Logarithms, Explained - Steve Kelly

Translator: Reza Yaradi Reviewer: Ali Hosseini

How does the difference between

چگونه تفاوت میان دو عدد

point 0000000398 and

۰/۰۰۰۰۰۰۰۳۹۸

point 00000000398

و ۰/۰۰۰۰۰۰۰۰۳۹۸

cause one to have red eyes after swimming?

سبب می شود چشمان قرمزی بعد از شنا داشته باشیم؟

To answer this, we first need a way of

برای پاسخ به این سوال، ما به روشی نیاز داریم

dealing with rather small numbers,

تا با اعداد بسیار کوچک رو در رو شویم،

or in some cases extremely large numbers.

یا در برخی موارد با اعداد بسیار بزرگ.

This leads us to the concept of logarithms.

این مسأله ما را به مفهوم لگاریتم هدایت می کند.

Well, what are logarithms?

خوب، لگاریتم ها چیستند؟

Let's take the base number, b,

مثلاً عدد b را به عنوان پایه در نظر بگیرید،

and raise it to a power, p,

و آن را به توان p برسانید،

like 2 to the 3rd power,

مثل ۲ به توان ۳،

and have it equal a number n.

و آن را مساوی با n بگیرید.

We get an exponential equation: b raised to the p power, equals n.

معادله ای نمایی خواهیم داشت: b به توان p مساوی با n است.

In our example, that'd be 2 raised

در مثال ما، می شود ۲ به توان

to the 3rd power, equals 8.

۳ که مساوی با ۸ است.

The exponent p is said to be

توان p را می توان،

the logarithm of the number n.

لگاریتم عدد n نامید.

Most of the time this would be written:

بیشتر اوقات به این صورت نوشته می شود:

"log, base b, of a number equals p, the power."

log با پایه b، از عدد n مساوی با p (مقدار توان) می شود.

This is starting to sound a bit confusing with all the variables,

در بررسی تمام متغیرها این مسأله اندکی پیچیده به نظر می رسد،

so let's show this with an example.

پس بگذارید مثالی بزنیم.

What is the value of

مقدارِ عددی

log base 10 of 10,000?

لگاریتم ۱۰٫۰۰۰ بر پایه ۱۰ چقدر است؟

The same question could be asked using exponents:

سؤالی مشابه را می توان از نظر نمایی پرسید:

"10 raised to what power is 10,000?"

«۱۰ به توان چه عددی مساوی ۱۰٫۰۰۰ می شود؟»

Well, 10 to the 4th is 10,000.

خوب ۱۰ به توان ۴ برابر با ۱۰٫۰۰۰ است.

So, log base 10 of 10,000

بنابراین لگاریتم ۱۰٫۰۰۰ بر پایه ۱۰

must equal 4.

مساوی ۴ می شود.

This example can also be completed very simply on a scientific calculator.

این مثال به سادگی توسط ماشین حساب مهندسی حل می شود.

Log base 10 is used so frequently

لگاریتم بر پایه ۱۰ در کاربردهای علمی

in the sciences

بسیار متداول است

that it has the honor of having its own button on most calculators.

به همین دلیل دکمه ای مخصوص به خود را روی ماشین حساب ها دارد.

If the calculator will figure out logs for me,

اگر ماشین حساب ها لگاریتم را محاسبه می کنند،

why study them?

چرا آنها را یاد بگیریم؟

Just a quick reminder:

یک یادآوری سریع:

the log button only computes logarithms of base 10.

دکمه log تنها لگاریتم بر مبنای ۱۰ را حساب می کند.

What if you want to go into computer science

حال اگر بخواهیم به علوم کامپیوتر برویم

and need to understand base 2?

و نیاز به مبنای ۲ داشته باشیم چه؟

So what is log base 2 of 64?

لگاریتم ۶۴ بر پایه ۲ چقدر است؟

In other words, 2 raised to what power is 64?

به عبارت دیگر، ۲ به توان چه عددی ۶۴ می شود؟

Well, use your fingers. 2, 4, 8, 16, 32, 64.

خوب با دست بشمارید. ۲ ،۴، ۸، ۱۶، ۳۲ و ۶۴.

So log base 2 of 64 must equal 6.

پس لگاریتم ۶۴ بر پایه ۲ مساوی با ۶ است.

So what does this have to do with my eyes turning red

خب این چه ارتباطی با چشمان من دارد

in some swimming pools

که فقط در برخی از استخرها

and not others?

قرمز می شوند؟

Well, it leads us into an interesting

خوب، این ما را به کاربرد جالبی

use of logarithms in chemistry:

از لگاریتم در شیمی می رساند:

finding the pH of water samples.

یافتن PH نمونه های آب.

pH tells us how acidic or basic a sample is,

PH بیانگر میزان اسیدی یا خنثی بودن نمونه است،

and can be calculated with the formula:

و می توان آن را با فرمولی محاسبه نمود:

pH equals negative log base 10 of the hydrogen ion concentration, or H plus.

PH مساوی با منفی لگاریتم بر مبنای ۱۰ از غلظت یون هیدروژن یا همان H مثبت است.

We can find the pH of water samples

ما می توانیم PH نمونه های آب را

with hydrogen ion concentration of point 0000000398

که غلظت یون هیدروژن آن ۰/۰۰۰۰۰۰۰۳۹۸

and point 00000000398

و ۰/۰۰۰۰۰۰۰۰۳۹۸ است را سریعاً

quickly on a calculator.

با ماشین حساب بیابیم.

Punch: negative log of each of those numbers,

حاصل لگاریتم را منفی کنیم،

and you'll see the pH's are 7.4 and 8.4.

و شما خواهید دید که مقدار PH مساوی با ۷/۴ و ۸/۴ می شود.

Since the tears in our eyes have a pH of about 7.4,

از آنجا اشک چشم PH حدود ۷/۴ دارد،

the H plus concentration of .0000000398

غلظت H مثبت معادل ۰/۷۰۳۹۸

will feel nice on your eyes,

برای چشمان شما مناسب است،

but the pH of 8.4 will make you feel itchy and red.

اما PH مساوی با ۸/۴ خارش و قرمزی چشم را به همراه دارد.

It's easy to remember logarithms "log base b of some number n equals p"

به یاد سپردن لگاریتم خیلی آسان است. «لگاریتمِ پایه b از عدد n مساوی با p است»

by repeating: "The base raised to what power equals the number?"

با تکرار: «پایه به چه توانی با عدد مدنظر مساوی می شود»

"The BASE raised to what POWER equals the NUMBER?"

«پایه به چه توانی مساوی آن عدد است؟»

So now we know logarithms are very powerful

خب حال ما می دانیم که لگاریتم بسیار کارآمد است

when dealing with extremely small or large numbers.

مخصوصاً وقتی که با اعداد بسیار کوچک یا بسیار بزرگ سر و کار دارد.

Logarithms can even be used

لگاریتم ها را حتی می توان

instead of eyedrops after swimming.

به جای قطره چشم بعد از شنا استفاده نمود!