Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

マーカス・デュ・ソートイ: 対称性の秘密

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2009-10-29 ・ TED


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Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

マーカス・デュ・ソートイ: 対称性の秘密

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翻訳: Ryoichi KATO 校正: Akiko Hicks
00:18
On the 30th of May, 1832,
0
18330
4000
1832年5月30日
00:22
a gunshot was heard
1
22330
2000
一発の銃声が
00:24
ringing out across the 13th arrondissement in Paris.
2
24330
3000
パリ13区に響きました
00:27
(Gunshot)
3
27330
1000
(銃声)
00:28
A peasant, who was walking to market that morning,
4
28330
3000
朝市に来ていた農民が
00:31
ran towards where the gunshot had come from,
5
31330
2000
銃声のした方へ行くと
00:33
and found a young man writhing in agony on the floor,
6
33330
4000
青年がもがき苦しんでいました
00:37
clearly shot by a dueling wound.
7
37330
3000
決闘で撃たれたのです
00:40
The young man's name was Evariste Galois.
8
40330
3000
撃たれた青年の名はエヴァリスト・ガロア
00:43
He was a well-known revolutionary in Paris at the time.
9
43330
4000
当時は良く知られたパリの革命家でした
00:47
Galois was taken to the local hospital
10
47330
3000
ガロアは地元の病院で
00:50
where he died the next day in the arms of his brother.
11
50330
3000
弟アルフレッドに看取られ亡くなりました
00:53
And the last words he said to his brother were,
12
53330
2000
弟へ残した最後の言葉はこうです
00:55
"Don't cry for me, Alfred.
13
55330
2000
「アルフレッド 泣かないでくれ
00:57
I need all the courage I can muster
14
57330
2000
20歳で死ぬには
00:59
to die at the age of 20."
15
59330
4000
相当の勇気がいるのだから」
01:03
It wasn't, in fact, revolutionary politics
16
63330
2000
現代 ガロアが有名なのは
01:05
for which Galois was famous.
17
65330
2000
革命活動ではありません
01:07
But a few years earlier, while still at school,
18
67330
3000
その数年前 まだ学生のときに
01:10
he'd actually cracked one of the big mathematical
19
70330
2000
彼は当時の数学の最大の謎のひとつを
01:12
problems at the time.
20
72330
2000
解明したのです
01:14
And he wrote to the academicians in Paris,
21
74330
2000
この理論を説明した論文を
01:16
trying to explain his theory.
22
76330
2000
パリ科学アカデミーに提出しましたが
01:18
But the academicians couldn't understand anything that he wrote.
23
78330
3000
アカデミーのメンバーは 書かれた内容が 理解できませんでした
01:21
(Laughter)
24
81330
1000
(笑)
01:22
This is how he wrote most of his mathematics.
25
82330
3000
これが彼が数学を記述する流儀でした
01:25
So, the night before that duel, he realized
26
85330
2000
決闘の前夜に
01:27
this possibly is his last chance
27
87330
3000
これが最後のチャンスだと思い
01:30
to try and explain his great breakthrough.
28
90330
2000
彼の偉大な業績を書き残そうとしました
01:32
So he stayed up the whole night, writing away,
29
92330
3000
一晩中起きて書き続け 彼のアイディアを
01:35
trying to explain his ideas.
30
95330
2000
残そうとしました
01:37
And as the dawn came up and he went to meet his destiny,
31
97330
3000
そして夜が明けて 彼は運命の時を迎えたのです
01:40
he left this pile of papers on the table for the next generation.
32
100330
4000
机の上には 紙の山が残されていました
01:44
Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics
33
104330
3000
もしかしたら 徹夜して数学をしていたのが
01:47
was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
34
107330
3000
決闘で負けてしまった理由かも知れません
01:50
But contained inside those documents
35
110330
2000
彼が書き残した書類には
01:52
was a new language, a language to understand
36
112330
3000
科学の根底にある概念を理解するための
01:55
one of the most fundamental concepts
37
115330
2000
新しい言語が記されていました
01:57
of science -- namely symmetry.
38
117330
3000
その概念とは 対称性です
02:00
Now, symmetry is almost nature's language.
39
120330
2000
対称性は 自然界の言語とも言えます
02:02
It helps us to understand so many
40
122330
2000
非常に多岐にわたる科学的なことを
02:04
different bits of the scientific world.
41
124330
2000
理解する助けとなります
02:06
For example, molecular structure.
42
126330
2000
たとえば分子構造では
02:08
What crystals are possible,
43
128330
2000
どんな結晶構造がありえるのか
02:10
we can understand through the mathematics of symmetry.
44
130330
4000
対称性の数学を通して理解できます
02:14
In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,
45
134330
2000
微生物学では 対称的な物体は
02:16
because they are generally rather nasty.
46
136330
2000
大抵やっかいなものです
02:18
The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.
47
138330
3000
豚インフルエンザのウイルスは
02:21
And it uses the efficiency of symmetry
48
141330
2000
対称性が効率的であることを利用して
02:23
to be able to propagate itself so well.
49
143330
4000
高い感染力をもっています
02:27
But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,
50
147330
3000
より大きなスケールの生物学では 遺伝子情報の伝達が
02:30
because it actually communicates genetic information.
51
150330
2000
対称性によって実現されています
02:32
I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.
52
152330
4000
二枚の写真と それを左右対称に 加工したものがあります
02:36
And if I ask you which of these you find more beautiful,
53
156330
3000
どちらが美しいと感じるでしょうか
02:39
you're probably drawn to the lower two.
54
159330
2000
おそらく 下の二枚でしょう
02:41
Because it is hard to make symmetry.
55
161330
3000
対称を作るのは困難なので
02:44
And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign
56
164330
2000
あなたの体が左右対称ならば
02:46
that you've got good genes, you've got a good upbringing
57
166330
3000
よい遺伝子を持ち 健康に育った
02:49
and therefore you'll make a good mate.
58
169330
2000
良い結婚相手だという証になります
02:51
So symmetry is a language which can help to communicate
59
171330
3000
つまり対称性は 遺伝情報の伝達に役立つ
02:54
genetic information.
60
174330
2000
言語なのです
02:56
Symmetry can also help us to explain
61
176330
2000
CERNの大型ハドロン衝突型加速器の中で
02:58
what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.
62
178330
3000
何が起きているのかを説明するにも役に立ちます
03:01
Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.
63
181330
3000
あるいは 何が起きていないのかを...
03:04
To be able to make predictions about the fundamental particles
64
184330
2000
見つかるかもしれない素粒子を
03:06
we might see there,
65
186330
2000
予測する助けにもなります
03:08
it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape
66
188330
4000
素粒子は全て 高次元空間にある対称形の
03:12
in a higher dimensional space.
67
192330
2000
色々な「断面」である可能性があります
03:14
And I think Galileo summed up, very nicely,
68
194330
2000
身の回りの科学的な世界を理解するのに
03:16
the power of mathematics
69
196330
2000
数学がどれほど強力なのか
03:18
to understand the scientific world around us.
70
198330
2000
ガリレオがうまく表現しています
03:20
He wrote, "The universe cannot be read
71
200330
2000
「宇宙という壮大な書物は
03:22
until we have learnt the language
72
202330
2000
それを記述している言葉を学び
03:24
and become familiar with the characters in which it is written.
73
204330
3000
その文字に親しまなければ解読できない
03:27
It is written in mathematical language,
74
207330
2000
それは数学という言葉で書かれていて
03:29
and the letters are triangles, circles and other geometric figures,
75
209330
4000
その文字は三角、円、その他の幾何学的図形であり
03:33
without which means it is humanly impossible
76
213330
2000
それらを知らなければ
03:35
to comprehend a single word."
77
215330
3000
一言も理解できない」
03:38
But it's not just scientists who are interested in symmetry.
78
218330
3000
しかし 対称性に興味を持つのは 科学者だけではありません
03:41
Artists too love to play around with symmetry.
79
221330
3000
芸術家も対称性を愛しています
03:44
They also have a slightly more ambiguous relationship with it.
80
224330
3000
彼らは すこし違った視点を持っています
03:47
Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."
81
227330
3000
小説「魔の山」の中でトーマス・マンは
03:50
He has a character describing the snowflake,
82
230330
3000
雪の結晶について登場人物にこう語らせています
03:53
and he says he "shuddered at its perfect precision,
83
233330
3000
「ぞっとするほどの完璧さで
03:56
found it deathly, the very marrow of death."
84
236330
3000
死の核心に思えた」
03:59
But what artists like to do is to set up expectations
85
239330
2000
しかし 芸術家は対称性を暗示して
04:01
of symmetry and then break them.
86
241330
2000
それをわざと壊したがるものです
04:03
And a beautiful example of this
87
243330
2000
日本を訪れたときに
04:05
I found, actually, when I visited a colleague of mine
88
245330
2000
研究仲間の黒川教授のところへ行ったとき
04:07
in Japan, Professor Kurokawa.
89
247330
2000
とても良い例に出会いました
04:09
And he took me up to the temples in Nikko.
90
249330
3000
彼は日光東照宮へ連れて行ってくれました
04:12
And just after this photo was taken we walked up the stairs.
91
252330
3000
これは階段を登ったすぐの場所で撮った写真で
04:15
And the gateway you see behind
92
255330
2000
背後に門が見えます
04:17
has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.
93
257330
3000
門には美しい対称形の柱が8本あります
04:20
Seven of them are exactly the same,
94
260330
2000
そのうち7本はまったく同じですが
04:22
and the eighth one is turned upside down.
95
262330
3000
一本だけが上下逆になっています
04:25
And I said to Professor Kurokawa,
96
265330
2000
「これをつくった建築家は
04:27
"Wow, the architects must have really been kicking themselves
97
267330
2000
こいつを間違えて逆さまにしたって気付いた時に
04:29
when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."
98
269330
3000
しまった! と思っただろうねぇ」と私が言うと
04:32
And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."
99
272330
3000
教授は「いやいや、これはわざとなんだよ」と答えました
04:35
And he referred me to this lovely quote from the Japanese
100
275330
2000
そして 日本の古典「徒然草」からの
04:37
"Essays in Idleness" from the 14th century,
101
277330
3000
素敵な一節を教えてくれたのです
04:40
in which the essayist wrote, "In everything,
102
280330
2000
「何でも全部が
04:42
uniformity is undesirable.
103
282330
3000
完全に整っているのはよくない
04:45
Leaving something incomplete makes it interesting,
104
285330
2000
やり残したことを そのままにしておくのが面白く
04:47
and gives one the feeling that there is room for growth."
105
287330
3000
先に楽しみを残すことにもなる」
04:50
Even when building the Imperial Palace,
106
290330
2000
皇居を建てるときにすら
04:52
they always leave one place unfinished.
107
292330
4000
常に一箇所 未完成の場所を残します
04:56
But if I had to choose one building in the world
108
296330
3000
でも私がもし建物をひとつ選んで
04:59
to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,
109
299330
3000
その中で一生を暮らすならば
05:02
being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.
110
302330
4000
「対称性中毒」の私なら アルハンブラ宮殿を選びます
05:06
This is a palace celebrating symmetry.
111
306330
2000
この宮殿は対称性の極致です
05:08
Recently I took my family --
112
308330
2000
私はよく家族と
05:10
we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.
113
310330
3000
数学オタク的な旅行をするのですが
05:13
This is my son Tamer. You can see
114
313330
2000
これは私の息子 タマーです
05:15
he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.
115
315330
3000
「数学的」な旅行を とても楽しんでいるようですね
05:18
But I wanted to try and enrich him.
116
318330
3000
しかし もっと息子に見せたいものがありました
05:21
I think one of the problems about school mathematics
117
321330
2000
学校の数学の授業では
05:23
is it doesn't look at how mathematics is embedded
118
323330
2000
現実の世界にどう数学が関わっているのか
05:25
in the world we live in.
119
325330
2000
教えてくれません
05:27
So, I wanted to open his eyes up to
120
327330
2000
ですから アルハンブラ宮殿の対称性を
05:29
how much symmetry is running through the Alhambra.
121
329330
3000
私は息子に見せたかったのです
05:32
You see it already. Immediately you go in,
122
332330
2000
宮殿に入ってすぐにわかるのは
05:34
the reflective symmetry in the water.
123
334330
2000
水に映し出された対称性です
05:36
But it's on the walls where all the exciting things are happening.
124
336330
3000
でも 特にすばらしいのは ここの壁です
05:39
The Moorish artists were denied the possibility
125
339330
2000
ムーア人の芸術家たちは 偶像を描くことを
05:41
to draw things with souls.
126
341330
2000
禁止されていました
05:43
So they explored a more geometric art.
127
343330
2000
ですから彼らは 幾何的な芸術を追求しました
05:45
And so what is symmetry?
128
345330
2000
では 対称性とは何でしょう?
05:47
The Alhambra somehow asks all of these questions.
129
347330
3000
アルハンブラに行くと 次々と質問が頭に浮かびます
05:50
What is symmetry? When [there] are two of these walls,
130
350330
2000
対称性とは何か? 2つの模様の対称性が
05:52
do they have the same symmetries?
131
352330
2000
同じだと言えるのは どんな時か?
05:54
Can we say whether they discovered
132
354330
2000
ムーア人は 可能な対称性の型を全て
05:56
all of the symmetries in the Alhambra?
133
356330
3000
アハンブラ宮殿に残したのでしょうか
05:59
And it was Galois who produced a language
134
359330
2000
ガロアは まさにこの疑問に答えるための
06:01
to be able to answer some of these questions.
135
361330
3000
言語を作り出したのです
06:04
For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,
136
364330
3000
トーマス・マンにとって対称とは
06:07
which was something still and deathly --
137
367330
2000
死であり 静止したものでしたが
06:09
for Galois, symmetry was all about motion.
138
369330
3000
ガロアにとって対称性は動きでした
06:12
What can you do to a symmetrical object,
139
372330
2000
対称的な図形を動かして
06:14
move it in some way, so it looks the same
140
374330
2000
元の状態と同じに見えるようにするには
06:16
as before you moved it?
141
376330
2000
何ができるでしょう
06:18
I like to describe it as the magic trick moves.
142
378330
2000
手品の動きに例えて説明しましょう
06:20
What can you do to something? You close your eyes.
143
380330
2000
みなさんが目を閉じている間に
06:22
I do something, put it back down again.
144
382330
2000
こっそりと動かして もとの場所に戻すと
06:24
It looks like it did before it started.
145
384330
2000
最初の状態と同じに見えるのは どんな動かし方でしょう?
06:26
So, for example, the walls in the Alhambra --
146
386330
2000
たとえばアルハンブラの壁のタイルなら
06:28
I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,
147
388330
4000
黄色の点の位置を軸にして
06:32
rotate them by 90 degrees,
148
392330
2000
90°回転すると
06:34
put them all back down again and they fit perfectly down there.
149
394330
3000
完全にもとの模様と一致します
06:37
And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.
150
397330
3000
閉じていた目を開けても 動かされたと気付きません
06:40
But it's the motion that really characterizes the symmetry
151
400330
3000
しかし この動きこそがアルハンブラ宮殿の対称性を
06:43
inside the Alhambra.
152
403330
2000
特徴付けるのです
06:45
But it's also about producing a language to describe this.
153
405330
2000
同時に対称性を記述する言語にも繋がります
06:47
And the power of mathematics is often
154
407330
3000
数学は あるものを別のものに変換することで
06:50
to change one thing into another, to change geometry into language.
155
410330
4000
力を発揮します ここでは「幾何学」を「言語」に変換します
06:54
So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --
156
414330
3000
ここから 数学的に少し踏み込んだお話をしましょう
06:57
so brace yourselves --
157
417330
2000
心の準備はいいですか?
06:59
push you a little bit to understand how this language works,
158
419330
3000
少し踏み込んで この言語がどうやって
07:02
which enables us to capture what is symmetry.
159
422330
2000
対称とは何かを捉えるか説明しましょう
07:04
So, let's take these two symmetrical objects here.
160
424330
3000
ふたつの対称的な図形があるとしましょう
07:07
Let's take the twisted six-pointed starfish.
161
427330
2000
少しねじれた ヒトデ型の図形です
07:09
What can I do to the starfish which makes it look the same?
162
429330
3000
どう動かすと 元と同じに見えるでしょうか
07:12
Well, there I rotated it by a sixth of a turn,
163
432330
3000
そう 1/6回転させれば
07:15
and still it looks like it did before I started.
164
435330
2000
元と同じように見えます
07:17
I could rotate it by a third of a turn,
165
437330
3000
1/3回転でもいいですし
07:20
or a half a turn,
166
440330
2000
半回転でも
07:22
or put it back down on its image, or two thirds of a turn.
167
442330
3000
もしくは2/3回転でもいいですし
07:25
And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.
168
445330
4000
5番目の対称性として 5/6回転でも良いでしょう
07:29
And those are things that I can do to the symmetrical object
169
449330
3000
対称図形を動かして元と同じに見えるようにするために
07:32
that make it look like it did before I started.
170
452330
3000
このような操作をすることができます
07:35
Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.
171
455330
3000
実はガロアにとって 6番目の対称性がありました
07:38
Can anybody think what else I could do to this
172
458330
2000
図形が元と同じに見えるようになる
07:40
which would leave it like I did before I started?
173
460330
3000
操作方法は他にあるでしょうか?
07:43
I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?
174
463330
3000
突起が少しひねれているので 裏返しにはできません
07:46
It's got no reflective symmetry.
175
466330
2000
反射(鏡映)対称性はないのです
07:48
But what I could do is just leave it where it is,
176
468330
3000
でも 動かさないでおくことはできます
07:51
pick it up, and put it down again.
177
471330
2000
持ち上げて そのまま戻す
07:53
And for Galois this was like the zeroth symmetry.
178
473330
3000
ガロアにとっては これがゼロ番目の対称性でした
07:56
Actually, the invention of the number zero
179
476330
3000
実際 ゼロという概念の発明はつい最近で
07:59
was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.
180
479330
3000
紀元前7世紀のインド人によるものです
08:02
It seems mad to talk about nothing.
181
482330
3000
「何もない」ということを数えるのも変ですが
08:05
And this is the same idea. This is a symmetrical --
182
485330
2000
このゼロ番目の対称性も 同じアイデアなのです
08:07
so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
183
487330
2000
どんなものにも「そのまま動かさない」 という対称性があります
08:09
So, this object has six symmetries.
184
489330
3000
この図形の場合は6種類の対称性があります
08:12
And what about the triangle?
185
492330
2000
三角形の場合はどうでしょう
08:14
Well, I can rotate by a third of a turn clockwise
186
494330
4000
時計周りに1/3回転させるか
08:18
or a third of a turn anticlockwise.
187
498330
2000
反時計周りに1/3回転させられます
08:20
But now this has some reflectional symmetry.
188
500330
2000
今度は反射(鏡映)対称なので
08:22
I can reflect it in the line through X,
189
502330
2000
Xを通る線を軸に反転させるか
08:24
or the line through Y,
190
504330
2000
Yを通る線か
08:26
or the line through Z.
191
506330
2000
Zを通る線でも
08:28
Five symmetries and then of course the zeroth symmetry
192
508330
3000
5種類の対称性と それに加えて 「そのまま」の
08:31
where I just pick it up and leave it where it is.
193
511330
3000
ゼロ番目の対称性があります
08:34
So both of these objects have six symmetries.
194
514330
3000
2つの図形は両方とも6つの対称性があります
08:37
Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,
195
517330
3000
数学はスポーツ観戦とは違って
08:40
and you have to do some mathematics
196
520330
2000
理解するためには
08:42
in order to really understand it.
197
522330
2000
実際に計算をするべきです
08:44
So here is a little question for you.
198
524330
2000
そこで簡単な質問をしましょう
08:46
And I'm going to give a prize at the end of my talk
199
526330
2000
そして この講演の最後に
08:48
for the person who gets closest to the answer.
200
528330
2000
正解に一番近かった人には 賞をあげます
08:50
The Rubik's Cube.
201
530330
2000
ルービックキューブです
08:52
How many symmetries does a Rubik's Cube have?
202
532330
3000
ルービックキューブには 対称性はいくつあるでしょう?
08:55
How many things can I do to this object
203
535330
2000
この様に動かして
08:57
and put it down so it still looks like a cube?
204
537330
2000
キューブの形を保つ操作はいくつあるでしょう
08:59
Okay? So I want you to think about that problem as we go on,
205
539330
3000
いいですか? これからしばらくの間
09:02
and count how many symmetries there are.
206
542330
2000
いくつ対称性があるか 考えてみてください
09:04
And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
207
544330
4000
そして 正解に最も近かった人に賞を差し上げます
09:08
But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.
208
548330
4000
それではまた 先程の2つの図形の話に戻りましょう
09:12
What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,
209
552330
3000
物体の対称性を特徴付けるのは
09:15
but how they interact with each other
210
555330
2000
物体の持つ ひとつひとつの対称型ではなく
09:17
which really characterizes the symmetry of an object.
211
557330
4000
それらの関連性だと ガロアは気付きました
09:21
If I do one magic trick move followed by another,
212
561330
3000
もし複数の種類の操作を続けて行えば
09:24
the combination is a third magic trick move.
213
564330
2000
この組み合わせは別の操作に相当します
09:26
And here we see Galois starting to develop
214
566330
2000
これこそが ガロアが作り出した
09:28
a language to see the substance
215
568330
3000
この物体の対称性にひそむ
09:31
of the things unseen, the sort of abstract idea
216
571330
2000
抽象的なアイデアを理解するための
09:33
of the symmetry underlying this physical object.
217
573330
3000
言語だったのです
09:36
For example, what if I turn the starfish
218
576330
3000
例えば ヒトデ型を まず1/6回転させ
09:39
by a sixth of a turn,
219
579330
2000
次に1/3回転したら
09:41
and then a third of a turn?
220
581330
2000
どうなるでしょう?
09:43
So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,
221
583330
3000
説明のために 回転操作に名前を付ましょう
09:46
are the names for the rotations.
222
586330
2000
A, B, C, D, E, Fです
09:48
B, for example, rotates the little yellow dot
223
588330
3000
例えば B は 黄色の点が
09:51
to the B on the starfish. And so on.
224
591330
3000
図形のbの点に合うよう回転させます
09:54
So what if I do B, which is a sixth of a turn,
225
594330
2000
B つまり1/6回転の次に
09:56
followed by C, which is a third of a turn?
226
596330
3000
C つまり1/3回転したら どうなりますか?
09:59
Well let's do that. A sixth of a turn,
227
599330
2000
やってみましょう まず 1/6回転
10:01
followed by a third of a turn,
228
601330
2000
続けて1/3回転
10:03
the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.
229
603330
5000
これらを足し合わせると 半回転になります
10:08
So the little table here records
230
608330
2000
この表に記録されるのは
10:10
how the algebra of these symmetries work.
231
610330
3000
これらの対称性の計算の結果です
10:13
I do one followed by another, the answer is
232
613330
2000
1つ目の操作をして 続けて2番目の操作をすると
10:15
it's rotation D, half a turn.
233
615330
2000
結果はDの回転 つまり1/2回転です
10:17
What I if I did it in the other order? Would it make any difference?
234
617330
3000
ではもし この順番を変えたら違いはあるでしょうか
10:20
Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.
235
620330
4000
まず1/3回転させて 次に1/6回転させます
10:24
Of course, it doesn't make any difference.
236
624330
2000
当然 同じ結果になります
10:26
It still ends up at half a turn.
237
626330
2000
つまり1/2回転します
10:28
And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.
238
628330
5000
この操作の組み合わせにも対称性が見られます
10:33
But this is completely different to the symmetries of the triangle.
239
633330
3000
三角形の場合は まったく違います
10:36
Let's see what happens if we do two symmetries
240
636330
2000
二種類の対称的操作を続けて行うと
10:38
with the triangle, one after the other.
241
638330
2000
三角形がどうなるか見てみましょう
10:40
Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise,
242
640330
3000
反時計回りに1/3回転してから
10:43
and reflect in the line through X.
243
643330
2000
Xを通る線で鏡像反転させます
10:45
Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z
244
645330
4000
組み合わせた結果はZを通る軸で 鏡像反転させた場合と
10:49
to start with.
245
649330
2000
同じです
10:51
Now, let's do it in a different order.
246
651330
2000
今度は違う順番にしてみましょう
10:53
Let's do the reflection in X first,
247
653330
2000
X軸での反転を先に行って
10:55
followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise.
248
655330
4000
それから反時計回りに1/3回転させます
10:59
The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different.
249
659330
3000
結果は まったく違ったものになります
11:02
It's as if it was reflected in the line through Y.
250
662330
3000
これはYを通る線で反転させたのと同じです
11:05
Now it matters what order you do the operations in.
251
665330
3000
この場合は 順番が問題になるのです
11:08
And this enables us to distinguish
252
668330
2000
この2つの図形は両方とも
11:10
why the symmetries of these objects --
253
670330
2000
6つの対称性を持っていましたが
11:12
they both have six symmetries. So why shouldn't we say
254
672330
2000
同じ対称性を持っていると 言えるのでしょうか?
11:14
they have the same symmetries?
255
674330
2000
同じ対称性を持っていると 言えるのでしょうか?
11:16
But the way the symmetries interact
256
676330
2000
対称性の相互関係を知ることで
11:18
enable us -- we've now got a language
257
678330
2000
実は根本的に違う対称性だということが
11:20
to distinguish why these symmetries are fundamentally different.
258
680330
3000
言えるようになったのです
11:23
And you can try this when you go down to the pub, later on.
259
683330
3000
ビールのコースターを使って簡単に自分でも試せます
11:26
Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn,
260
686330
3000
コースターを90°回転させて反転させます
11:29
then flip it. And then do it in the other order,
261
689330
2000
それから今度は逆の順序で同じことをすると
11:31
and the picture will be facing in the opposite direction.
262
691330
4000
絵柄が最初と上下逆になります
11:35
Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact.
263
695330
4000
ガロアはこの表のような対称性の相互関係について 法則を生み出しました
11:39
It's almost like little Sudoku tables.
264
699330
2000
それはまるで数独の枡目のように
11:41
You don't see any symmetry twice
265
701330
2000
同じ対称操作は縦・横の各列に
11:43
in any row or column.
266
703330
2000
ひとつしか現れません
11:45
And, using those rules, he was able to say
267
705330
4000
そして この法則を使うことで
11:49
that there are in fact only two objects
268
709330
2000
実は6つ対称性を持つ図形は
11:51
with six symmetries.
269
711330
2000
2種類だけだと結論付けたのです
11:53
And they'll be the same as the symmetries of the triangle,
270
713330
3000
例の三角形と同等の対称性を持つものか
11:56
or the symmetries of the six-pointed starfish.
271
716330
2000
あのヒトデと同等の対称性を持つものです
11:58
I think this is an amazing development.
272
718330
2000
実に素晴しい成果です
12:00
It's almost like the concept of number being developed for symmetry.
273
720330
4000
対称性を「数」の様に考える 概念の発明だと言えます
12:04
In the front here, I've got one, two, three people
274
724330
2000
この会場の前の列に 1、2、3人の人が
12:06
sitting on one, two, three chairs.
275
726330
2000
1、2、3つの椅子に座っています
12:08
The people and the chairs are very different,
276
728330
3000
椅子と人間とは全く違いますが
12:11
but the number, the abstract idea of the number, is the same.
277
731330
3000
その数 つまり数という抽象的な概念では同一です
12:14
And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra.
278
734330
3000
アルハンブラの壁のタイル模様でも同じ事がわかります
12:17
Here are two very different walls,
279
737330
2000
ここにあるのは二つの壁の
12:19
very different geometric pictures.
280
739330
2000
まったく違う模様です
12:21
But, using the language of Galois,
281
741330
2000
しかしガロアの言語を使うと
12:23
we can understand that the underlying abstract symmetries of these things
282
743330
3000
これらの根底にある抽象的な対称性は
12:26
are actually the same.
283
746330
2000
同じだと分かります
12:28
For example, let's take this beautiful wall
284
748330
2000
たとえば この少しねじれた三角形の
12:30
with the triangles with a little twist on them.
285
750330
3000
模様をご覧ください
12:33
You can rotate them by a sixth of a turn
286
753330
2000
色を無視することにすると
12:35
if you ignore the colors. We're not matching up the colors.
287
755330
2000
1/6回転させることができます
12:37
But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn
288
757330
3000
1/6回転させると 色は揃いませんが
12:40
around the point where all the triangles meet.
289
760330
3000
この中央の点を軸に すべての三角形が重なります
12:43
What about the center of a triangle? I can rotate
290
763330
2000
三角形の中心を軸にしたらどうでしょう
12:45
by a third of a turn around the center of the triangle,
291
765330
2000
1/3回転させれば
12:47
and everything matches up.
292
767330
2000
元の図形に重なります
12:49
And then there is an interesting place halfway along an edge,
293
769330
2000
それから 辺の中間にも興味深い場所があります
12:51
where I can rotate by 180 degrees.
294
771330
2000
180°回転させると
12:53
And all the tiles match up again.
295
773330
3000
タイルが重なります
12:56
So rotate along halfway along the edge, and they all match up.
296
776330
3000
つまり辺の中点で回転させても元の図形に重なるのです
12:59
Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra.
297
779330
4000
今度は まったく違う模様の壁を見てみましょう
13:03
And we find the same symmetries here, and the same interaction.
298
783330
3000
同じ対称性と 同じ相関関係を見付けられます
13:06
So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet.
299
786330
5000
1/6回転でも 1/3でもZ字型の部分が重なります
13:11
And the half a turn is halfway between the six pointed stars.
300
791330
4000
六芒星の中央で半回転させることもできます
13:15
And although these walls look very different,
301
795330
2000
これらの壁の模様はまったく違って見えますが
13:17
Galois has produced a language to say
302
797330
3000
ガロアの発明した言語を使えば
13:20
that in fact the symmetries underlying these are exactly the same.
303
800330
3000
根底にある対称性は 完全に同一だと言えるのです
13:23
And it's a symmetry we call 6-3-2.
304
803330
3000
この例は6-3-2の対称性と呼ばれています
13:26
Here is another example in the Alhambra.
305
806330
2000
これは アルハンブラ宮殿のまた別の図形です
13:28
This is a wall, a ceiling, and a floor.
306
808330
3000
壁、天井、そして床の模様です
13:31
They all look very different. But this language allows us to say
307
811330
3000
まったく違うように見えますが ガロアの言語によれば
13:34
that they are representations of the same symmetrical abstract object,
308
814330
4000
対象性では同等な抽象的モチーフの 異なる表現型なのです
13:38
which we call 4-4-2. Nothing to do with football,
309
818330
2000
この型は 1/4回転できる位置が二カ所
13:40
but because of the fact that there are two places where you can rotate
310
820330
3000
そして半回転できる位置が一カ所あるので
13:43
by a quarter of a turn, and one by half a turn.
311
823330
4000
4-4-2 と呼ばれています
13:47
Now, this power of the language is even more,
312
827330
2000
このガロアの言語は 更に強力です
13:49
because Galois can say,
313
829330
2000
「ムーア人の芸術家は
13:51
"Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries
314
831330
3000
あり得る全ての対称性を見付けだしたのか?」
13:54
on the walls in the Alhambra?"
315
834330
2000
という質問をしたり その質問に
13:56
And it turns out they almost did.
316
836330
2000
「ほぼ全て見付けた」と答えられるのです
13:58
You can prove, using Galois' language,
317
838330
2000
ガロアの言語を使うことで
14:00
there are actually only 17
318
840330
2000
アルハンブラ宮殿の壁では
14:02
different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra.
319
842330
4000
全部で17の異なる対称性が存在可能であり
14:06
And they, if you try to produce a different wall with this 18th one,
320
846330
3000
もしも18番目の模様を考え出したとしても
14:09
it will have to have the same symmetries as one of these 17.
321
849330
5000
それは必ず 先程の17の模様のどれかと
14:14
But these are things that we can see.
322
854330
2000
同じ対称性になってしまう と分かるのです
14:16
And the power of Galois' mathematical language
323
856330
2000
さらにこのガロアの言語を使うと
14:18
is it also allows us to create
324
858330
2000
見たこともない世界の
14:20
symmetrical objects in the unseen world,
325
860330
3000
対称的な図形を作り出すこともできます
14:23
beyond the two-dimensional, three-dimensional,
326
863330
2000
二次元、三次元を越えて
14:25
all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space.
327
865330
3000
四次元、五次元、そして無限の次元空間までも
14:28
And that's where I work. I create
328
868330
2000
それが私の研究対象です
14:30
mathematical objects, symmetrical objects,
329
870330
2000
高次元空間に 数学的な物体 対称的な物体を
14:32
using Galois' language,
330
872330
2000
ガロアの言語を使って
14:34
in very high dimensional spaces.
331
874330
2000
作り出しているのです
14:36
So I think it's a great example of things unseen,
332
876330
2000
見えないものを作り出せる
14:38
which the power of mathematical language allows you to create.
333
878330
4000
それが数学の力のすばらしい例だと思います
14:42
So, like Galois, I stayed up all last night
334
882330
2000
そこで私も ガロアのように昨晩徹夜して
14:44
creating a new mathematical symmetrical object for you,
335
884330
4000
皆さんのために新しい数学的な 対称的物体を作ってみました
14:48
and I've got a picture of it here.
336
888330
2000
これがその図です
14:50
Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board
337
890330
3000
そう 図とは言えませんね
14:53
at the side here, great, excellent.
338
893330
2000
そのボードを持ってきてくれる?
14:55
Here we are. Unfortunately, I can't show you
339
895330
2000
残念ながら この対称的物体の図を
14:57
a picture of this symmetrical object.
340
897330
2000
お見せすることは不可能です
14:59
But here is the language which describes
341
899330
3000
しかし ここにある言語で どんな対称的性質があるか
15:02
how the symmetries interact.
342
902330
2000
記述してあります
15:04
Now, this new symmetrical object
343
904330
2000
さて この新しい対称的物体には
15:06
does not have a name yet.
344
906330
2000
まだ名前がついていません
15:08
Now, people like getting their names on things,
345
908330
2000
月のクレータや 動物の新種に
15:10
on craters on the moon
346
910330
2000
自分の名前をつけるのが好きな
15:12
or new species of animals.
347
912330
2000
人々がいますよね
15:14
So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object
348
914330
4000
ですから みなさんの名前を 新しい対称的物体につける
15:18
which hasn't been named before.
349
918330
2000
チャンスをさし上げましょう
15:20
And this thing -- species die away,
350
920330
2000
生物の種は絶滅しますし
15:22
and moons kind of get hit by meteors and explode --
351
922330
3000
クレータは別の隕石の衝突で消滅しますが
15:25
but this mathematical object will live forever.
352
925330
2000
この数学的な物体は永遠のものです
15:27
It will make you immortal.
353
927330
2000
あなたを永遠不滅にする力を持っています
15:29
In order to win this symmetrical object,
354
929330
3000
この対称的物体を勝ち取るために
15:32
what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning.
355
932330
3000
みなさんには 私が冒頭でお聞きした 質問に答えていただきたい
15:35
How many symmetries does a Rubik's Cube have?
356
935330
4000
ルービックキューブには対称性がいくつあるでしょうか?
15:39
Okay, I'm going to sort you out.
357
939330
2000
ためしてみましょう
15:41
Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are
358
941330
3000
みなさんにそれぞれ答えてもらう代わりに
15:44
in that number. Okay?
359
944330
2000
思った数が何桁か数えてください
15:46
If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials.
360
946330
3000
もし答えを数の階乗で考えているなら 展開しておいてください
15:49
Okay, now if you want to play,
361
949330
2000
では このゲームに参加したい方は
15:51
I want you to stand up, okay?
362
951330
2000
桁の数の見当がついたら
15:53
If you think you've got an estimate for how many digits,
363
953330
2000
立ち上がっていただけますか?
15:55
right -- we've already got one competitor here.
364
955330
3000
一人目の参加者がこちらにいます
15:58
If you all stay down he wins it automatically.
365
958330
2000
他に誰もいなければ 彼が勝者になりますよ
16:00
Okay. Excellent. So we've got four here, five, six.
366
960330
3000
よし 4人目...5、6人参加です
16:03
Great. Excellent. That should get us going. All right.
367
963330
5000
すばらしい そろそろ始められますね
16:08
Anybody with five or less digits, you've got to sit down,
368
968330
3000
5桁よりも小さな数を考えた方は座ってください
16:11
because you've underestimated.
369
971330
2000
見積もりが少なすぎです
16:13
Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down.
370
973330
4000
5桁以下_つまり 10000以下の方は座ってください
16:17
60 digits or more, you've got to sit down.
371
977330
3000
60桁よりも大きい方も座ってください
16:20
You've overestimated.
372
980330
2000
大きすぎです
16:22
20 digits or less, sit down.
373
982330
4000
20桁より下のみなさんもハズレです
16:26
How many digits are there in your number?
374
986330
5000
あなたの考えた数字は何桁?
16:31
Two? So you should have sat down earlier.
375
991330
2000
2桁? では もっと前に座らないと
16:33
(Laughter)
376
993330
1000
(笑)
16:34
Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay?
377
994330
4000
他のみなさんも確認しましょう 20桁と言った時に座ったみなさん立ってください
16:38
If I told you 20 or less, stand up.
378
998330
2000
いま座った方は立ってください
16:40
Because this one. I think there were a few here.
379
1000330
2000
こっちにも何人かいましたよね?
16:42
The people who just last sat down.
380
1002330
3000
いま座ったみなさんですよ
16:45
Okay, how many digits do you have in your number?
381
1005330
5000
ではあなたが考えた数字は何桁ですか?
16:50
(Laughs)
382
1010330
3000
(笑)
16:53
21. Okay good. How many do you have in yours?
383
1013330
2000
21ですね いいでしょう あなたは?
16:55
18. So it goes to this lady here.
384
1015330
3000
18_そうすると こちらのご婦人の答え
16:58
21 is the closest.
385
1018330
2000
21桁が一番近い数字です
17:00
It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube
386
1020330
2000
実際の答え ルービックキューブの対称性の数は
17:02
has 25 digits.
387
1022330
2000
25桁です
17:04
So now I need to name this object.
388
1024330
2000
それでは この物体に命名しましょう
17:06
So, what is your name?
389
1026330
2000
あなたのお名前は?
17:08
I need your surname. Symmetrical objects generally --
390
1028330
3000
苗字を教えてもらえますか? 通常このような命名では...
17:11
spell it for me.
391
1031330
2000
綴りは?
17:13
G-H-E-Z
392
1033330
7000
G-H-E-Z
17:20
No, SO2 has already been used, actually,
393
1040330
2000
残念 SO2は既に別の数学的言語で使われてるので
17:22
in the mathematical language. So you can't have that one.
394
1042330
2000
その名前を使うことはできません
17:24
So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object.
395
1044330
2000
さあGhezさん あなたの新しい対称的物体をどうぞ
17:26
You are now immortal.
396
1046330
2000
これで あなたは永遠不滅になりました
17:28
(Applause)
397
1048330
6000
(拍手)
17:34
And if you'd like your own symmetrical object,
398
1054330
2000
もしみなさんも対称的物体を欲しければ
17:36
I have a project raising money for a charity in Guatemala,
399
1056330
3000
グァテマラへの 教育援助プロジェクトをやっていますので
17:39
where I will stay up all night and devise an object for you,
400
1059330
3000
グァテマラの子供たちへの募金をしていただければ
17:42
for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala.
401
1062330
4000
私が徹夜して 新しい対称的物体を作ってさし上げましょう
17:46
And I think what drives me, as a mathematician,
402
1066330
3000
数学者としての私を駆り立てるのは
17:49
are those things which are not seen, the things that we haven't discovered.
403
1069330
4000
このような見たこともない まだ発見されてないものです
17:53
It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject.
404
1073330
4000
答えが見つかっていない疑問が数学を 生き生きとした学問にするのです
17:57
And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness":
405
1077330
3000
そしていつも「徒然草」の一節を思い出します
18:00
"In everything, uniformity is undesirable.
406
1080330
3000
「何でも全部が完全に整っているのはよくない
18:03
Leaving something incomplete makes it interesting,
407
1083330
3000
やり残したことを そのままにしておくのが面白く
18:06
and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you.
408
1086330
3000
先に楽しみを残すことにもなる」 以上 ありがとうございました
18:09
(Applause)
409
1089330
7000
(拍手)
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