な値は 数理物理学で正確に予測できます

And open your eyes now

では 目を開けて

to the statistics of the velocities of these particles.

その粒子の速度の統計に 目を向けてみましょう

The famous bell-shaped Gauss Curve,

これは かの有名な 釣り鐘形のガウス曲線—

or the Law of Errors --

誤差の法則—

of deviations with respect to the mean behavior.

平均的挙動に対する 偏差を表したものです

This curve tells about the statistics of velocities of particles

この曲線は 粒子の速度を

in the same way as a demographic curve

人口統計が年齢分布を表すように

would tell about the statistics of ages of individuals.

統計で表したもので

It's one of the most important curves ever.

最も重要な曲線の１つです

It keeps on occurring again and again,

これは幾度となく

from many theories and many experiments,

多くの理論や実験から現れる

as a great example of the universality

普遍的な一大真理として

which is so dear to us mathematicians.

我々数学者には とても大切なものです

Of this curve,

ガウス曲線に関して

the famous scientist Francis Galton said,

有名な科学者フランシス・ゴルトンが こう言いました

"It would have been deified by the Greeks if they had known it.

「ギリシャ人がこの法則を知っていたら これを神格化していただろう

It is the supreme law of unreason."

これは無秩序の最高法規だ」

And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board.

この至高の女神を最もうまく 具現化したのがゴルトンボードです

Inside this board are narrow tunnels

この中には 狭いトンネルがあり

through which tiny balls will fall down randomly,

それを通り 小さなビー玉が

going right or left, or left, etc.

右へ 左へ また左へというように ランダムに落ちていきます

All in complete randomness and chaos.

完全に無秩序な混沌とした動きです

Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.

こんな無秩序な軌道が共に 何を起こすか見てみましょう

(Board shaking)

（ボードを振る）

This is a bit of a sport,

これはちょっとした運動です

because we need to resolve some traffic jams in there.

この中の交通渋滞を 解消しないといけないので

Aha.

さあ

We think that randomness is going to play me a trick on stage.

この場で無秩序が何か面白い事を 起こすかもしれませんよ

There it is.

出ました

Our supreme goddess of unreason.

無秩序の至高の女神

the Gauss Curve,

ガウス曲線が

trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics.

『サンドマン』の主人公ドリームのように この透明の箱に閉じ込められています

For you I have shown it,

ここでは 実験で お見せするだけですが

but to my students I explain why it could not be any other curve.

この曲線以外はあり得ない理由を 私のクラスでは説明します

And this is touching the mystery of that goddess,

至高の女神の神秘に触れ

replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.

美しい偶然の一致が 美しい論証に取って代わるのです

All of science is like this.

科学とはこのようなものです

And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure.

美しい数学的な論証は 数学者の喜びであるだけでなく

They also change our vision of the world.

我々の世界観を変えてしまいます

For instance,

例えば

Einstein,

アインシュタイン

Perrin,

ペラン

Smoluchowski,

スモルコフスキー

they used the mathematical analysis of random trajectories

彼らは 無秩序な軌道の集合とガウス曲線を

and the Gauss Curve

数学的に分析して

to explain and prove that our world is made of atoms.

この世に存在する全てのものは 原子で成っていると証明しました

It was not the first time

数学者が

that mathematics was revolutionizing our view of the world.

我々の世界観を覆したのは これが初めてではありません

More than 2,000 years ago,

２千年以上前

at the time of the ancient Greeks,

古代ギリシャの時代には

it already occurred.

そのような事が既に起きていました

In those days,

当時

only a small fraction of the world had been explored,

世界のほんの一部しか 探検されておらず

and the Earth might have seemed infinite.

地球は無限に広がっている かのようだったでしょう

But clever Eratosthenes,

知恵者のエラストテネスは

using mathematics,

数学を使い

was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.

僅か２％の誤差という驚く程の正確さで 地球の周長を測ったのです

Here's another example.

もう１つの例は

In 1673, Jean Richer noticed

1673年に ジャン・リシェが

カイエンヌでは振り子の動きがパリより 少し遅くなることに気がつきました

that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris.

From this observation alone, and clever mathematics,

この観察だけから 数学を巧妙に使い

Newton rightly deduced

ニュートンは

that the Earth is a wee bit flattened at the poles,

地球の両極が ほんの少し平坦なことを 正確に導き出しました

like 0.3 percent --

その扁平率は0.3%と僅かで

so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.

地球全体を実際見たとしても 気がつかない程でしょう

These stories show that mathematics

これらの例が示しているのは

数学が我々に直観の世界を 超えさせてくれ

is able to make us go out of our intuition

measure the Earth which seems infinite,

果てしなく見える地球の 大きさを測定させ

see atoms which are invisible

目には見えない原子や

我々が五感で感知できないものを 検知させてくれるということです

or detect an imperceptible variation of shape.

And if there is just one thing that you should take home from this talk,

この私のトークから 覚えておく事があるとしたなら

it is this:

それは１つ

mathematics allows us to go beyond the intuition

我々の直観を越えた所にある 知覚では理解し難いものを

and explore territories which do not fit within our grasp.

数学は探索させてくれるということです

Here's a modern example you will all relate to:

皆さんも経験している 現代の例がこれです

searching the Internet.

ネットでの検索です

The World Wide Web,

ワールド・ワイド・ウェブ

more than one billion web pages --

10億を超えるページ全部

do you want to go through them all?

調べ上げたいと思いますか？

Computing power helps,

それだけの計算能力があればですが

but it would be useless without the mathematical modeling

データに潜む情報を見出すための 数学モデルがなければ

to find the information hidden in the data.

使い物にならないでしょう

Let's work out a baby problem.

分かり易い問題で考えてみましょう

Imagine that you're a detective working on a crime case,

こう想像して下さい あなたは ある事件を扱っている刑事で

and there are many people who have their version of the facts.

１人１人異なった見解を 持った証人が多くいたとします

Who do you want to interview first?

誰を最初に事情聴取しますか

Sensible answer:

合理的に見ても

prime witnesses.

主要目撃者ですよね

You see,

こうです

suppose that there is person number seven,

証人７が ある話をするとします

tells you a story,

but when you ask where he got if from,

その情報の発信源を 証人７に尋ねると

he points to person number three as a source.

証人３から聞いたと言うのです

And maybe person number three, in turn,

その次には 証人３は

points at person number one as the primary source.

証人１が その話の源だと 言うかも知れません

Now number one is a prime witness,

さあ 証人１が主要証人となり

so I definitely want to interview him -- priority.

その人からの事情聴取を 絶対に最優先したいと思いますよね

And from the graph

でも このグラフから

we also see that person number four is a prime witness.

証人４が主要目撃者だとも 見なされるので

And maybe I even want to interview him first,

彼の方を先に事情聴取した方が いいかもしれません

because there are more people who refer to him.

大勢の人の口から 彼の名が上がるからです

OK, that was easy,

この場合は簡単ですが

but now what about if you have a big bunch of people who will testify?

もし 非常に多くの人が証言する となったら どうします？

And this graph,

また このグラフは

I may think of it as all people who testify in a complicated crime case,

複雑な事件で証言する人々を 表しているようですが

but it may just as well be web pages pointing to each other,

相互にURLを参照し合う

referring to each other for contents.

ウェブサイトを 表しているのでもあります

Which ones are the most authoritative?

これでは どのサイトが 最も信頼できるのか

Not so clear.

あまり はっきりしません

Enter PageRank,

ここで登場するのが「ページランク」

one of the early cornerstones of Google.

Google初期の主要機能の１つです

This algorithm uses the laws of mathematical randomness

このアルゴリズムは 数学的無秩序の法則を使って

to determine automatically the most relevant web pages,

最も関連性の高いウェブサイトを 自動的に決定します

in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment.

これはゴルトンボードの実験で 見られた無秩序の法則と同じ原理です

So let's send into this graph

では このグラフに

a bunch of tiny, digital marbles

小さなデジタル・ビー玉を送り込み

and let them go randomly through the graph.

バラバラに通してみましょう

Each time they arrive at some site,

それぞれサイトに到着し

they will go out through some link chosen at random to the next one.

次から次にリンクを 無秩序に通り抜けます

And again, and again, and again.

どの玉も そうです

And with small, growing piles,

玉が少しずつ積み上がり

we'll keep the record of how many times each site has been visited

それぞれのサイトの閲覧数—

by these digital marbles.

デジタル・ビー玉の数が記録されます

Here we go.

さあ行きますよ

Randomness, randomness.

無秩序に バラバラと

And from time to time,

時々

also let's make jumps completely randomly to increase the fun.

全く無秩序にジャンプを起こして もっと面白くしましょう

And look at this:

ご覧下さい

from the chaos will emerge the solution.

カオスの状態から解決法が生まれます

The highest piles correspond to those sites

ビー玉の数が一番多いのは

which somehow are better connected than the others,

他のサイトに比べて リンクが多いサイトであり

more pointed at than the others.

より多く参照されているサイトです

And here we see clearly

これで どれが

which are the web pages we want to first try.

最初に見てみたいウェブサイトか はっきりと分かります

Once again,

ここでもまた

the solution emerges from the randomness.

解決法が無秩序から生まれます

Of course, since that time,

もちろん それ以来

Google has come up with much more sophisticated algorithms,

Googleはもっと洗練された アルゴリズムを導入していますが

but already this was beautiful.

ページランクは既に実に うまく機能していました

And still,

それでも問題は起きますが

just one problem in a million.

その頻度は ほんの百万回に１回程です

With the advent of digital area,

デジタルの到来で

more and more problems lend themselves to mathematical analysis,

数学的分析が応用出来る 問題が増えて来て

making the job of mathematician a more and more useful one,

数学者の仕事は増々有用になり

to the extent that a few years ago,

数年前

it was ranked number one among hundreds of jobs

2009年の ウォール・ストリート・ジャーナルによると

in a study about the best and worst jobs

「職種ランキング100」の調査で

published by the Wall Street Journal in 2009.

百の仕事の内のトップに のし上がるまでになりました

Mathematician --

数学者は

best job in the world.

世界で最高の仕事です

That's because of the applications:

理由は その応用の幅広さです

communication theory,

コミュニケーション理論

information theory,

情報理論

game theory,

ゲーム理論

compressed sensing,

圧縮センシング

machine learning,

機械学習

graph analysis,

グラフ解析

harmonic analysis.

調和解析に加え

And why not stochastic processes,

確率過程

linear programming,

線形計画

or fluid simulation?

流体シミュレーションもあり

Each of these fields have monster industrial applications.

それぞれ 様々な産業界で 大いに応用されています

And through them,

これらを通して

there is big money in mathematics.

数学は大きな利益をもたらします

And let me concede

そして 認めざるを得ないことは

that when it comes to making money from the math,

数学を使い富を得る事に関しては

the Americans are by a long shot the world champions,

ダントツで米国が世界一です

with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies,

その象徴の才気ある億万長者や 素晴らしい巨大企業は全て

all resting, ultimately, on good algorithm.

究極のところ 良く出来たアルゴリズムに 頼っているということです

Now with all this beauty, usefulness and wealth,

これら全ての美しさ 有用さと豊かさで

mathematics does look more sexy.

数学は より一層魅惑的に見えるのです

But don't you think

しかし数学者の研究生活が

that the life a mathematical researcher is an easy one.

楽だなんて思わないで下さい

It is filled with perplexity,

解決までには 当惑

frustration,

苛立たしさ

a desperate fight for understanding.

理解に向けての 絶望的な闘いで一杯なのです

Let me evoke for you

私の数学者としての人生で

one of the most striking days in my mathematician's life.

最も印象深かった ある日のことを お話ししましょう

Or should I say,

最も印象深い夜だったと

one of the most striking nights.

言うべきかも知れません

At that time,

当時

I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton --

私はプリンストン高等研究所にいました

for many years, the home of Albert Einstein

アルベルト・アインシュタインが 何年も研究を続けた場所で

and arguably the most holy place for mathematical research in the world.

数学の研究には世界で最も聖なる地だと 言っても間違いがありません

And that night I was working and working on an elusive proof,

その夜 私は 捕らえ所のない証明に 取り組んでいて

which was incomplete.

それは不完全なままでした

It was all about understanding

これは電子の集合体である プラズマの

the paradoxical stability property of plasmas,

矛盾する安定性に関するものでした

which are a crowd of electrons.

In the perfect world of plasma,

完璧なプラズマの世界では

there are no collisions

我々に馴染みの安定性を作り出す

and no friction to provide the stability like we are used to.

衝突も摩擦もありません

But still,

しかし

if you slightly perturb a plasma equilibrium,

少しでもプラズマの平衡が崩れると

you will find that the resulting electric field

電場は 結果として

spontaneously vanishes,

ひとりでに消え去る つまり

or damps out,

減衰することになります

as if by some mysterious friction force.

まるで何か不可解な摩擦力が 働いたようにです

This paradoxical effect,

この矛盾する現象は

called the Landau damping,

「ランダウ減衰」と呼ばれ

is one of the most important in plasma physics,

プラズマ物理における 最も重要な事象の１つで

and it was discovered through mathematical ideas.

その存在は数学で証明されました

But still,

とはいっても

a full mathematical understanding of this phenomenon was missing.

この現象は完全には 数学的に理解されていませんでした

And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot,

かつての私の教え子であり 主要共同研究者のクレマン・ムーオと共に—

in Paris at the time,

その時パリにいたのですが—

we had been working for months and months on such a proof.

何ヶ月もその証明に 取り組んでいました

Actually,

実は

I had already announced by mistake that we could solve it.

私は 解けたと勘違いして 公表してしまっていたのですが

But the truth is,

実際には

the proof was just not working.

その証明は成り立っていなかったのです

In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments,

百ページ以上の複雑な数学的論理

and a bunch discoveries,

多くの発見や

and huge calculation,

膨大な計算にも拘らず

it was not working.

うまく行きませんでした

And that night in Princeton,

プリンストンでの その夜は

a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy.

証明を構築する過程の論理が うまく繋がらなく気がどうかなりそうでした

I was putting in there all my energy and experience and tricks,

エネルギーと経験 そしてあらゆる手法を 駆使していたのに

and still nothing was working.

何もうまく行きませんでした

1 a.m., 2 a.m., 3 a.m.,

夜中の１時 ２時 ３時になっても

not working.

同じ状態でした

Around 4 a.m., I go to bed in low spirits.

４時頃になり 落ち込んだまま就寝し

Then a few hours later,

その数時間後

waking up and go,

目覚め

"Ah, it's time to get the kids to school --"

「子供たちを学校に連れて行く時間だ」 とその時

What is this?

何だ これは？

There was this voice in my head, I swear.

頭の中で こう言う声が 確かに聞こえたのです

"Take the second term to the other side,

「第２項目を 式の反対側に持って行き

Fourier transform and invert in L2."

フーリエ変換して L²空間で逆変換せよ」

(Laughter)

（笑）

Damn it,

これだ！

that was the start of the solution!

それが解決への第一歩でした

You see,

このように

I thought I had taken some rest,

休息していたと思っていたのに

but really my brain had continued to work on it.

実は私の脳は働き続けていたのです

In those moments,

そんな時には

you don't think of your career or your colleagues,

野心も同僚の事も頭にはありません

it's just a complete battle between the problem and you.

取り組んでいる問題と自分だけです

That being said,

そうは言ったものの

it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work.

自分の辛苦が報われ 昇進するのも悪くはないですね

And after we completed our huge analysis of the Landau damping,

ランダウ減衰の膨大な証明が完了してから

I was lucky enough

私は幸運な事に

to get the most coveted Fields Medal

最も切望されているフィールズ賞を

from the hands of the President of India,

インドの大統領の手から

in Hyderabad on 19 August, 2010 --

ハイデラバードで 2010年の8月19日に頂きました

an honor that mathematicians never dare to dream,

数学者にとって夢の様な光栄です

a day that I will remember until I live.

死ぬまで この日を忘れないでしょう

What do you think,

どう思われますか

on such an occasion?

その時の私の気持ちは？

Pride, yes?

プライド？ もちろん

And gratitude to the many collaborators who made this possible.

それに加え これを可能にしてくれた 協力者の方々ヘの感謝の念です

And because it was a collective adventure,

これは人々と共同の冒険だったからです

you need to share it, not just with your collaborators.

共同研究者以外の人々とも 共有すべき事なのです

I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research,

誰でも数学研究のワクワク感を味わえ

and share the passionate stories of humans and ideas behind it.

その陰に潜む人々の情熱的な物語を 共有出来ると信じています

And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré,

アンリ・ポアンカレ研究所の 私のスタッフと共同研究者たちと

together with partners and artists of mathematical communication worldwide,

世界の数学的表現アーティストと共に アンリ・ポアンカレ研究所で

so that we can found our own, very special museum of mathematics there.

実に特殊な独自の数学博物館創立に 力を注いでいます

So in a few years,

数年後に

when you come to Paris,

パリに来られたら

after tasting the great, crispy baguette and macaroon,

美味しいパリパリのフランスパンと マカロンを 賞味なさった後

please come and visit us at Institut Henri Poincaré,

どうぞアンリ・ポアンカレ研究所へ お越し下さい

and share the mathematical dream with us.

そして 数学の夢を一緒に見ましょう

Thank you.

ありがとうございました

(Applause)

（拍手）