Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

Tradutor: Maria K. Revisora: Margarida Ferreira

On the 30th of May, 1832,

No dia 30 de maio de 1832, ouviu-se um tiro

a gunshot was heard

ringing out across the 13th arrondissement in Paris.

ressoando no 13º "arrondissement" de Paris.

(Gunshot)

(Tiro)

A peasant, who was walking to market that morning,

Um camponês, que caminhava para o mercado naquela manhã,

ran towards where the gunshot had come from,

correu para o sítio de onde o tiro tinha vindo,

and found a young man writhing in agony on the floor,

e encontrou um jovem contorcendo-se em agonia no chão,

clearly shot by a dueling wound.

claramente atingido por um ferimento em duelo.

The young man's name was Evariste Galois.

O nome do jovem era Evariste Galois.

He was a well-known revolutionary in Paris at the time.

Era um revolucionário bem conhecido em Paris, na época.

Galois was taken to the local hospital

Galois foi levado para o hospital local

where he died the next day in the arms of his brother.

onde morreu no dia seguinte nos braços do irmão.

And the last words he said to his brother were,

As últimas palavras que ele disse ao irmão foram:

"Don't cry for me, Alfred.

"Não chores por mim, Alfred.

I need all the courage I can muster

"Preciso de toda a coragem possível para morrer aos 20 anos".

to die at the age of 20."

It wasn't, in fact, revolutionary politics

Na verdade, não foi pela política revolucionária

for which Galois was famous.

que Galois ficou famoso.

But a few years earlier, while still at school,

Mas uns anos antes, enquanto ainda andava na escola,

he'd actually cracked one of the big mathematical

ele tinha solucionado

problems at the time.

um dos grandes problemas de matemática do momento.

And he wrote to the academicians in Paris,

Escreveu aos académicos de Paris, tentando explicar a sua teoria.

trying to explain his theory.

But the academicians couldn't understand anything that he wrote.

Mas os académicos não conseguiram perceber nada do que ele escrevera.

(Laughter)

This is how he wrote most of his mathematics.

Era assim que ele escrevia a maior parte da sua matemática.

So, the night before that duel, he realized

(Risos)

Então, na noite anterior àquele duelo,

this possibly is his last chance

ele percebeu que talvez fosse a última hipótese

to try and explain his great breakthrough.

de tentar explicar a sua descoberta.

So he stayed up the whole night, writing away,

Ficou acordado toda a noite, a escrever,

trying to explain his ideas.

a tentar explicar as suas ideias.

And as the dawn came up and he went to meet his destiny,

Quando amanheceu, ele foi ao encontro do seu destino,

he left this pile of papers on the table for the next generation.

e deixou uma pilha de papéis na mesa para a geração seguinte.

Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics

Talvez por ter ficado acordado a trabalhar na matemática

was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

tenha levado um tiro tão grave naquela manhã e foi morto.

But contained inside those documents

Contido dentro daqueles documentos

was a new language, a language to understand

havia uma nova linguagem, uma linguagem para entender

one of the most fundamental concepts

um dos conceitos mais fundamentais da ciência — ou seja, a simetria.

of science -- namely symmetry.

Now, symmetry is almost nature's language.

A simetria é quase a linguagem da natureza.

It helps us to understand so many

Ajuda-nos a entender tantas diferentes partes do mundo científico.

different bits of the scientific world.

For example, molecular structure.

Por exemplo, a estrutura molecular.

What crystals are possible,

Podemos entender como são possíveis os cristais,

we can understand through the mathematics of symmetry.

através da matemática da simetria.

Na microbiologia, não queremos obter um objeto simétrico,

In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,

because they are generally rather nasty.

porque geralmente são bastante desagradáveis.

The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.

O vírus da gripe suína, no momento, é um objeto simétrico.

And it uses the efficiency of symmetry

E usa a eficácia da simetria para poder propagar-se tão bem.

to be able to propagate itself so well.

But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,

Mas numa escala maior de biologia, a simetria é muito importante,

because it actually communicates genetic information.

porque comunica informações genéticas.

I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.

Eu tirei duas fotos e fi-las artificialmente simétricas.

And if I ask you which of these you find more beautiful,

Se eu vos perguntar qual delas acham mais bonita,

you're probably drawn to the lower two.

provavelmente vocês sentem-se atraídos pelas duas de baixo,

Because it is hard to make symmetry.

porque é difícil fazer simetria.

And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign

Se vocês se tornarem simétricos, estão a enviar um sinal

that you've got good genes, you've got a good upbringing

de que têm bons genes, têm uma boa educação

and therefore you'll make a good mate.

e, portanto, serão um bom companheiro.

So symmetry is a language which can help to communicate

A simetria é uma linguagem que pode ajudar a comunicar

genetic information.

a informação genética.

Symmetry can also help us to explain

A simetria também nos ajuda a explicar

what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.

o que está a acontecer no Grande Colisor de Hadrõens no CERN.

Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.

Ou o que não está a acontecer no Grande Colisor de Hadrõens no CERN.

To be able to make predictions about the fundamental particles

Para fazer previsões sobre as partículas fundamentais

we might see there,

podemos ver ali,

it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape

parece que todas elas são facetas de qualquer forma simétrica estranha

in a higher dimensional space.

num espaço dimensional maior.

And I think Galileo summed up, very nicely,

Acho que Galileo resumiu, muito bem, o poder da matemática

the power of mathematics

to understand the scientific world around us.

para entender o mundo científico que nos rodeia.

He wrote, "The universe cannot be read

Ele escreveu: "Não podemos ler o universo

until we have learnt the language

"sem aprendermos a sua linguagem

and become familiar with the characters in which it is written.

"e nos familiarizarmos com as personagens em que está escrito.

It is written in mathematical language,

"Está escrito em linguagem matemática,

and the letters are triangles, circles and other geometric figures,

"e as letras são triângulos, círculos e outras figuras geométricas,

without which means it is humanly impossible

"sem a qual é humanamente impossível

to comprehend a single word."

"compreender uma única palavra".

But it's not just scientists who are interested in symmetry.

Não são só os cientistas que se interessam pela simetria.

Artists too love to play around with symmetry.

Os artistas também adoram brincar com simetria.

They also have a slightly more ambiguous relationship with it.

Eles também têm uma relação um pouco mais ambígua com ela.

Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."

Thomas Mann fala assim sobre simetria em "The Magic Mountain".

He has a character describing the snowflake,

Há uma personagem que descreve o floco de neve,

and he says he "shuddered at its perfect precision,

e diz que estremeceu "com a sua precisão perfeita",

found it deathly, the very marrow of death."

achou-a "mortal, a própria medula da morte".

But what artists like to do is to set up expectations

Mas os artistas gostam

of symmetry and then break them.

de configurar expetativas de simetria e depois quebrá-las.

And a beautiful example of this

Encontrei um belo exemplo disso

I found, actually, when I visited a colleague of mine

quando visitei um colega meu

in Japan, Professor Kurokawa.

no Japão, o professor Kurokawa.

And he took me up to the temples in Nikko.

Ele levou-me aos templos em Nikko.

And just after this photo was taken we walked up the stairs.

Logo após tirarmos esta foto, subimos as escadas

And the gateway you see behind

e aquela entrada que veem lá atrás

has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.

tem oito colunas, com belos desenhos simétricos.

Seven of them are exactly the same,

Sete deles são exatamente iguais, e o oitavo está virado ao contrário.

and the eighth one is turned upside down.

And I said to Professor Kurokawa,

Eu disse ao professor Kurokawa:

"Wow, the architects must have really been kicking themselves

"Os arquitetos devem ter sido corridos

when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."

"quando perceberam que haviam cometido um erro

"e colocaram este ao contrário".

And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."

E ele disse: "Não, não, não. Foi um ato deliberado".

And he referred me to this lovely quote from the Japanese

Referiu-me essa adorável citação dos japoneses:

"Essays in Idleness" from the 14th century,

"Ensaios na ociosidade" do século XIV, em que o ensaísta escreveu:

in which the essayist wrote, "In everything,

"Em tudo... a uniformidade é indesejável.

uniformity is undesirable.

Leaving something incomplete makes it interesting,

"Deixar algo incompleto torna-a interessante

and gives one the feeling that there is room for growth."

"e dá a impressão de que há espaço para o crescimento.

Even when building the Imperial Palace,

"Mesmo ao construir o Palácio Imperial, deixam sempre um local inacabado".

they always leave one place unfinished.

But if I had to choose one building in the world

Se eu tivesse que escolher um edifício no mundo

to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,

para ser colocado numa ilha deserta, para viver o resto da minha vida,

being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.

como sou um viciado em simetria,

provavelmente eu escolheria o Alhambra em Granada.

This is a palace celebrating symmetry.

É um palácio que comemora simetria.

Recently I took my family --

Recentemente, levei a minha família

we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.

— nós fazemos essas viagens bastante matemáticas,

This is my son Tamer. You can see

que a minha família adora.

Este é o meu filho Tamer.

he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.

Como veem, ele está a gostar muito da nossa viagem matemática ao Alhambra.

But I wanted to try and enrich him.

Mas eu queria tentar enriquecê-lo.

I think one of the problems about school mathematics

Eu acho que um dos problemas com a matemática escolar

is it doesn't look at how mathematics is embedded

é não é ver como a matemática está embutida no mundo em que vivemos.

in the world we live in.

So, I wanted to open his eyes up to

Por isso, eu queria abrir os olhos dele

how much symmetry is running through the Alhambra.

para a simetria que existe em todo o Alhambra.

You see it already. Immediately you go in,

Vemo-la logo.

Entramos nela mediatamente, a simetria reflexiva na água.

the reflective symmetry in the water.

But it's on the walls where all the exciting things are happening.

Está nas paredes onde acontecem todas as coisas emocionantes.

The Moorish artists were denied the possibility

Não permitiam aos artistas mouros

to draw things with souls.

que desenhassem coisas com alma.

So they explored a more geometric art.

Então eles exploravam uma arte mais geométrica.

And so what is symmetry?

Então, o que é a simetria?

The Alhambra somehow asks all of these questions.

O Alhambra, de certa maneira, faz todas essas perguntas.

What is symmetry? When [there] are two of these walls,

O que é a simetria?

Quando há duas dessas paredes, elas têm as mesmas simetrias?

do they have the same symmetries?

Can we say whether they discovered

Podemos dizer se descobriram todas as simetrias no Alhambra?

all of the symmetries in the Alhambra?

And it was Galois who produced a language

Foi Galois que produziu uma linguagem

to be able to answer some of these questions.

para responder a algumas destas perguntas.

For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,

Para Galois, a simetria

— ao contrário do que para Thomas Mann, que era algo parado e mortal —

which was something still and deathly --

for Galois, symmetry was all about motion.

para Galois, a simetria era tudo sobre o movimento.

What can you do to a symmetrical object,

O que poderemos fazer a um objeto simétrico,

move it in some way, so it looks the same

movê-lo de certa forma,

as before you moved it?

para que pareça o mesmo que antes de o movermos?

I like to describe it as the magic trick moves.

Costumo descrever isso como um truque mágico.

What can you do to something? You close your eyes.

Como podemos fazer isso? Fechem os olhos.

I do something, put it back down again.

Eu faço uma coisa, ponho-a de novo. Parece a mesma que antes de começar.

It looks like it did before it started.

So, for example, the walls in the Alhambra --

Por exemplo, as paredes do Alhambra

I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,

posso tirar todos os azulejos, e colocá-los no local amarelo,

rotate them by 90 degrees,

rodá-los 90 graus,

put them all back down again and they fit perfectly down there.

colocá-los todos de novo e eles encaixam-se perfeitamente.

And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.

Quando vocês abrirem os olhos, não saberão que eles mudaram.

But it's the motion that really characterizes the symmetry

Mas é o movimento que caracteriza a simetria

inside the Alhambra.

dentro do Alhambra.

But it's also about producing a language to describe this.

Também se trata de produzir uma linguagem para descrever isso.

And the power of mathematics is often

O poder da matemática é muitas vezes

to change one thing into another, to change geometry into language.

mudar uma coisa para outra, mudar a geometria para uma linguagem.

So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --

Vou levar-vos, talvez empurrar-vos um pouco, pela matemática

so brace yourselves --

— por isso, preparem-se —

push you a little bit to understand how this language works,

empurrar-vos um pouco para entenderem como funciona esta linguagem,

which enables us to capture what is symmetry.

o que nos permite captar o que é a simetria.

So, let's take these two symmetrical objects here.

Então, vejamos estes dois objetos simétricos.

Let's take the twisted six-pointed starfish.

Vamos pegar na estrela-do-mar de seis pontas torcidas.

What can I do to the starfish which makes it look the same?

O que posso fazer à estrela-do-mar para ela parecer igual?

Well, there I rotated it by a sixth of a turn,

Rodei-a com 1/6 de volta,

and still it looks like it did before I started.

continua com o mesmo aspeto que tinha antes.

I could rotate it by a third of a turn,

Eu podia rodá-la com 1/3 de volta,

or a half a turn,

ou meia volta,

or put it back down on its image, or two thirds of a turn.

ou colocá-la de novo na sua imagem, ou 2/3 de volta.

And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.

E numa quinta simetria, posso rodá-la 5/6 de volta.

And those are things that I can do to the symmetrical object

Estas são coisas que posso fazer a um objeto simétrico

that make it look like it did before I started.

isso faz com que pareça igual ao que era antes.

Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.

Para Galois, havia uma sexta simetria.

Can anybody think what else I could do to this

Alguém acha que eu posso fazer mais alguma coisa

which would leave it like I did before I started?

e ela ficar como dantes?

I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?

Não posso virá-la porque tem a ponta retorcida.

It's got no reflective symmetry.

Não tem simetria reflexiva.

But what I could do is just leave it where it is,

Mas posso deixá-la ficar onde está,

pick it up, and put it down again.

esticá-la, e abaixá-la novamente.

And for Galois this was like the zeroth symmetry.

Para Galois, isso era como a simetria zero.

Actually, the invention of the number zero

Na verdade, a invenção do número zero

was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.

foi um conceito muito moderno, VII século A.D., pelos indianos.

It seems mad to talk about nothing.

Parece uma loucura falar sobre nada.

And this is the same idea. This is a symmetrical --

Esta é a mesma ideia.

Todas as coisas têm simetria,

so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

quando as deixamos ficar onde estão.

So, this object has six symmetries.

Então, este objeto tem seis simetrias.

And what about the triangle?

E um triângulo?

Well, I can rotate by a third of a turn clockwise

Posso rodá-lo 1/3 de volta no sentido horário

or a third of a turn anticlockwise.

ou 1/3 de volta, no sentido contrário.

But now this has some reflectional symmetry.

Mas agora isto tem uma simetria reflexiva.

I can reflect it in the line through X,

Posso refleti-lo no eixo que passa por X,

or the line through Y,

ou no eixo que passa por Y,

or the line through Z.

ou no eixo que passa por Z.

Five symmetries and then of course the zeroth symmetry

Cinco simetrias e, claro, a simetria zero

where I just pick it up and leave it where it is.

em que eu simplesmente estico-o e volto a pô-lo onde estava.

So both of these objects have six symmetries.

Então, estes dois objetos têm seis simetrias.

Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,

Eu penso que a matemática não é um desporto de espetadores.

and you have to do some mathematics

Temos que fazer alguma matemática para perceber isso.

in order to really understand it.

So here is a little question for you.

Vou fazer-vos uma pergunta.

And I'm going to give a prize at the end of my talk

E vou dar um prémio, no final da minha palestra,

for the person who gets closest to the answer.

à pessoa que se aproximar da resposta.

The Rubik's Cube.

O cubo de Rubik.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

Quantas simetrias tem um cubo de Rubik?

How many things can I do to this object

Quantas coisas posso fazer neste objeto

and put it down so it still looks like a cube?

e voltar ao princípio sem ele deixar de parecer um cubo?

Okay? So I want you to think about that problem as we go on,

Pensem neste problema enquanto prosseguimos.

and count how many symmetries there are.

e contem quantas simetrias existem.

And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

No final, haverá um prémio para a pessoa que ficar mais próxima.

But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.

Mas voltemos às simetrias que obtive para estes dois objetos.

What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,

Galois percebeu:

Não são só as simetrias individuais, mas como elas interagem umas com as outras

but how they interact with each other

which really characterizes the symmetry of an object.

o que caracteriza a simetria de um objeto.

If I do one magic trick move followed by another,

Se eu fizer um movimento de truque mágico seguido de outro,

the combination is a third magic trick move.

a combinação é uma terceira jogada de magia.

And here we see Galois starting to develop

Vemos aqui Galois começar a desenvolver uma linguagem

a language to see the substance

para ver a substância das coisas invisíveis,

of the things unseen, the sort of abstract idea

o tipo de ideia abstrata da simetria subjacente a este objeto físico.

of the symmetry underlying this physical object.

For example, what if I turn the starfish

Por exemplo, se eu rodar a estrela-do-mar 1/6 de volta,

by a sixth of a turn,

and then a third of a turn?

e depois 1/3 de volta?

So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,

Eu dei-lhes nomes.

As letras maiúsculas, A, B, C, D, E, F, são os nomes das rotações.

are the names for the rotations.

B, for example, rotates the little yellow dot

B, por exemplo, roda o pequeno ponto amarelo

to the B on the starfish. And so on.

para o b na estrela-do-mar, etc.

So what if I do B, which is a sixth of a turn,

Então, e se eu fizer B, que é 1/6 de volta,

followed by C, which is a third of a turn?

seguido por C, que é 1/3 de volta?

Well let's do that. A sixth of a turn,

Vamos fazer isso.

Um sexto de volta, seguido por 1/3 de volta.

followed by a third of a turn,

the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.

O efeito combinado é como se eu tivesse

girado meia volta de uma só vez.

So the little table here records

Este quadro aqui regista como funciona a álgebra dessas simetrias.

how the algebra of these symmetries work.

I do one followed by another, the answer is

Eu faço um encontro entre os dois, a resposta é a rotação D, meia volta.

it's rotation D, half a turn.

What I if I did it in the other order? Would it make any difference?

E se eu fizer por outra ordem? Isso faria alguma diferença?

Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.

Vamos ver.

Vamos fazer primeiro 1/3 de volta, e depois 1/6 de volta.

Of course, it doesn't make any difference.

Claro, não faz diferença.

It still ends up at half a turn.

Acaba em meia volta na mesma.

And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.

Há aqui uma certa simetria

na forma como as simetrias interagem umas com as outras.

But this is completely different to the symmetries of the triangle.

Mas isto é completamente diferente das simetrias do triângulo.

Let's see what happens if we do two symmetries

Vamos ver o que acontece se fizermos duas simetrias

with the triangle, one after the other.

com o triângulo, uma após a outra.

Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise,

Vamos fazer uma rotação de 1/3 de volta no sentido anti-horário,

and reflect in the line through X.

e refletir no eixo que passa por X.

Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z

Para começar, o efeito combinado

é como se eu tivesse feito o reflexo no eixo que passa por Z.

to start with.

Now, let's do it in a different order.

Agora, vamos fazê-lo por uma ordem diferente.

Let's do the reflection in X first,

Primeiro, vamos fazer a reflexão passando por X,

followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise.

seguida pela rotação de 1/3 de volta, no sentido anti-horário.

The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different.

Pelo efeito combinado, o triângulo vai parar a um lugar totalmente diferente.

It's as if it was reflected in the line through Y.

É como se se tivesse refletido no eixo que passa por Y.

Now it matters what order you do the operations in.

Portanto, é importante a ordem por que fazemos as operações.

And this enables us to distinguish

Isso permite-nos distinguir as simetrias destes objetos

why the symmetries of these objects --

they both have six symmetries. So why shouldn't we say

— ambos têm seis simetrias, porque é que não devemos dizer

they have the same symmetries?

que eles têm as mesmas simetrias?

But the way the symmetries interact

A forma como as simetrias interagem permite-nos

enable us -- we've now got a language

— agora temos uma linguagem —

to distinguish why these symmetries are fundamentally different.

distinguir porque é que essas simetrias são totalmente diferentes.

And you can try this when you go down to the pub, later on.

Podem tentar isso quando logo forem ao bar.

Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn,

Peguem numa proteção do copo e girem-na 1/4 de volta,

then flip it. And then do it in the other order,

e depois virem-na ao contrário.

and the picture will be facing in the opposite direction.

Depois façam o mesmo por outra ordem, a imagem estará na direção oposta.

Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact.

Galois produziu algumas leis sobre como interagem as simetrias.

It's almost like little Sudoku tables.

As tabelas quase parecem quadros de Sudoku.

You don't see any symmetry twice

Não encontramos simetria duas vezes na mesma linha ou coluna.

in any row or column.

And, using those rules, he was able to say

Usando estas regras, ele pôde dizer

que só existem dois objetos com seis simetrias.

that there are in fact only two objects

with six symmetries.

And they'll be the same as the symmetries of the triangle,

E serão os mesmos que as simetrias do triângulo,

or the symmetries of the six-pointed starfish.

ou as simetrias da estrela-do-mar de seis pontas.

I think this is an amazing development.

Isto é uma conclusão incrível.

It's almost like the concept of number being developed for symmetry.

É quase como o conceito de número

que está a ser desenvolvido para a simetria.

In the front here, I've got one, two, three people

Aqui na frente, tenho uma, duas, três pessoas

sitting on one, two, three chairs.

sentadas em uma, duas, três cadeiras.

The people and the chairs are very different,

As pessoas e as cadeiras são muito diferentes,

but the number, the abstract idea of the number, is the same.

mas o número, a ideia abstrata do número, é o mesmo.

And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra.

E podemos ver isso agora: voltamos às paredes do Alhambra.

Here are two very different walls,

Estas duas paredes são muito diferentes, as imagens geométricas são diferentes.

very different geometric pictures.

But, using the language of Galois,

Mas, usando o idioma de Galois,

we can understand that the underlying abstract symmetries of these things

podemos perceber que as simetrias abstratas

are actually the same.

subjacentes a essas coisas, são as mesmas.

For example, let's take this beautiful wall

Por exemplo, olhemos para esta bela parede

with the triangles with a little twist on them.

com os triângulos com a ponta levemente retorcida.

You can rotate them by a sixth of a turn

Podemos rodá-los 1/6 de volta se ignorarmos as cores.

if you ignore the colors. We're not matching up the colors.

Não estamos a combinar as cores.

But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn

Mas as formas combinam-se se eu rodar 1/6 de volta

around the point where all the triangles meet.

em torno do ponto onde todos os triângulos se encontram.

What about the center of a triangle? I can rotate

E o centro do triângulo?

Posso rodar 1/3 de volta em torno do centro do triângulo,

by a third of a turn around the center of the triangle,

and everything matches up.

e tudo corresponde.

And then there is an interesting place halfway along an edge,

Há um local interessante a meio caminho ao longo de uma borda,

where I can rotate by 180 degrees.

onde posso rodar a 180 graus

And all the tiles match up again.

e todos os azulejos correspondem novamente.

So rotate along halfway along the edge, and they all match up.

Rodamos a meio caminho ao longo da borda, e todos eles combinam.

Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra.

Passemos para a parede de aspeto diferente no Alhambra.

And we find the same symmetries here, and the same interaction.

Encontramos aqui as mesmas simetrias e a mesma interação.

So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet.

Então, tínhamos 1/6 de volta,

um terço de volta, onde as peças Z se encontram.

And the half a turn is halfway between the six pointed stars.

E a meia volta está a meio caminho entre as seis estrelas pontiagudas.

And although these walls look very different,

Embora essas paredes pareçam muito diferentes,

Galois has produced a language to say

Galois produziu uma linguagem para dizer

that in fact the symmetries underlying these are exactly the same.

que, de facto, as simetrias subjacentes são exatamente as mesmas.

And it's a symmetry we call 6-3-2.

É uma simetria a que chamamos 6-3-2.

Here is another example in the Alhambra.

Este é outro exemplo no Alhambra.

This is a wall, a ceiling, and a floor.

É uma parede, um teto e um chão.

They all look very different. But this language allows us to say

Parecem muito diferentes, mas esta linguagem permite-nos dizer

that they are representations of the same symmetrical abstract object,

que são representações do mesmo objeto abstrato simétrico,

which we call 4-4-2. Nothing to do with football,

a que chamamos 4-4-2.

Não tem nada a ver com o futebol,

but because of the fact that there are two places where you can rotate

mas com o facto de haver dois locais onde podemos rodar

by a quarter of a turn, and one by half a turn.

um quarto de volta, e uma meia volta.

Now, this power of the language is even more,

Este poder da linguagem é ainda maior, porque Galois pode dizer:

because Galois can say,

"Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries

"Terão os artistas mouros descoberto todas as possíveis simetrias

on the walls in the Alhambra?"

"nas paredes da Alhambra?"

And it turns out they almost did.

Acontece que quase o fizeram.

You can prove, using Galois' language,

Podemos prová-lo, usando a linguagem de Galois.

there are actually only 17

Só podemos fazer 17 diferentes simetrias

different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra.

nas paredes da Alhambra.

And they, if you try to produce a different wall with this 18th one,

Se tentarmos produzir uma parede diferente com estas 18,

it will have to have the same symmetries as one of these 17.

terá que ter as mesmas simetrias que cada uma dessas 17.

But these are things that we can see.

Estas são coisas que podemos ver.

And the power of Galois' mathematical language

O poder da linguagem matemática de Galois

is it also allows us to create

também nos permite criar objetos simétricos no mundo invisível.

symmetrical objects in the unseen world,

beyond the two-dimensional, three-dimensional,

Para além do espaço a duas ou a três dimensões,

all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space.

até ao espaço a quatro ou cinco ou infinitas dimensões.

And that's where I work. I create

É aí que eu trabalho.

mathematical objects, symmetrical objects,

Eu crio objetos matemáticos, objetos simétricos

using Galois' language,

usando a linguagem de Galois, em espaços dimensionais muito elevados.

in very high dimensional spaces.

So I think it's a great example of things unseen,

Acho que é um ótimo exemplo de coisas invisíveis,

which the power of mathematical language allows you to create.

que o poder da linguagem matemática permite que criemos.

So, like Galois, I stayed up all last night

Tal como Galois, fiquei acordado toda a noite passada,

creating a new mathematical symmetrical object for you,

criando um novo objeto matemático simétrico para vocês,

and I've got a picture of it here.

Tenho aqui uma imagem.

Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board

Infelizmente não é realmente uma imagem.

Se eu pudesse ter aqui o meu quadro seria ótimo, excelente.

at the side here, great, excellent.

Here we are. Unfortunately, I can't show you

Cá estamos.

Infelizmente, não posso mostrar-vos uma imagem desse objeto simétrico.

a picture of this symmetrical object.

But here is the language which describes

Mas está aqui a linguagem que descreve como as simetrias interagem.

how the symmetries interact.

Now, this new symmetrical object

Este novo objeto simétrico ainda não tem um nome.

does not have a name yet.

Now, people like getting their names on things,

As pessoas gostam de dar o seu nome a coisas,

on craters on the moon

a crateras na lua ou a novas espécies de animais.

or new species of animals.

So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object

Eu vou dar-vos a hipótese de darem o vosso nome

a um novo objeto simétrico que ainda não tem nome.

which hasn't been named before.

And this thing -- species die away,

As espécies desaparecem,

and moons kind of get hit by meteors and explode --

as luas são atingidas por meteoros e explodem.

but this mathematical object will live forever.

Mas este objeto matemático viverá para sempre.

It will make you immortal.

Tornar-vos-á imortais.

In order to win this symmetrical object,

Para ganhar este objeto simétrico,

what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning.

têm que responder à pergunta que eu fiz, no começo.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

Quantas simetrias tem o cubo de Rubik?

Okay, I'm going to sort you out.

Ok, vou organizar-vos.

Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are

Em vez de todos começarem a gritar, quero que digam

quantos dígitos há nesse número. Ok?

in that number. Okay?

If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials.

Se vocês o têm como um fatorial, têm que expandir os fatoriais.

Okay, now if you want to play,

Ok, agora, quem quiser jogar, tem que se levantar, ok?

I want you to stand up, okay?

If you think you've got an estimate for how many digits,

Quem acha que tem uma estimativa de quantos dígitos,

right -- we've already got one competitor here.

certo — já temos aqui um concorrente.

If you all stay down he wins it automatically.

Se os outros ficarem abaixo, ele ganha automaticamente.

Okay. Excellent. So we've got four here, five, six.

Ok. Excelente. Temos aqui quatro, cinco e seis.

Great. Excellent. That should get us going. All right.

Ótimo. Excelente. Isso deve chegar. Ok.

Anybody with five or less digits, you've got to sit down,

Se houver alguém com cinco ou menos dígitos, tem que se sentar,

because you've underestimated.

porque calculou por baixo.

Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down.

Cinco dígitos ou menos.

Se vocês estiverem nas dezenas de milhar, têm que se sentar.

60 digits or more, you've got to sit down.

Sessenta dígitos ou mais, vocês têm que se sentar.

You've overestimated.

Vocês avaliaram por excesso.

20 digits or less, sit down.

Vinte dígitos ou menos, sentem-se.

How many digits are there in your number?

Quantos dígitos há no seu número?

Two? So you should have sat down earlier.

Dois? Então já devia ter-se sentado.

(Laughter)

(Risos)

Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay?

Vamos ter de novo os outros, que se sentaram durante os 20. Ok?

If I told you 20 or less, stand up.

Se eu disse 20 ou menos, levantem-se.

Because this one. I think there were a few here.

Por causa deste. Acho que havia aqui alguns.

The people who just last sat down.

As pessoas que acabaram de se sentar.

Okay, how many digits do you have in your number?

Ok, quantos dígitos tem no seu número?

(Laughs)

(Risos)

21. Okay good. How many do you have in yours?

Vinte e um. Ok, bom. Quantos é que tem no seu?

18. So it goes to this lady here.

Dezoito. Então vai para esta senhora aqui.

21 is the closest.

Vinte e um é o mais próximo.

It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube

Na verdade, o número de simetrias no cubo de Rubik

has 25 digits.

tem 25 dígitos.

So now I need to name this object.

Agora é preciso dar um nome a este objeto.

So, what is your name?

Qual é o seu nome?

I need your surname. Symmetrical objects generally --

Eu preciso do seu apelido.

Os objetos simétricos geralmente... soletre para mim.

spell it for me.

G-H-E-Z

G-H-E-Z

No, SO2 has already been used, actually,

Não, SO2 já foi usado na linguagem matemática.

in the mathematical language. So you can't have that one.

Não pode ser esse.

So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object.

Pronto, Ghez. Esse é o seu novo objeto simétrico.

You are now immortal.

Você é agora imortal.

(Applause)

(Aplausos)

And if you'd like your own symmetrical object,

E se quiserem o vosso objeto simétrico,

I have a project raising money for a charity in Guatemala,

tenho um projeto de angariação de dinheiro

para uma instituição de caridade na Guatemala,

where I will stay up all night and devise an object for you,

e vou ficar acordado toda a noite a planear um objeto para vocês,

for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala.

para ajudar as crianças a ir à escola na Guatemala.

And I think what drives me, as a mathematician,

Acho que o que me impulsiona, como matemático,

are those things which are not seen, the things that we haven't discovered.

são as coisas que não se veem, as coisas que não descobrimos.

It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject.

São todas as perguntas sem resposta que tornam a matemática um assunto vivo.

And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness":

E sempre voltarei a esta citação dos "Ensaios na Ociosidade" dos japoneses:

"In everything, uniformity is undesirable.

"Em tudo... a uniformidade é indesejável.

Leaving something incomplete makes it interesting,

"Deixar algo incompleto torna-a interessante,

"e dá a impressão de que há espaço para o crescimento".

and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you.

Obrigado.

(Applause)

(Aplausos)