Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

Перекладач: Bohdan Kamensky Утверджено: Vsevolod Dyomkin

On the 30th of May, 1832,

30-го травня 1832 року,

a gunshot was heard

було чутно постріл

ringing out across the 13th arrondissement in Paris.

на цілий 13-ий округ в Парижі.

(Gunshot)

(Вогнепальний постріл)

A peasant, who was walking to market that morning,

Селянин, який йшов на ринок цього ранку

ran towards where the gunshot had come from,

побіг туди, звідки долинав звук пострілу,

and found a young man writhing in agony on the floor,

і знайшов юнака, що корчився в агонії на підлозі,

clearly shot by a dueling wound.

очевидно, підстрелений на дуелі.

The young man's name was Evariste Galois.

Цього юнака звали Еварист Галуа.

He was a well-known revolutionary in Paris at the time.

В той час він був добре відомим революціонером у Парижі.

Galois was taken to the local hospital

Галуа доставили в місцеву лікарню,

where he died the next day in the arms of his brother.

де він помер на наступний день на руках у свого брата.

And the last words he said to his brother were,

І останні слова, які він сказав своєму брату, були:

"Don't cry for me, Alfred.

"Не плач за мною, Альфреде.

I need all the courage I can muster

Мені потрібна уся відвага, яку я можу зібрати,

to die at the age of 20."

щоб померти у віці 20-ти років".

It wasn't, in fact, revolutionary politics

Насправді, не через революційні справи

for which Galois was famous.

Галуа став відомим.

But a few years earlier, while still at school,

Але декілька років раніше, коли ще навчався в школі,

he'd actually cracked one of the big mathematical

він фактично розв'язав одну з великих математичних

problems at the time.

проблем свого часу.

And he wrote to the academicians in Paris,

І він написав академікам з Парижу,

trying to explain his theory.

намагаючись пояснити свою теорію.

But the academicians couldn't understand anything that he wrote.

Але академіки не змогли зрозуміти нічого з написаного.

(Laughter)

(Сміх)

This is how he wrote most of his mathematics.

Ось, як він писав більшу частину своєї математики.

So, the night before that duel, he realized

Тож, в ніч перед тою дуеллю він зрозумів

this possibly is his last chance

що, можливо, це його останній шанс,

to try and explain his great breakthrough.

щоб спробувати пояснити його великий прорив.

So he stayed up the whole night, writing away,

Тож він не спав всю ніч, одержимий написанням,

trying to explain his ideas.

намагаючись пояснити свої ідеї.

And as the dawn came up and he went to meet his destiny,

І на світанку, коли він пішов назустріч своїй долі,

he left this pile of papers on the table for the next generation.

він залишив цю купу паперів на столі для наступних поколінь.

Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics

Можливо, той факт, що він не спав всю ніч, займаючись математикою,

was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

пояснює те, що він був таким поганим дуелянтом того ранку, і був убитий.

But contained inside those documents

Але в тих документах

was a new language, a language to understand

була нова мова, мова для розуміння

one of the most fundamental concepts

одного з найбільш фундаментальних понять

of science -- namely symmetry.

науки - а саме, симетрії.

Now, symmetry is almost nature's language.

Отже, симетрія - це майже мова природи.

It helps us to understand so many

Вона допомагає нам зрозуміти так багато

different bits of the scientific world.

різних шматочків наукового світу.

For example, molecular structure.

Наприклад, молекулярну структуру.

What crystals are possible,

Які кристали можливі,

we can understand through the mathematics of symmetry.

ми можемо зрозуміти завдяки математиці симетрії.

In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,

В мікробіології ви насправді не хочете мати справу з симетричними об'єктами.

because they are generally rather nasty.

Тому що вони, як правило, досить неприємні.

The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.

Вірус свинячого грипу, на даний момент, є симетричним об'єктом.

And it uses the efficiency of symmetry

І він використовує ефективність симетрії,

to be able to propagate itself so well.

щоб мати можливість поширювати себе так добре.

But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,

Але в більш широкому масштабі біології, насправді, симетрія дуже важлива,

because it actually communicates genetic information.

оскільки вона безпосередньо передає генетичну інформацію.

I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.

Я взяв дві фотографії тут, і зробив їх штучно симетричними.

And if I ask you which of these you find more beautiful,

І якщо я запитаю вас, які з них виглядають краще на вашу думку,

you're probably drawn to the lower two.

ви, мабуть, виберете дві нижні.

Because it is hard to make symmetry.

Тому що це важко зробити симетрію.

And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign

І якщо ви можете зробити себе симетричними, ви посилаєте сигнал,

that you've got good genes, you've got a good upbringing

що у вас гарні гени, ви добре росли,

and therefore you'll make a good mate.

і тому ви будете хорошим партнером.

So symmetry is a language which can help to communicate

Отож симетрія - це мова, яка може допомогти передавати

genetic information.

генетичну інформацію.

Symmetry can also help us to explain

Симетрія може також допомогти нам пояснити,

what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.

що відбувається у Великому адронному колайдері в ЦЕРНі.

Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.

Або що не відбувається у Великому адронному колайдері в ЦЕРНі.

To be able to make predictions about the fundamental particles

Мати можливість робити передбачення про елементарні частинки,

we might see there,

які ми можемо побачити там,

it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape

здається, вони всі є аспектами якоїсь дивної симетричної форми

in a higher dimensional space.

в високовимірному просторі.

And I think Galileo summed up, very nicely,

І я гадаю, що Галілей підсумував, дуже красиво,

the power of mathematics

потужність математики,

to understand the scientific world around us.

що дозволяє зрозуміти науковий світ навколо нас.

He wrote, "The universe cannot be read

Він написав: "Всесвіт не можна прочитати,

until we have learnt the language

поки ми не вивчили мову

and become familiar with the characters in which it is written.

і не призвичаїлись до символів, якими він записаний.

It is written in mathematical language,

Він записаний на математичній мові.

and the letters are triangles, circles and other geometric figures,

І букви - це трикутники, кола та інші геометричні фігури,

without which means it is humanly impossible

без допомоги яких неможливо людям

to comprehend a single word."

зрозуміти бодай єдине слово."

But it's not just scientists who are interested in symmetry.

Але цікавляться симетрією не тільки вчені.

Artists too love to play around with symmetry.

Митці теж полюбляють бавитися із симетрією.

They also have a slightly more ambiguous relationship with it.

Та вони мають дещо більш неоднозначні відносини з нею.

Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."

Ось що Томас Манн говорить про симетрії в "Чарівній Горі".

He has a character describing the snowflake,

В нього є персонаж, який описує сніжинку.

and he says he "shuddered at its perfect precision,

І той каже, що він "здригнувся від її бездоганної точності,

found it deathly, the very marrow of death."

що здавалася загрозливою, неначе таємниця самої сутності смерті".

But what artists like to do is to set up expectations

Але що художники люблять робити, це створювати очікування

of symmetry and then break them.

симетрії, а потім руйнувати їх.

And a beautiful example of this

І прекрасний приклад цьому

I found, actually, when I visited a colleague of mine

я знайшов, насправді, коли відвідав свого колегу

in Japan, Professor Kurokawa.

в Японії, професора Курокаву.

And he took me up to the temples in Nikko.

І він повів мене до храмів у Нікко.

And just after this photo was taken we walked up the stairs.

І якраз після цього знімку ми піднімалися сходами.

And the gateway you see behind

І портик, який ви бачите позаду,

has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.

має вісім колон, з красивими симетричним дизайном на них.

Seven of them are exactly the same,

Сім з них однаковісінькі,

and the eighth one is turned upside down.

а восьма перевернута догори дригом.

And I said to Professor Kurokawa,

І я сказав професору Курокаві

"Wow, the architects must have really been kicking themselves

"Ого, архітектори, мабуть, кусали лікті,

when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."

коли зрозуміли, що зробили помилку, і поставили це догори дригом."

And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."

А він сказав: "Ні, ні, ні. Вони так зробили навмисне."

And he referred me to this lovely quote from the Japanese

І він процитував мені цю прекрасну цитату з японських

"Essays in Idleness" from the 14th century,

"Нарисів з бездіяльності" 14-го століття.

in which the essayist wrote, "In everything,

У якій, есеїст написав: "У всьому

uniformity is undesirable.

одноманітність небажана.

Leaving something incomplete makes it interesting,

Якщо залишати щось незакінченим, це робить його цікавим,

and gives one the feeling that there is room for growth."

і дає відчуття, що є можливості для зростання.

Even when building the Imperial Palace,

Навіть при будівництві імператорського палацу,

they always leave one place unfinished.

вони завжди залишають одне місце незавершеним".

But if I had to choose one building in the world

Але якби мені довелося обирати одну будівлю у світі,

to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,

щоб бути вигнаним на безлюдний острів, щоб прожити в ній решту мого життя,

being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.

оскільки я фанат симетрії, то обрав би Альгамбру в Гренаді.

This is a palace celebrating symmetry.

Це палац, присвячений симетрії.

Recently I took my family --

Нещодавно я взяв свою родину -

we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.

ми здійснюємо такі поїздки для математичних фанатів, які полюбляє моя родина.

This is my son Tamer. You can see

Це мій син Теймер. Ви можете бачити,

he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.

що він дійсно задоволений математичною поїздкою до Альгамбри.

But I wanted to try and enrich him.

Але я хотів спробувати збагатити його.

I think one of the problems about school mathematics

Я думаю, однією з проблем шкільної математики

is it doesn't look at how mathematics is embedded

є те, що вона не розглядає, як математика вбудована

in the world we live in.

у світ, в якому ми живемо.

So, I wanted to open his eyes up to

Отже, я захотів відкрити його очі на те,

how much symmetry is running through the Alhambra.

якою кількістю симетрії пронизано Альгамбру.

You see it already. Immediately you go in,

Це можна побачити відразу, тільки-но ви увійдете,

the reflective symmetry in the water.

дзеркальну симетрію у воді.

But it's on the walls where all the exciting things are happening.

Але стіни - ось де відбуваються найцікавіші речі.

The Moorish artists were denied the possibility

Мавританські художники були позбавлені можливості

to draw things with souls.

малювати одухотворені речі.

So they explored a more geometric art.

Тож вони досліджували більш геометричне мистецтво.

And so what is symmetry?

Отож що таке симетрія?

The Alhambra somehow asks all of these questions.

Альгамбра якимось чином задає ці всі питання.

What is symmetry? When [there] are two of these walls,

Що таке симетрія? Якщо розглянути дві із цих стін,

do they have the same symmetries?

чи мають вони однакові симетрії?

Can we say whether they discovered

Чи можемо ми сказати, що вони виявили

all of the symmetries in the Alhambra?

всі симетрії в Альгамбрі?

And it was Galois who produced a language

І це саме Галуа створив мову,

to be able to answer some of these questions.

що надала можливість відповісти на деякі з цих запитань.

For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,

Для Галуа, симетрія - на відміну від Томаса Манна,

which was something still and deathly --

для якого вона означала щось нерухоме і смертельне -

for Galois, symmetry was all about motion.

для Галуа, симетрія була найбільше пов'язана з рухом.

What can you do to a symmetrical object,

Що ви можете зробити з симетричним об'єктом,

move it in some way, so it looks the same

перемістити його деяким чином, щоб він виглядав так само,

as before you moved it?

як і до переміщення?

I like to describe it as the magic trick moves.

Я би описав це як рухи у магічних трюках.

What can you do to something? You close your eyes.

Що ви можете зробити з чим-небудь? Заплющіть очі.

I do something, put it back down again.

Я зроблю щось, покладу його назад.

It looks like it did before it started.

Виглядає так само, як було спочатку.

So, for example, the walls in the Alhambra --

Так, наприклад, стіни в Альгамбрі,

I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,

я можу взяти всі ці плитки, і зафіксувати їх в жовтій точці,

rotate them by 90 degrees,

повернути їх на 90 градусів,

put them all back down again and they fit perfectly down there.

покласти їх назад, і вони ідеально впишуться на ці місця.

And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.

І якщо ви відкриєте очі знову, то не дізнаєтесь, що вони були переміщені.

But it's the motion that really characterizes the symmetry

Але це рух, який справді характеризує симетрію

inside the Alhambra.

усередині Альгамбри.

But it's also about producing a language to describe this.

Та також важливо створити мову, щоб описати це.

And the power of mathematics is often

І сила математики часто полягає в тому, щоб

to change one thing into another, to change geometry into language.

змінити одну річ на іншу, змінити геометрію на мову.

So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --

Так що я збираюся вас провести, можливо, підштовхнути вас трішечки математично -

so brace yourselves --

отож наберіться хоробрості -

push you a little bit to understand how this language works,

підштовхну вас зовсім трохи для розуміння, як ця мова працює,

which enables us to capture what is symmetry.

що дозволить нам вловити, що таке симетрія.

So, let's take these two symmetrical objects here.

Отже, візьмімо ці два симетричні об'єкти тут.

Let's take the twisted six-pointed starfish.

Візьмімо перекручену шестикутну морську зірку.

What can I do to the starfish which makes it look the same?

Що я можу зробити із зіркою, щоб вона виглядала так само?

Well, there I rotated it by a sixth of a turn,

Що ж, я повернув її на одну шосту оберту,

and still it looks like it did before I started.

і вона виглядає так само, як до того, як я почав.

I could rotate it by a third of a turn,

Я міг би повернути її на третину оберту,

or a half a turn,

або на півоберту -

or put it back down on its image, or two thirds of a turn.

повертаю її на місце - або на дві третіх оберта.

And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.

І п'ята симетрія, я можу повернути її на п'ять шостих оберта.

And those are things that I can do to the symmetrical object

І ті речі, які я можу зробити із симетричним об'єктом

that make it look like it did before I started.

які роблять його схожим на себе до початку.

Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.

Тепер, для Галуа, була насправді шоста симетрія.

Can anybody think what else I could do to this

Чи може хтось придумати, що ще я можу зробити з цим,

which would leave it like I did before I started?

щоб воно залишилось таким, як і до початку?

I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?

Я не можу перевертати його, оскільки я дещо спотворив зірочку, чи не так?

It's got no reflective symmetry.

Вона не має дзеркальної симетрії.

But what I could do is just leave it where it is,

Але що я міг би зробити, це просто залишити її так, як є,

pick it up, and put it down again.

підняти її, і покласти на місце.

And for Galois this was like the zeroth symmetry.

І для Галуа це була неначе нульова симетрія.

Actually, the invention of the number zero

Насправді винахід цього числа нуль

was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.

був дуже сучасним поняттям, VII століття нашої ери, індійці.

It seems mad to talk about nothing.

Здається, дивакуватим говорити ні про що.

And this is the same idea. This is a symmetrical --

І це та сама ідея. Це симетричне -

so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

тож все має симетрію, якщо ви просто залишити його, як є.

So, this object has six symmetries.

Таким чином, цей об'єкт має шість симетрій.

And what about the triangle?

А як щодо трикутника?

Well, I can rotate by a third of a turn clockwise

Ну, я можу повернути на третину оберту за годинниковою стрілкою

or a third of a turn anticlockwise.

або на третину оберту проти годинникової стрілки.

But now this has some reflectional symmetry.

Але також цей об'єкт має деякі дзеркальні симетрії.

I can reflect it in the line through X,

Я можу відображати його відносно прямої, що проходить через X,

or the line through Y,

або відносно прямої, що проходить через Y,

or the line through Z.

або відносно прямої, що проходить через Z.

Five symmetries and then of course the zeroth symmetry

П'ять симетрії і також, звичайно, нульова симетрія,

where I just pick it up and leave it where it is.

коли я просто візьму його і залишу, як є.

So both of these objects have six symmetries.

Таким чином, обидва ці об'єкти мають шість симетрій.

Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,

Далі, я переконаний, що математика - це не спорт для глядачів,

and you have to do some mathematics

і вам доведеться зайнятися трохи математикою

in order to really understand it.

для того, щоб дійсно зрозуміти її.

So here is a little question for you.

Таке от маленьке питання до вас.

And I'm going to give a prize at the end of my talk

І я збираюся дати приз в кінці мого виступу

for the person who gets closest to the answer.

людині, яка найбільш наблизиться до відповіді.

The Rubik's Cube.

Кубик Рубика.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

Скільки симетрій має кубик Рубика?

How many things can I do to this object

Як багато речей можна зробити з цим об'єктом

and put it down so it still looks like a cube?

і поставити його назад так, щоб він і далі виглядав як куб?

Okay? So I want you to think about that problem as we go on,

Домовилися? Отож я хочу, щоб ви подумали над цією задачєю поки ми продовжуватимемо,

and count how many symmetries there are.

і підрахували, скільки там симетрій.

And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

І буде приз для людини, яка підійде найближче в кінці.

But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.

Але давайте повернемося до симетрії, які в мене є для цих двох об'єктів.

What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,

Що Галуа зрозумів: справа не просто в окремо взятих симетріях,

but how they interact with each other

а в тому, як вони взаємодіють між собою,

which really characterizes the symmetry of an object.

що справді характеризує симетричність об'єкта.

If I do one magic trick move followed by another,

Якщо я зроблю один магічного трюк, потім інший,

the combination is a third magic trick move.

то результатом комбінації буде третій магічний трюк.

And here we see Galois starting to develop

І тут ми бачимо, що Галуа починає розвивати

a language to see the substance

мову, щоб побачити суть

of the things unseen, the sort of abstract idea

невидимих речей, типу абстрактних ідей

of the symmetry underlying this physical object.

симетрії, що лежать в основі цього фізичного об'єкта.

For example, what if I turn the starfish

Наприклад, що якщо я поверну зірку

by a sixth of a turn,

на одну шосту оберта,

and then a third of a turn?

а потім на одну третю?

So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,

Тож я дам їм імена. Великими літерами, A, B, C, D, E, F,

are the names for the rotations.

імена поворотів.

B, for example, rotates the little yellow dot

B, наприклад, повертає маленьку жовту точку

to the B on the starfish. And so on.

на точку В на зірочці. І так далі.

So what if I do B, which is a sixth of a turn,

Отож, що буде, якщо я виконаю B, який є одною шостою оберту,

followed by C, which is a third of a turn?

потім C, який є третиною оберту?

Well let's do that. A sixth of a turn,

Добре, зробімо це. Шоста частина оберту,

followed by a third of a turn,

потім третина,

the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.

результуючий ефект - ніби я щойно повернув її на пів-оберта за один раз.

So the little table here records

Таким чином, маленька табличка тут записує,

how the algebra of these symmetries work.

як працює алгебра цих симетрій.

I do one followed by another, the answer is

Після виконання одного після іншого, відповідь -

it's rotation D, half a turn.

це поворот D, на півоберта.

What I if I did it in the other order? Would it make any difference?

Що буде, якби я це зробив в іншому порядку? Чи була б різниця?

Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.

Погляньмо. Зробімо третину оберту, а потім одну шосту.

Of course, it doesn't make any difference.

Звичайно, тут не має різниці.

It still ends up at half a turn.

Так само виходить півоберту.

And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.

І є деяка симетрія в тому, як симетрії взаємодіють між собою.

But this is completely different to the symmetries of the triangle.

Але це зовсім інше, ніж симетрії трикутника.

Let's see what happens if we do two symmetries

Погляньмо, що станеться, якщо ми виконаємо дві симетрії

with the triangle, one after the other.

з трикутником, одну за одною.

Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise,

Зробімо поворот на третину оберту проти годинникової стрілки,

and reflect in the line through X.

і відобразимо симетрично відносно прямої X.

Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z

Що ж, сукупний ефект такий, ніби я щойно зробив відображення відносно прямої Z

to start with.

з початкової зірочки.

Now, let's do it in a different order.

Тепер, зробімо це в іншому порядку.

Let's do the reflection in X first,

Зробімо спершу відображення відносно прямої Х,

followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise.

а після того поворот на третину оберту проти годинникової стрілки.

The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different.

Сукупний ефект: трикутник опиняється в якомусь зовсім іншому положенні.

It's as if it was reflected in the line through Y.

Неначе його відображено симетрично відносно прямої Y.

Now it matters what order you do the operations in.

Тепер грає роль, в якому порядку ви виконуєте операції.

And this enables us to distinguish

І це дає нам змогу розрізняти,

why the symmetries of these objects --

чому симетрії цих об'єктів --

they both have six symmetries. So why shouldn't we say

вони обоє мають шість симетрій. Так чому б нам не сказати,

they have the same symmetries?

що вони мають ті ж самі симетрії?

But the way the symmetries interact

Але спосіб, яким симетрії взаємодіють,

enable us -- we've now got a language

дозволяє нам - у нас тепер є мова,

to distinguish why these symmetries are fundamentally different.

щоб розрізняти, чому ці симетрії фунаментально різні.

And you can try this when you go down to the pub, later on.

І ви можете спробувати зробити це, коли підете в бар потім.

Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn,

Візьміть підставку для пива, і поверніть її на чверть оберту,

then flip it. And then do it in the other order,

а потім переверніть її. А потім зробіть це в іншому порядку,

and the picture will be facing in the opposite direction.

І картина буде дивитись в протилежному напрямку.

Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact.

Тепер Галуа розробив деякі закони того, як ці таблиці, як симетрії взаємодіють.

It's almost like little Sudoku tables.

Це майже як таблички Судоку.

You don't see any symmetry twice

Ви не побачите будь-якої симетрії двічі

in any row or column.

у будь-якому рядку або стовпці.

And, using those rules, he was able to say

І, скориставшись цими правилами, він отримав змогу сказати,

that there are in fact only two objects

що насправді є лише два об'єкти

with six symmetries.

з шістьма симетріями.

And they'll be the same as the symmetries of the triangle,

І вони будуть такими ж, як симетрії трикутника

or the symmetries of the six-pointed starfish.

або симетрії шестикутної зірки.

I think this is an amazing development.

Я думаю, що це дивовижний результат.

It's almost like the concept of number being developed for symmetry.

Це майже як поняття числа, розробленого для симетрії.

In the front here, I've got one, two, three people

На передніх рядах тут, я бачу одного, двох, трьох людей,

sitting on one, two, three chairs.

що сидять у одному, двох, трьох кріслах.

The people and the chairs are very different,

Люди у кріслах дуже різні,

but the number, the abstract idea of the number, is the same.

однак число, абстрактна ідея числа, одна і та ж.

And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra.

І ми можемо побачити це зараз: повернемося до стін в Альгамбрі.

Here are two very different walls,

Ось тут дві дуже різні стіни,

very different geometric pictures.

дуже різні геометричні зображення.

But, using the language of Galois,

Але, використовуючи мову Галуа,

we can understand that the underlying abstract symmetries of these things

ми розуміємо, що сутнісні абстрактні симетрії цих речей

are actually the same.

фактично ті ж самі.

For example, let's take this beautiful wall

Наприклад, візьмімо цю красиву стіну

with the triangles with a little twist on them.

з трикутниками з невеликими спотвореннями.

You can rotate them by a sixth of a turn

Ви можете повернути їх на одну шосту оберту,

if you ignore the colors. We're not matching up the colors.

якщо не враховувати кольорів. Ми не співставляємо кольори.

But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn

Але фігури сходяться, якщо я поверну на одну шосту оберту

around the point where all the triangles meet.

навколо точки, де всі трикутники стикаються.

What about the center of a triangle? I can rotate

А як щодо центру трикутника? Я можу повернути

by a third of a turn around the center of the triangle,

на третину оберту навколо центру трикутника,

and everything matches up.

і все сходиться.

And then there is an interesting place halfway along an edge,

І тут є цікаве місце посередині сторони,

where I can rotate by 180 degrees.

де можна обернути на 180 градусів.

And all the tiles match up again.

І всі плитки сходяться знов.

So rotate along halfway along the edge, and they all match up.

Тож поверніть посередині ребра, і всі вони співпадуть.

Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra.

Тепер, перейдімо до дуже по-іншому виглядаючої стіни Альгамбри.

And we find the same symmetries here, and the same interaction.

І ми знайдемо ту ж симетрію тут, і ту ж взаємодію.

So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet.

Отже, це була одна шоста оберту. Третина оберту, де Z-подібні шматки стикаються.

And the half a turn is halfway between the six pointed stars.

І половина оберту, на півдорозі між шестикутними зірками.

And although these walls look very different,

І хоча ці стіни виглядають зовсім по-різному,

Galois has produced a language to say

Галуа розробив мову, щоб стверджувати,

that in fact the symmetries underlying these are exactly the same.

що фактично суть симетрій, що лежать в їх основі, точно та сама.

And it's a symmetry we call 6-3-2.

І це симетрія, яку ми називаємо 6-3-2.

Here is another example in the Alhambra.

Ось ще один приклад в Альгамбрі.

This is a wall, a ceiling, and a floor.

Це стіна, стеля та підлога.

They all look very different. But this language allows us to say

Всі вони виглядають зовсім по-різному. Але ця мова дозволяє нам стверджувати,

that they are representations of the same symmetrical abstract object,

що вони являють собою представлення того ж самого симетричного абстрактного об'єкту,

which we call 4-4-2. Nothing to do with football,

який ми називаємо 4-4-2. Нічого спільного з футболом,

but because of the fact that there are two places where you can rotate

але через те, що є два місця, де можна обертати

by a quarter of a turn, and one by half a turn.

на чверть оберту, і одне - на півоберту.

Now, this power of the language is even more,

Але потужність цієї мови ще більша,

because Galois can say,

тому що Галуа може сказати,

"Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries

"Чи мавританські художники виявили всі можливі симетрії

on the walls in the Alhambra?"

на стінах Альгамбри?"

And it turns out they almost did.

І виявляється, що вони майже це зробили.

You can prove, using Galois' language,

Ви можете довести, використовуючи мову Галуа,

there are actually only 17

що насправді існують лише 17

different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra.

різних симетрій, які ви можете втілити на стінах Альгамбри.

And they, if you try to produce a different wall with this 18th one,

І вони, якщо ви спробуєте зробити інакщою 18-ту стіну,

it will have to have the same symmetries as one of these 17.

то вона змушена буде мати ті ж симетрії, що й одна з цих 17.

But these are things that we can see.

Але це речі, які ми можемо бачити.

And the power of Galois' mathematical language

А сила математичної мови Галуа,

is it also allows us to create

в тому, що вона також дозволяє створювати

symmetrical objects in the unseen world,

симетричні об'єкти в невидимому світі,

beyond the two-dimensional, three-dimensional,

поза двовимірним, тривимірним простором,

all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space.

далі у чотирьох-, чи п'яти-, чи нескінченновимірному просторі.

And that's where I work. I create

І ось, де я працюю. Я створюю

mathematical objects, symmetrical objects,

математичні об'єкти, симетричні об'єкти,

using Galois' language,

використовуючи мову Галуа,

in very high dimensional spaces.

в просторах дуже великої розмірності.

So I think it's a great example of things unseen,

Тому, гадаю, це чудовий приклад невидимих речей,

which the power of mathematical language allows you to create.

які дозволяє створювати сила математичної мови.

So, like Galois, I stayed up all last night

Так що, як і Галуа, я не спав минулої ночі,

creating a new mathematical symmetrical object for you,

створюючи новий математичний симетричний об'єкт для вас.

and I've got a picture of it here.

І я маю його зображення тут.

Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board

Ну, на жаль, це не зовсім зображення. Подайте мені

at the side here, great, excellent.

сюди мою дошку. Чудово. Дякую.

Here we are. Unfortunately, I can't show you

Ну ось. На жаль, я не можу показати вам

a picture of this symmetrical object.

зображення цього симетричного об'єкта.

But here is the language which describes

Але ось тут мова, яка описує

how the symmetries interact.

як симетрії взаємодіють.

Now, this new symmetrical object

Цей новий симетричний об'єкт

does not have a name yet.

ще не має назви.

Now, people like getting their names on things,

Та люди люблять давати речам імена,

on craters on the moon

кратерам на місяці,

or new species of animals.

або новим видам тварин.

So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object

Тому я збираюся дати вам шанс поставити ваше ім'я на новий симетричний об'єкт,

which hasn't been named before.

який ще не був названий раніше.

And this thing -- species die away,

І тільки поміркуйте - види вимирають,

and moons kind of get hit by meteors and explode --

в луни влучають метеорити і вони вибухають -

but this mathematical object will live forever.

але цей математичний об'єкт житиме вічно.

It will make you immortal.

Він зробить вас безсмертними.

In order to win this symmetrical object,

Для того щоб виграти цей симетричний об'єкт,

what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning.

що вам треба зробити, так це відповісти на запитання, яке я ставив перед вами на самому початку.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

Скільки симетрій має кубик Рубика?

Okay, I'm going to sort you out.

Гаразд, я збираюся упорядкувати вас.

Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are

Замість того, щоб ви всі кричали, я хочу, щоб ви порахували, скільки цифр має

in that number. Okay?

ваше число. Домовилися?

If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials.

Якщо ви отримали його в якості факторіалу, то маєте розкрити факторіал.

Okay, now if you want to play,

Гаразд, тепер, якщо ви хочете грати,

I want you to stand up, okay?

то встаньте, добре?

If you think you've got an estimate for how many digits,

Якщо ви вважаєте, що маєте оцінку кількості цифр,

right -- we've already got one competitor here.

чудово - в нас вже є один учасник тут -

If you all stay down he wins it automatically.

якщо ви всі сидітимете, то він виграє автоматично.

Okay. Excellent. So we've got four here, five, six.

Гаразд. Дуже добре. Тож он там у нас чотири, п'ять, шість.

Great. Excellent. That should get us going. All right.

Чудово. Дуже добре. Цього вистачить для початку. Гаразд.

Anybody with five or less digits, you've got to sit down,

Учасники з числом, що має не більше, ніж п'ять цифр, сідайте.

because you've underestimated.

Тому що ви недооцінили.

Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down.

П'ять чи менше цифр. Тобто, якщо ви в межах десятків тисяч, вам слід сісти.

60 digits or more, you've got to sit down.

Якщо у вас 60 або більше цифр, ви повинні сісти.

You've overestimated.

Ви переоцінили.

20 digits or less, sit down.

20 цифр або менше, сідайте.

How many digits are there in your number?

Скільки цифр у вашому числі?

Two? So you should have sat down earlier.

Дві? Вам слід було сісти раніше.

(Laughter)

(Сміх)

Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay?

Давайте розглянемо інших, які сіли на 20, підніміться знову. Гаразд?

If I told you 20 or less, stand up.

Якщо я сказав вам 20 або менше, встаньте.

Because this one. I think there were a few here.

Тому що. Я думаю, що тут було кілька.

The people who just last sat down.

Люди, які щойно сіли.

Okay, how many digits do you have in your number?

Гаразд, скільки цифр у вашому числі?

(Laughs)

(Сміється)

21. Okay good. How many do you have in yours?

21. Що ж, чудово. Скільки цифр у вашому?

18. So it goes to this lady here.

18. Отже приз переходить до цієї пані тут.

21 is the closest.

21 найближче.

It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube

Воно насправді - число симетрій в кубика Рубика

has 25 digits.

має 25 цифр.

So now I need to name this object.

Так що тепер я повинен назвати цей об'єкт.

So, what is your name?

Отже, як вас звати?

I need your surname. Symmetrical objects generally --

Мені потрібне ваше прізвище. Симетричні об'єкти в цілому -

spell it for me.

Прочитайте по буквах для мене.

G-H-E-Z

G-H-E-Z

No, SO2 has already been used, actually,

Ні SO2 вже було використане, власне,

in the mathematical language. So you can't have that one.

у математичній мові. Тому не можна так назвати.

So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object.

Отож, Ґез, вітаю. Це ваш новий симетричний об'єкт.

You are now immortal.

Тепер ви безсмертні.

(Applause)

(Оплески)

And if you'd like your own symmetrical object,

І якщо ви хочете свій власний симетричний об'єкт,

I have a project raising money for a charity in Guatemala,

то у мене є проект, збір коштів на благодійність у Ґватемалі,

where I will stay up all night and devise an object for you,

в якому я не сплю всю ніч і розробляю для вас об'єкт

for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala.

за пожертву на цю благодійність, щоб допомогти дітям отримати освіту, в Ґватемалі.

And I think what drives me, as a mathematician,

І я думаю, що заводить мене, як математика,

are those things which are not seen, the things that we haven't discovered.

це ті речі, які не видно, те, що ми не виявили.

It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject.

Це все питання, ще без відповіді, які роблять математику живим предметом.

And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness":

І я завжди буду повертатися до цієї цитати з японських "Нарисів з бездіяльності":

"In everything, uniformity is undesirable.

"У всьому одноманітність небажана.

Leaving something incomplete makes it interesting,

Якщо залишати щось незакінченим, це робить його цікавим,

and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you.

і дає відчуття, що є можливості для зростання." Дякую.

(Applause)

(Оплески)