Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

מתרגם: erez garty מבקר: Shlomo Adam

On the 30th of May, 1832,

ב-30 למאי 1832

a gunshot was heard

נשמעה ירייה

ringing out across the 13th arrondissement in Paris.

שהדהדה ברובע ה-13 בפריז

(Gunshot)

(ירייה)

A peasant, who was walking to market that morning,

איכר שהיה בדרכו לשוק באותו הבוקר

ran towards where the gunshot had come from,

רץ לכיוון המקום ממנו נשמעה הירייה

and found a young man writhing in agony on the floor,

ומצא אדם צעיר מתפתל בכאבים על הרצפה

clearly shot by a dueling wound.

היה ברור שהוא נורה במסגרת דו קרב

The young man's name was Evariste Galois.

שמו של האדם הצעיר היה אווריסט גלואה

He was a well-known revolutionary in Paris at the time.

הוא היה מהפכן ידוע בפריז של אותה התקופה

Galois was taken to the local hospital

גלואה נלקח לבית החולים הקרוב

where he died the next day in the arms of his brother.

שם הוא נפטר למחרת בזרועות אחיו

And the last words he said to his brother were,

ומילותיו האחרונות לאחיו היו

"Don't cry for me, Alfred.

"אל תבכה עלי אלפרד

I need all the courage I can muster

אני צריך את כל האומץ שאני יכול לאזור

to die at the age of 20."

בשביל למות בגיל 20"

It wasn't, in fact, revolutionary politics

למעשה, לא הפוליטיקה המהפכנית היא שפירסמה את גלואה

for which Galois was famous.

אשר גלואה היה מפורסם בה

But a few years earlier, while still at school,

אלא כמה שנים קודם לכן כשעוד היה בבית הספר

he'd actually cracked one of the big mathematical

כשהצליח לפצח את אחת החידות

problems at the time.

המתמטיות הגדולות באותה התקופה

And he wrote to the academicians in Paris,

והוא כתב לאקדמאים בפריז

trying to explain his theory.

וניסה להסביר את התאוריה שלו

But the academicians couldn't understand anything that he wrote.

אך האקדמאים לא הבינו דבר ממה שכתב

(Laughter)

(צחוק)

This is how he wrote most of his mathematics.

כך הוא כתב את רוב המתמטיקה שלו

So, the night before that duel, he realized

לילה לפני הדו קרב, הוא הבין

this possibly is his last chance

שיתכן וזו אולי הזדמנותו האחרונה

to try and explain his great breakthrough.

להסביר את פריצת הדרך הגדולה שלו

So he stayed up the whole night, writing away,

לכן הוא נשאר ער כל אותו הלילה וכתב

trying to explain his ideas.

בנסיון להסביר את רעיונותיו

And as the dawn came up and he went to meet his destiny,

וכשהשחר עלה והוא יצא לפגוש את גורלו

he left this pile of papers on the table for the next generation.

הוא השאיר ערימת ניירות על שולחנו למען הדורות הבאים

Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics

אולי העובדה שהוא נשאר ער כל הלילה ועסק במתמטיקה

was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

היתה הסיבה שבגללה היה צלף גרוע באותו הבוקר ונהרג

But contained inside those documents

אך במסמכים הללו היתה טמונה

was a new language, a language to understand

שפה חדשה, שפה להבנת

one of the most fundamental concepts

אחד מהעקרונות הבסיסיים ביותר

of science -- namely symmetry.

של המדע - הסימטריה

Now, symmetry is almost nature's language.

סימטריה היא כמעט השפה של הטבע

It helps us to understand so many

היא עוזרת לנו להבין כל כך הרבה

different bits of the scientific world.

חלקים שונים של עולם המדע

For example, molecular structure.

למשל, המבנה המולקולרי.

What crystals are possible,

מהם הגבישים האפשריים

we can understand through the mathematics of symmetry.

אנו יכולים להבין דרך המתמטיקה של הסימטריה

In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,

במיקרוביולוגיה, לא רוצים למצוא אובייקטים סימטריים

because they are generally rather nasty.

משום שהם בדרך כלל די זדוניים

The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.

הוירוס הנוכחי של שפעת החזירים, הוא אובייקט סימטרי

And it uses the efficiency of symmetry

והוא מנצל את יעילותה של הסימטריה

to be able to propagate itself so well.

כדי להתרבות בצורה כה מוצלחת.

But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,

אך גם בקנה מידה ביולוגי גדול יותר, הסימטריה מאוד חשובה

because it actually communicates genetic information.

כי היא מעבירה מידע גנטי

I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.

לקחתי כאן שתי תמונות, והפכתי אותן לסימטריות באופן מלאכותי

And if I ask you which of these you find more beautiful,

ואם אשאל אתכם איזו יפה יותר בעינכם,

you're probably drawn to the lower two.

בוודאי תמשכו לשתיים התחתונות

Because it is hard to make symmetry.

משום שקשה ליצור סימטריה.

And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign

ואם תוכלו להפוך את עצמכם לסימטריים, אתם שולחים מסר

that you've got good genes, you've got a good upbringing

שיש לכם גנים טובים, שהיה לכם חינוך טוב

and therefore you'll make a good mate.

ולכן אתם מהווים זיווג טוב

So symmetry is a language which can help to communicate

כך שהסימטריה היא שפה שיכולה לסייע לנו להעביר

genetic information.

מידע גנטי.

Symmetry can also help us to explain

הסימטריה גם יכולה לעזור לנו להסביר

what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.

מה קורה במאיץ החלקיקים האירופי CERN

Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.

או מה לא קורה שם...

To be able to make predictions about the fundamental particles

כדי לאפשר חיזוי אילו חלקיקי יסוד

we might see there,

נוכל לראות שם,

it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape

נראה שהם כולם פאות של צורה סימטרית משונה

in a higher dimensional space.

שקיימת במימד גבוה יותר

And I think Galileo summed up, very nicely,

ואני חושב שגלילאו סיכם יפה מאוד

the power of mathematics

את יכולתה של המתמטיקה,

to understand the scientific world around us.

להבין את העולם המדעי סביבנו

He wrote, "The universe cannot be read

הוא כתב: "לא נוכל לקרוא את היקום

until we have learnt the language

אם לא נלמד את השפה

and become familiar with the characters in which it is written.

ונכיר את האותיות בהן הוא כתוב.

It is written in mathematical language,

הוא כתוב בשפת המתמטיקה.

and the letters are triangles, circles and other geometric figures,

והאותיות הן משולשים, עיגולים וצורות גיאומטריות אחרות

without which means it is humanly impossible

שבלעדיהן לא יוכל האדם

to comprehend a single word."

להבין ולו מילה בודדת."

But it's not just scientists who are interested in symmetry.

אבל לא רק המדענים מתעניינים בסימטריה

Artists too love to play around with symmetry.

גם האמנים אוהבים להשתעשע עם הסימטריה

They also have a slightly more ambiguous relationship with it.

יש להם גם יחסים יותר שנויים במחלוקת איתה.

Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."

הנה תומס מאן מדבר על סימטריה ב"הר הקסם"

He has a character describing the snowflake,

יש לו תו המתאר פתית שלג

and he says he "shuddered at its perfect precision,

שהוא "נחרד לנוכח דיוקו המושלם

found it deathly, the very marrow of death."

ראה בו את המוות, את עצם מהות המוות."

But what artists like to do is to set up expectations

אך מה שהאמנים אוהבים לעשות הוא ליצור ציפיות

of symmetry and then break them.

לסימטריה ואז לסכל אותן

And a beautiful example of this

ודוגמא יפה לכך

I found, actually, when I visited a colleague of mine

מצאתי, למעשה, כשביקרתי עמית שלי

in Japan, Professor Kurokawa.

ביפן, פרופסור קורוקווה

And he took me up to the temples in Nikko.

הוא לקח אותי למקדשים בניקו.

And just after this photo was taken we walked up the stairs.

ומיד לאחר שהתמונה הזו צולמה, עלינו במדרגות.

And the gateway you see behind

ולשער שאתם רואים מאחור

has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.

יש שמונה עמודים, עם דוגמאות סימטריות יפיפיות

Seven of them are exactly the same,

שבע מתוכן זהות לחלוטין,

and the eighth one is turned upside down.

והשמינית הפוכה

And I said to Professor Kurokawa,

ואז אמרתי לפרופסור קורוקווה

"Wow, the architects must have really been kicking themselves

"וואו, בטח האדריכלים בעטו בעצמם

when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."

כשהם ראו שהם שמו את זה הפוך"

And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."

ואז הוא אמר "לא, לא, לא זה היה מעשה מכוון"

And he referred me to this lovely quote from the Japanese

והוא הפנה אותי לציטוט הנחמד הזה

"Essays in Idleness" from the 14th century,

מ"חיבורים על אי עשייה" היפני מהמאה ה-14

in which the essayist wrote, "In everything,

שם המחבר כתב "בכל דבר ודבר

uniformity is undesirable.

אין האחידות רצויה.

Leaving something incomplete makes it interesting,

השארת דבר לא גמור הופכת אותו למעניין,

and gives one the feeling that there is room for growth."

ונותנת את ההרגשה שיש מקום לצמיחה.

Even when building the Imperial Palace,

אפילו כשבונים את ארמון הקיסר

they always leave one place unfinished.

תמיד משאירים מקום אחד לא גמור"

But if I had to choose one building in the world

אך אם הייתי צריך לבחור בניין אחד בעולם

to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,

להינטש איתו על אי בודד, ולחיות איתו את שארית חיי

being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.

כמי שמכור לסימטריה, הייתי ודאי בוחר באלהמברה שבגרנדה.

This is a palace celebrating symmetry.

ארמון זה הוא חגיגה לסימטריה

Recently I took my family --

לאחרונה לקחתי את משפחתי--

we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.

אנחנו עורכים טיולים מתימטיים חנוניים, שמשפחתי אוהבת.

This is my son Tamer. You can see

זה בני תומר, כפי שאתם רואים

he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.

הוא מאוד נהנה מהטיול המתמטי שלנו לאלהמברה.

But I wanted to try and enrich him.

אבל אני רציתי לנסות ולהרחיב את השכלתו.

I think one of the problems about school mathematics

אני חושב שזו אחת מהבעיות במתמטיקה של בית הספר

is it doesn't look at how mathematics is embedded

שלא רואים שם עד כמה המתמטיקה היא חלק מן העולם

in the world we live in.

בעולם בו אנו חיים.

So, I wanted to open his eyes up to

ולכן, רציתי לפקוח את עיניו ולראות

how much symmetry is running through the Alhambra.

כמה הסימטריה מצויה בכל פרט באלהמברה.

You see it already. Immediately you go in,

רואים זאת מיד כשנכנסים,

the reflective symmetry in the water.

הסימטריה של ההשתקפות במים.

But it's on the walls where all the exciting things are happening.

אך הקירות הם היכן שכל הדברים המרגשים מתרחשים

The Moorish artists were denied the possibility

מהאמנים המורים נמנעה האפשרות

to draw things with souls.

לצייר דברים בעלי נשמה

So they explored a more geometric art.

לכן הם חקרו אמנות יותר גיאומטרית

And so what is symmetry?

ועל כן מהי סימטריה?

The Alhambra somehow asks all of these questions.

האלאמברה איכשהו שואל את השאלות הללו

What is symmetry? When [there] are two of these walls,

מהי סימטריה? כשיש שני קירות כאלו

do they have the same symmetries?

האם יש להם סימטריה זהה?

Can we say whether they discovered

האם אנו יכולים לומר כי הם גילו

all of the symmetries in the Alhambra?

את כל הסימטריה באלהמברה

And it was Galois who produced a language

והיה זה גלואה שיצר שפה

to be able to answer some of these questions.

שתוכל לענות על חלק מהשאלות הללו

For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,

עבור גלואה, הסימטריה -- בניגוד לתומס מאן

which was something still and deathly --

שעבורו זה היה דבר דומם ומת

for Galois, symmetry was all about motion.

עבור גלואה סימטריה עסקה בתנועה.

What can you do to a symmetrical object,

מה אפשר לעשות עם עצם סימטרי,

move it in some way, so it looks the same

איך להזיז אותו באיזושהי צורה כך שייראה זהה

as before you moved it?

כפי שהיה לפני שהוזז?

I like to describe it as the magic trick moves.

אני אוהב לתאר את זה כתעלול קסמים

What can you do to something? You close your eyes.

מה ניתן לעשות למשהו? אתם עוצמים עיניים

I do something, put it back down again.

אני עושה משהו, מניח אותו חזרה במקומו

It looks like it did before it started.

הוא נראה בדיוק כמו בתחילה.

So, for example, the walls in the Alhambra --

כך, לדוגמא הקירות באלהמברה,

I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,

אני יכול לקחת את האריחים הללו, ולקבוע ציר בנקודה הצהובה

rotate them by 90 degrees,

לסובב אותן ב-90 מעלות,

put them all back down again and they fit perfectly down there.

להחזירן למקומן, והן תתאמנה בדיוק.

And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.

וכשתפקחו את עיניכם לא תדעו שהן זזו

But it's the motion that really characterizes the symmetry

התנועה היא אשר באמת מאפיינת את הסימטריה

inside the Alhambra.

בתוך האלהמברה.

But it's also about producing a language to describe this.

אך מדובר גם על יצירת שפה שתתאר את זה.

And the power of mathematics is often

ובכוחה של המתמטיקה לעתים תכופות

to change one thing into another, to change geometry into language.

לשנות דבר אחד לדבר אחר, ללהפוך את הגיאומטריה לשפה

So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --

אז אעשה לכם סיור מודרך, אולי אפילו אדחוף קצת מתמטיקה--

so brace yourselves --

--אז תחזיקו חזק

push you a little bit to understand how this language works,

אדרבן אתכם מעט על מנת להבין איך השפה הזאת פועלת,

which enables us to capture what is symmetry.

ומאפשרת לנו לתפוס מהי הסימטריה.

So, let's take these two symmetrical objects here.

אז בואו ניקח את שני העצמים הסימטריים כאן.

Let's take the twisted six-pointed starfish.

בואו ניקח את כוכב הים המעוות עם ששת הקודקודים.

What can I do to the starfish which makes it look the same?

מה אוכל לעשות לכוכב הים שיגרום לו להיראות אותו הדבר?

Well, there I rotated it by a sixth of a turn,

ובכן, הנה סובבתי אותו שישית הסיבוב,

and still it looks like it did before I started.

וזה עדיין נראה כפי שזה נראה לפני שהתחלתי.

I could rotate it by a third of a turn,

יכולתי לסובב אותו שליש הסיבוב,

or a half a turn,

או חצי סיבוב,

or put it back down on its image, or two thirds of a turn.

להחזירו למקומו, או שני שליש סיבוב.

And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.

וסימטריה חמישית: אני יכול לסובב אותו חמש שישיות סיבוב.

And those are things that I can do to the symmetrical object

ואלו דברים שאני יכול לעשות בעצם הסימטרי

that make it look like it did before I started.

שיגרמו לו להיראות בדיוק כמו לפני שהתחלתי.

Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.

לגלואה הייתה סימטריה שישית.

Can anybody think what else I could do to this

משהו יכול לחשוב מה עוד אוכל לעשות בו

which would leave it like I did before I started?

שישאיר אותו בדיוק כמו שהיה לפני שהתחלתי?

I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?

איני יכול להפוך אותו כי זה יעוות אותו מעט, נכון?

It's got no reflective symmetry.

אין לו סימטריית השתקפות.

But what I could do is just leave it where it is,

אך מה שאוכל לעשות הוא להשאיר אותו כפי שהוא,

pick it up, and put it down again.

להרים אותו, ולהניח אותו חזרה.

And for Galois this was like the zeroth symmetry.

ועבור גלואה, זה היה כמו סימטריית האפס.

Actually, the invention of the number zero

למעשה המצאת המספר אפס

was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.

היתה מושג מודרני מהמאה השביעית שהמציאו ההודים

It seems mad to talk about nothing.

זה נראה טירוף לדבר על כלום.

And this is the same idea. This is a symmetrical --

וזה אותו הרעיון. זה סימטרי--

so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

כך שהכל יהיה סימטרי, אם תשאירו אותו במקומו.

So, this object has six symmetries.

אם כן, לעצם זה יש שש סימטריות.

And what about the triangle?

ומה לגבי המשולש?

Well, I can rotate by a third of a turn clockwise

ובכן, אני יכול לסובב אותו שליש סיבוב עם כיוון השעון

or a third of a turn anticlockwise.

ושליש סיבוב נגד כיוון השעון.

But now this has some reflectional symmetry.

אך עכשיו יש לו קצת סימטרית השתקפות.

I can reflect it in the line through X,

אני יכול לשקף אותו בקו ישר דרך X

or the line through Y,

או דרך Y

or the line through Z.

או דרך Z

Five symmetries and then of course the zeroth symmetry

חמש סימטריות וכמובן סימטרית האפס

where I just pick it up and leave it where it is.

שבה אני פשוט מרים אותו ומשאיר אותו במקומו

So both of these objects have six symmetries.

אם כן, לשני העצמים הללו יש שש סימטריות.

Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,

כעת, אני מאמין גדול שהמתמטיקה איננה צפיה בספורט,

and you have to do some mathematics

וצריך לעסוק מעט במתמטיקה

in order to really understand it.

על מנת להבין אותה באמת.

So here is a little question for you.

אז הנה שאלה קטנה עבורכם

And I'm going to give a prize at the end of my talk

ואני אתן פרס בסוף ההרצאה שלי

for the person who gets closest to the answer.

למי שיתן את התשובה הקרובה ביותר

The Rubik's Cube.

הקוביה ההונגרית.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

כמה סימטריות יש לקוביה ההונגרית?

How many things can I do to this object

כמה דברים אני יכול לעשות עם אובייקט זה

and put it down so it still looks like a cube?

ולהחזירו למקומו והוא עדיין יראה כמו קוביה?

Okay? So I want you to think about that problem as we go on,

טוב? אז אני רוצה שתחשבו על הבעיה הזו בזמן שנמשיך הלאה,

and count how many symmetries there are.

ותספרו כמה סימטריות ישנן.

And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

יהיה אפילו פרס לאדם שיגיע הכי קרוב בסוף.

But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.

אך בואו נחזור לסימטריות שקיבלתי בשני העצמים הללו.

What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,

מה שגלואה הבין: לא הסימטריות הנפרדות,

but how they interact with each other

אלא יחסי הגומלין ביניהן

which really characterizes the symmetry of an object.

הוא הדבר שבאמת מגדיר את הסימטריה של עצם.

If I do one magic trick move followed by another,

אם אעשה קסם ואחריו עוד אחד

the combination is a third magic trick move.

השילוב ביניהם יהיה קסם שלישי

And here we see Galois starting to develop

וכאן אנו רואים את גלואה מתחיל לפתח

a language to see the substance

שפה להבנת המהות

of the things unseen, the sort of abstract idea

הדברים הלא-נראים, מעין רעיון מופשט

of the symmetry underlying this physical object.

של הסימטריה שביסוד העצם הפיסיקלי

For example, what if I turn the starfish

למשל, מה אם אני אסובב את כוכב הים

by a sixth of a turn,

שישית סיבוב,

and then a third of a turn?

ואז שליש סיבוב נוסף?

So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,

אז השתמשתי באותיות ABCDEF

are the names for the rotations.

כשמות לסיבובים

B, for example, rotates the little yellow dot

B למשל, מסובבת את הנקודה הצהובה הקטנה

to the B on the starfish. And so on.

ל-B שעל כוכב הים וכן הלאה

So what if I do B, which is a sixth of a turn,

אם כן, מה אם אבצע B, אשר הינה שישית סיבוב

followed by C, which is a third of a turn?

ואחריה C אשר הינה שליש סיבוב

Well let's do that. A sixth of a turn,

אז בואו נעשה זאת. שישית סיבוב,

followed by a third of a turn,

ואחריה שליש סיבוב,

the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.

האפקט המשולב הוא כאילו סובבתי בחצי במהלך יחיד.

So the little table here records

כך שהטבלה הקטנה כאן מתעדת

how the algebra of these symmetries work.

כיצד האלגברה של הסימטריות עובדת.

I do one followed by another, the answer is

אעשה את האחד אחרי השני, והתשובה היא

it's rotation D, half a turn.

זה סיבוב D, חצי סיבוב

What I if I did it in the other order? Would it make any difference?

מה אם אעשה זאת בסדר אחר? האם זה ישנה?

Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.

הבה נראה. בואו נעשה שליש סיבוב קודם, ואח"כ שישית סיבוב.

Of course, it doesn't make any difference.

כמובן, זה לא משנה.

It still ends up at half a turn.

זה עדיין בסה"כ חצי סיבוב.

And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.

ויש גם סימטריה בדרך בה הסימטריות מגיבות זו עם זו.

But this is completely different to the symmetries of the triangle.

אך זה שונה לחלוטין מהסימטריה של משולש.

Let's see what happens if we do two symmetries

בואו נראה מה יקרה אם נעשה שתי סימטריות

with the triangle, one after the other.

עם המשולש, בזו אחר זו.

Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise,

בואו נעשה שליש סיבוב נגד כיוון השעון,

and reflect in the line through X.

ונשקף בקו העובר דרך X

Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z

ובכן, האפקט הוא כאילו שיקפתי על הקו של Z

to start with.

מלכתחילה

Now, let's do it in a different order.

כעת נעשה זאת בסדר שונה.

Let's do the reflection in X first,

בואו נשקף קודם ב-X

followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise.

ואח"כ נסובב שליש סיבוב נגד כיוון השעון

The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different.

האפקט המשולב, המשולש הגיע למקום אחר לחלוטין

It's as if it was reflected in the line through Y.

כאילו שיקפנו אותו על הקו שעובר דרך ה-Y

Now it matters what order you do the operations in.

זה משנה באיזה סדר תעשו את הפעולות

And this enables us to distinguish

וזה מאפשר לנו לזהות

why the symmetries of these objects --

למה הסימטריות של העצמים הללו--

they both have six symmetries. So why shouldn't we say

לשניהם יש שש סימטריות. מדוע איננו יכולים לומר

they have the same symmetries?

שיש להם את אותן הסימטריות?

But the way the symmetries interact

יחסי הגומלין בין הסימטריות

enable us -- we've now got a language

מאפשרים לנו -- יש לנו כעת שפה

to distinguish why these symmetries are fundamentally different.

שמאפשרת לזהות מדוע הסימטריות הללו שונות.

And you can try this when you go down to the pub, later on.

ותוכלו לנסות את זה כשתלכו לפאב, יותר מאוחר.

Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn,

תקחו תחתית בירה, ותסובבו אותה רבע סיבוב,

then flip it. And then do it in the other order,

לאחר מכן תהפכו אותה. אחר כך תעשו את זה בסדר אחר,

and the picture will be facing in the opposite direction.

והתמונה תפנה לכיוון ההפוך.

Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact.

גלואה יצר חוקים לטבלאות הללו, כיצד הסימטריות מגיבות.

It's almost like little Sudoku tables.

זה כמעט כמו תשבצי סודוקו קטנים.

You don't see any symmetry twice

לא רואים אף סימטריה פעמיים

in any row or column.

באף שורה או טור.

And, using those rules, he was able to say

ובעזרת החוקים הללו, הוא יכול היה לומר

that there are in fact only two objects

שיש למעשה רק שני עצמים

with six symmetries.

בעלי שש סימטריות.

And they'll be the same as the symmetries of the triangle,

והם יהיו זהות לסימטריות של משולש,

or the symmetries of the six-pointed starfish.

או סימוטריות של כוכב ים בעל שישה קודקודים.

I think this is an amazing development.

אני חושב שזו התפתחות מדהימה.

It's almost like the concept of number being developed for symmetry.

זה כמעט כמו המושג של פיתוח מספר תיאור הסימטריה

In the front here, I've got one, two, three people

יש כאן אחד, שניים, שלושה אנשים

sitting on one, two, three chairs.

יושבים על אחד, שניים, שלושה כסאות

The people and the chairs are very different,

האנשים על הכסאות מאוד שונים,

but the number, the abstract idea of the number, is the same.

אך המספר, הרעיון המופשט של המספר, זהה

And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra.

אנו יכולים לראות כעת: אנו חוזרים לקירות של אלהמברה

Here are two very different walls,

הנה שני קירות שונים מאוד,

very different geometric pictures.

תמונות גאומטריות שונות מאוד.

But, using the language of Galois,

אך באמצעות השפה של גלואה,

we can understand that the underlying abstract symmetries of these things

אנו יכולים להבין שהסימטריות המופשטות שביסוד הדברים הללו

are actually the same.

הן למעשה אותו הדבר.

For example, let's take this beautiful wall

למשל, בואו ניקח את הקיר היפהפה הזה

with the triangles with a little twist on them.

עם המשולשים עם הסיבוב הקל.

You can rotate them by a sixth of a turn

אתם יכולים לסובב אותם שישית סיבוב

if you ignore the colors. We're not matching up the colors.

אם תתעלמו מהצבעים. אנחנו לא מתאימים את הצבעים.

But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn

אך הצורות מתאימות אם אסובב אותן שישית סיבוב

around the point where all the triangles meet.

סביב הנקודה בה כל המשולשים מתאימים.

What about the center of a triangle? I can rotate

מה בנוגע למרכז המשולש? אני יכול לסובב

by a third of a turn around the center of the triangle,

שליש סיבוב סביב מרכז המשולש,

and everything matches up.

והכל מתאים.

And then there is an interesting place halfway along an edge,

ואז יש מקום מעניין במחצית הדרך לאורך הקצה,

where I can rotate by 180 degrees.

היכן שאני יכול לסובב ב-180 מעלות.

And all the tiles match up again.

וכל המרצפות מתאימות שוב.

So rotate along halfway along the edge, and they all match up.

אם כן סובבו לאורך מחצית הדרך על הקצה, וכולם מתאימים שוב.

Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra.

עכשיו, בואו נעבור לקיר שונה מאוד באלהמברה

And we find the same symmetries here, and the same interaction.

ונמצא כאן את אותן הסימטריות, ואותם יחסי גומלין ביניהן.

So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet.

אם כן, היתה שישית סיבוב. שליש סיבוב היכן שחלקי Z נפגשים

And the half a turn is halfway between the six pointed stars.

ומחצית הסיבוב בין הכוכבים בעלי ששת הקודקודים.

And although these walls look very different,

ולמרות שהקירות הללו נראים מאוד שונים,

Galois has produced a language to say

גלואה ייצר שפה שאומרת

that in fact the symmetries underlying these are exactly the same.

שלמעשה הסימטריות שעומדות ביסודם זהות לחלוטין.

And it's a symmetry we call 6-3-2.

וזו סימטריה שאנו קוראים לה 6-3-2.

Here is another example in the Alhambra.

הנה דוגמא נוספת באלהמברה

This is a wall, a ceiling, and a floor.

הנה קיר, תקרה ורצפה.

They all look very different. But this language allows us to say

הם נראים מאוד שונים. אך השפה מאפשרת לנו לומר

that they are representations of the same symmetrical abstract object,

שהם מייצגים את אותו עצם סימטרי מופשט,

which we call 4-4-2. Nothing to do with football,

אשר אנחנו קוראים לו 4-4-2. אין שום קשר לפוטבול,

but because of the fact that there are two places where you can rotate

אבל בגלל העובדה שישנם שני מקומות אותם ניתן לסובב

by a quarter of a turn, and one by half a turn.

ברבע סיבוב, ובחצי סיבוב.

Now, this power of the language is even more,

כעת, הכח הזה של השפה הוא אפילו יותר גדול.

because Galois can say,

משום שגלואה יכול לומר,

"Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries

"האם האומנים המוריים גילו את כל הסימטריות האפשריות

on the walls in the Alhambra?"

על הקירות של אלהמברה"?

And it turns out they almost did.

ומסתבר שהם כמעט גילו.

You can prove, using Galois' language,

אתם יכולים להוכיח, בעזרת השפה של גלואה

there are actually only 17

שיש למעשה רק 17

different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra.

סימטריות שונות שאתם יכולים לעשות על קירות אלהמברה

And they, if you try to produce a different wall with this 18th one,

והם, אם תנסו ליצור קיר שונה עם הסימטריה ה18

it will have to have the same symmetries as one of these 17.

היא תהיה חייבת להכיל את אותן הסימטריות של אחת מה17

But these are things that we can see.

אך אלו דברים שאנו יכולים לראות.

And the power of Galois' mathematical language

וכוחה של השפה המתמטית של גלואה

is it also allows us to create

בכך שהיא גם מאפשרת לנו ליצור

symmetrical objects in the unseen world,

עצמים סימטרים בעולם הבלתי נראה,

beyond the two-dimensional, three-dimensional,

מעבר לדו מימד, ותלת מימד,

all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space.

הדרך עד המימד הרביעי או החמישי- או החלל בעל אינסוף המימדים

And that's where I work. I create

ושם אני עובד, אני יוצר

mathematical objects, symmetrical objects,

עצמים מתמטיים, עצמים סימטרים,

using Galois' language,

בעזרת שפתו של גלואה

in very high dimensional spaces.

בחללים בעלי מימדים גבוהים.

So I think it's a great example of things unseen,

כך שלדעתי זו דוגמא מצויינת לדברים סמויים מן העין,

which the power of mathematical language allows you to create.

שהכח של השפה המתמטית מאפשר ליצור.

So, like Galois, I stayed up all last night

כמו גלואה, נשארתי ער אתמול בלילה

creating a new mathematical symmetrical object for you,

יצרתי עצם מתמטי סימטרי עבורכם.

and I've got a picture of it here.

ויש לי כמה תמונות שלו.

Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board

ובכן, למרבה הצער זו לא באמת תמונה. לו היה לי הלוח שלי

at the side here, great, excellent.

פה בצד, מצויין, מעולה.

Here we are. Unfortunately, I can't show you

או-קיי, לצערי אני לא יכול להראות לכם

a picture of this symmetrical object.

תמונה של העצם הסימטרי.

But here is the language which describes

אך הנה השפה אשר מתארת

how the symmetries interact.

כיצד הסימטריות מגיבות.

Now, this new symmetrical object

לעצם הסימטרי החדש

does not have a name yet.

אין שם עדיין.

Now, people like getting their names on things,

אנשים אוהבים להנציח את שמותיהם על דברים,

on craters on the moon

על מכתשים על הירח,

or new species of animals.

או על מינים חדשים של בעלי חיים

So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object

אני עומד לתת לכם הזדמנות לתת את שמכם לעצם סימטרי חדש

which hasn't been named before.

שטרם ניתן לו שם.

And this thing -- species die away,

והדבר הזה -- מינים מתים להם,

and moons kind of get hit by meteors and explode --

וירחים נפגעים על ידי מטאורים ומתפוצצים--

but this mathematical object will live forever.

אך הצורה המתמטית תחיה לנצח.

It will make you immortal.

היא תהפוך אתכם לבני אלמוות.

In order to win this symmetrical object,

על מנת לזכות בצורה הסימטרית,

what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning.

מה שתצטרכו לעשות זה לענות על השאלה ששאלתי בהתחלה.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

כמה סימטריות יש בקוביה ההונגרית?

Okay, I'm going to sort you out.

טוב, אני אתחיל לסנן אתכם.

Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are

במקום שכולכם תצעקו, אני רוצה שתספרו כמה ספרות יש

in that number. Okay?

במספר הזה, בסדר?

If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials.

אם יש לכם את זה כעצרת, תצטרכו ללפרוש את העצרות

Okay, now if you want to play,

אוקיי, מי שרוצה להשתתף במשחק, שיעמוד בבקשה.

I want you to stand up, okay?

אני רוצה שתעמדו, טוב?

If you think you've got an estimate for how many digits,

אם אתם חושבים שיש לכם אומדן לגבי כמות הספרות,

right -- we've already got one competitor here.

בסדר -- יש לנו מתחרה אחד כאן--

If you all stay down he wins it automatically.

אם כולכם תשארו לשבת, הוא יזכה אוטומטית.

Okay. Excellent. So we've got four here, five, six.

טוב, מעולה. יש לנו כבר ארבעה, חמישה, שישה.

Great. Excellent. That should get us going. All right.

מצויין, מעולה. אפשר להתחיל עם זה. בסדר.

Anybody with five or less digits, you've got to sit down,

כל מי שיש לו חמש ספרות ומטה נא לשבת.

because you've underestimated.

בגלל שהאומדן שלכם נמוך מדי.

Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down.

חמש ספרות או פחות. אם אתם בעשרות אלפים תצטרכו לשבת.

60 digits or more, you've got to sit down.

שישים ספרות או יותר, אתם תצטרכו לשבת.

You've overestimated.

האומדן שלכם גבוה מדי.

20 digits or less, sit down.

עשרים ספרות או פחות, לשבת.

How many digits are there in your number?

כמה ספרות יש במספר שלך?

Two? So you should have sat down earlier.

שתיים? היית צריך לשבת קודם.

(Laughter)

(צחוק)

Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay?

הבה נבקש מאלו שישבו ב-20 ספרות לעמוד שוב, בסדר?

If I told you 20 or less, stand up.

אם אמרתי לכם 20 או פחות, עימדו.

Because this one. I think there were a few here.

בגללו, אני חושב שהיו עוד כמה כאן.

The people who just last sat down.

האנשים שישבו אחרונים.

Okay, how many digits do you have in your number?

טוב, כמה ספרות היו לך במספר?

(Laughs)

(צחוק)

21. Okay good. How many do you have in yours?

21. טוב, כמה יש בשלך?

18. So it goes to this lady here.

18. הפרס מגיע לגברת כאן.

21 is the closest.

21 זה הכי קרוב.

It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube

יש לו למעשה -- למספר הסימטריות בקוביה ההונגרית

has 25 digits.

יש 25 ספרות

So now I need to name this object.

אז עכשיו צריך לתת שם לאובייקט הזה.

So, what is your name?

מה שמך?

I need your surname. Symmetrical objects generally --

אני זקוק לשם המשפחה שלך. עצמים סימטריים בד"כ--

spell it for me.

תאייתי לי

G-H-E-Z

G-H-E-Z

No, SO2 has already been used, actually,

לא נעשה שימוש מעולם ב-SO2

in the mathematical language. So you can't have that one.

בשפה המתמטית, אז את זכאית לו.

So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object.

אז גץ, הנה הצורה הסימטרית החדשה שלך.

You are now immortal.

את עכשיו בת אלמוות.

(Applause)

(מחיאות כפיים)

And if you'd like your own symmetrical object,

ואם אתם רוצים אובייקט סימטרי משלכם,

I have a project raising money for a charity in Guatemala,

יש לי פרוייקט שמגייס כספים לצדקה בגואטמאלה,

where I will stay up all night and devise an object for you,

ואני אשאר ער כל הלילה ואתכנן עצם בשבילכם,

for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala.

כתרומה לצדקה כדי לסייע לילדים לזכות בחינוך בגואטמאלה.

And I think what drives me, as a mathematician,

ואני חושב שמה שמניע אותי, כמתמטיקאי,

are those things which are not seen, the things that we haven't discovered.

הם הדברים הללו אשר לא נראים, הדברים שלא התגלו.

It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject.

כל השאלות שלא נענו, ואשר עושות את המתמטיקה לנושא חי

And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness":

ואני תמיד חוזר לציטוט היפני מ"חיבורים על אי עשייה"

"In everything, uniformity is undesirable.

"בכל דבר, אחידות היא לא רצויה

Leaving something incomplete makes it interesting,

להשאיר דבר מה לא גמור עושה אותו מעניין

and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you.

ונותן את ההרגשה שיש מקום לצמיחה" תודה רבה

(Applause)

(מחיאות כפיים)