Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

번역: Young-ho Park 검토: K Bang

On the 30th of May, 1832,

1832년 5월 30일

a gunshot was heard

총소리가 들렸는데

ringing out across the 13th arrondissement in Paris.

그것은 파리의 13 아롱디스망에서 울려나온 것이었죠.

(Gunshot)

(총소리)

A peasant, who was walking to market that morning,

그날 아침 시장으로 걸어가던 농민 한명이

ran towards where the gunshot had come from,

총소리가 난 곳으로 뛰어가 보니

and found a young man writhing in agony on the floor,

젊은 청년이 땅에 쓰러친 채, 고통속에 몸을 뒤틀고 있었지요.

clearly shot by a dueling wound.

총으로 결투를 하다가 총에 맞은 것이죠.

The young man's name was Evariste Galois.

그 청년의 이름은 에바리스트 갈루아였습니다.

He was a well-known revolutionary in Paris at the time.

그는 당시 파리에서 잘 알려진 혁명 당원이었지요.

Galois was taken to the local hospital

갈루아는 지역 병원으로 후송되었는데

where he died the next day in the arms of his brother.

다음날 그 병원에서 그는 남동생의 품에 안겨 숨을 거두었습니다.

And the last words he said to his brother were,

"알프레야, 나땜에 울지마.

"Don't cry for me, Alfred.

20살이라는 젊은 나이에 죽어야 하는

I need all the courage I can muster

나는 모든 용기가 필요해"라는 말을 하고

to die at the age of 20."

숨을 거두었다고 합니다.

It wasn't, in fact, revolutionary politics

갈루아가 유명한 것은 혁명을 위한 그의

for which Galois was famous.

정치 활동 때문은 아니었지요.

But a few years earlier, while still at school,

갈루아가 죽기 몇 년전 그러니까

he'd actually cracked one of the big mathematical

아직 학교에 다닐 때, 그는 그 당시 가장 큰 수학적

problems at the time.

난제 하나를 풀었지요.

And he wrote to the academicians in Paris,

그래서 갈루아는 그의 이론을 설명하는 편지를 써서

trying to explain his theory.

파리에 있는 수학 학술원 회원들에게 보냈지요.

But the academicians couldn't understand anything that he wrote.

그런데 그들은 갈루아가 쓴 편지를 이해할 수 없었지요.

(Laughter)

(웃음)

This is how he wrote most of his mathematics.

갈루아는 그의 수학을 대부분 이런식으로 썼어요.

So, the night before that duel, he realized

그래서 그는 결투를 하기 전날에 어쩌면

this possibly is his last chance

그날이 자기의 귀중한 수학적 발견을 세상에 설명할 수 있는

to try and explain his great breakthrough.

마지막 기회일지도 모른다고 생각했지요.

So he stayed up the whole night, writing away,

그래서 그는 밤을 새고 그의 대칭에 대한

trying to explain his ideas.

아이디어를 글로 담았지요.

And as the dawn came up and he went to meet his destiny,

동틀녘에 그는 자신의 운명을 맞으러 나갔고

he left this pile of papers on the table for the next generation.

그는 책상위에 후손을 위해 대칭에 대한 종이 더미를 남겼지요.

Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics

어쩌면 그가 밤을 새며 수학적 설명을 썼기 때문에

was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

그 다음날 아침에 총을 제대로 쏘지 못했을지 모르죠.

But contained inside those documents

그러나 그가 남긴 문서에는

was a new language, a language to understand

과학의 가장 근본적인 개념의 하나,

one of the most fundamental concepts

즉 대칭을 설명해 주는

of science -- namely symmetry.

새로운 언어가 담겨있었죠.

Now, symmetry is almost nature's language.

대칭은 자연의 언어라고도 말할 수 있지요.

It helps us to understand so many

대칭은 과학 세계의 여러 분야를

different bits of the scientific world.

이해할 수 있게 도와 줍니다.

For example, molecular structure.

예를 들면, 분자의 구조라든지

What crystals are possible,

어떤 결정체의 모양이 가능하다든지

we can understand through the mathematics of symmetry.

하는 것을 대칭의 수학을 통해 이해할 수 있죠.

In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,

그런데 대칭적인 모양의 미생물들은 좋지 않아요.

because they are generally rather nasty.

왜냐하면 그런 미생물은 대부분 악종이니까요.

The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.

요즘 유행되는 돼지독감 바이러스도 대칭적인 모양이지요.

And it uses the efficiency of symmetry

이 바이러스의 번식율이 그렇게

to be able to propagate itself so well.

왕성한 것도 그 바이러스의 대칭성 때문입니다.

But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,

생물학의 많은 다른 분야에서도 대칭성이 매우 중요한데

because it actually communicates genetic information.

그 이유는 유전 정보가 대칭적으로 교환되기 때문입니다.

I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.

여기의 사진들은 제가 일부러 대칭이 되도록 조작한 것입니다.

And if I ask you which of these you find more beautiful,

제가 여러분께 어떤 사진이 더 아름다운지 물어보면

you're probably drawn to the lower two.

아마도 아래 쪽 사진 두개를 고르시겠죠.

Because it is hard to make symmetry.

그 이유는 대칭을 만들기가 어렵기 때문입니다.

And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign

그래서 대칭적으로 잘 생긴 사람들은

that you've got good genes, you've got a good upbringing

자기는 씨가 좋고 잘 양육받았기 때문에 대칭적으로 생겼고 따라서

and therefore you'll make a good mate.

좋은 배우자감이라고 선전하지요.

So symmetry is a language which can help to communicate

그래서, 대칭성은 유전자에 대한 정보를 알려줄 수 있는

genetic information.

좋은 언어입니다.

Symmetry can also help us to explain

대칭성은 또한 CERN에 있는 거대 하드론 충돌기에서

what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.

일어나는 현상을 이해하는데도 도움을 주지요.

Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.

또는 왜 작동하지 않았는지를 이해하는데도 도움이 되지요 (비꼬는 농담)

To be able to make predictions about the fundamental particles

LHC를 통해 볼 수 있을지도 모르는 기본입자들에 대해서

we might see there,

예측을 하자면

it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape

그것들은 고차원의 공간에 존재하는 괴상한 대칭적

in a higher dimensional space.

모양의 측면일지도 모릅니다.

And I think Galileo summed up, very nicely,

갈릴레오는 우리를 둘러싼 세계를 과학적으로

the power of mathematics

이해할 수 있게 해주는

to understand the scientific world around us.

수학의 힘을 함축성있고 멋있게 표현했지요.

He wrote, "The universe cannot be read

그는, "우주가 씌여진 언어를

until we have learnt the language

우리가 배우고 우리가 그 언어에

and become familiar with the characters in which it is written.

익숙해 질 때 까지 우리는 우주를 읽을 수 없다" 라고 말했지요.

It is written in mathematical language,

우주는 수학 언어로 씌여져 있습니다.

and the letters are triangles, circles and other geometric figures,

그 언어의 알파벳은 삼각형, 원 및 기타 기하학적 모양들 이기때문에

without which means it is humanly impossible

이런 것들을 사용하지 않으면 인간의 힘으로는

to comprehend a single word."

한마디도 이해할 수 없지요.

But it's not just scientists who are interested in symmetry.

그러나, 과학자들만 대칭에 관심이 있는것은 아니지요.

Artists too love to play around with symmetry.

예술가들도 대칭에 많은 관심을 보였어요.

They also have a slightly more ambiguous relationship with it.

그들은 또한 대칭과 약간 애매모호한 관계를 가졌지요.

Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."

토마스 만의 소설 "마의 산"에는 대칭에 대한 다음과 같은 문구가 있습니다.

He has a character describing the snowflake,

그 소설의 한 캐릭터는

and he says he "shuddered at its perfect precision,

"(나는) 눈송이의 완벽한 정밀성에 무서워 떨고,

found it deathly, the very marrow of death."

그것이 마치 죽음의 본질 같이 느껴진다"고 말했지요.

But what artists like to do is to set up expectations

그러나 예술가들은 대칭에 대한 우리의 기대를 일단 높여 놓고

of symmetry and then break them.

그 기대를 다시 깨트리는 것을 좋아하지요.

And a beautiful example of this

제가 일본에 있는 동료인

I found, actually, when I visited a colleague of mine

쿠로카와 교수를 찾아갔을 때

in Japan, Professor Kurokawa.

바로 그런 일이 있었어요.

And he took me up to the temples in Nikko.

그는 니코시(市)에 있는 절로 저를 데리고 갔지요.

And just after this photo was taken we walked up the stairs.

이 사진을 찍고 난 직후에 우리들은 계단을 올라갔습니다

And the gateway you see behind

그런데 사진의 뒤에 보이는 관문에

has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.

기둥이 8개 있었는데 이들은 아름다운 대칭이 되는 디자인이었지요.

Seven of them are exactly the same,

그런데 그중 7개는 똑같았지만

and the eighth one is turned upside down.

한개는 꺼꾸로 박혀 있었지요.

And I said to Professor Kurokawa,

그래서 제가 쿠로카와 교수에게

"Wow, the architects must have really been kicking themselves

"에이구, 이 기둥이 꺼꾸로 박혔다는 것을

when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."

건축가가 알면 까무러 치겠네요" 라고 말했더니

And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."

"아니, 아니, 그건 일부러 그렇게 한거예요" 라고 말하며

And he referred me to this lovely quote from the Japanese

다음과 같은 멋진 이야기를 해주더군요.

"Essays in Idleness" from the 14th century,

14세기의 일본 작가가 쓴 "한가한 수필"이라는 책에

in which the essayist wrote, "In everything,

"모든 것에 있어 균일성은 바람직하지 않다.

uniformity is undesirable.

무엇인가 남겨두는 것이 더 흥미를 돋구며,

Leaving something incomplete makes it interesting,

발전의 가능성을 느낄 수 있게 한다"

and gives one the feeling that there is room for growth."

라는 문구가 있다고 말해 주더군요.

Even when building the Imperial Palace,

그래서, 심지어는 제국의 궁전을 지을 때도

they always leave one place unfinished.

한 부분을 미완성 상태로 둔답니다.

But if I had to choose one building in the world

만약에 제가 무인도 섬에 살면서 제 나머지

to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,

평생을 살 집을 골라야 한다면, 저는 대칭 중독자이니까

being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.

아마 그라나다에 있는 알함브라 궁전을 택할지 모릅니다.

This is a palace celebrating symmetry.

이 궁전은 대칭을 찬미합니다.

Recently I took my family --

저는 최근에 제 가족과 같이

we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.

여기를 갔었는데 우리 가족은 이런 수학 매니아적인 휴가를 즐기죠.

This is my son Tamer. You can see

이건 제 아들 타머인데 보시는 바와같이

he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.

그는 알함브라의 수학적 테마에 대한 휴가를 정말로 즐기고 있죠.

But I wanted to try and enrich him.

저는 제 아들에게 좋은 교육의 기회를 주려고 했어요.

I think one of the problems about school mathematics

학교에서 가르치는 수학의 문제점 중의 하나는

is it doesn't look at how mathematics is embedded

수학이 우리가 살고있는 실제 세계에 내포되어

in the world we live in.

있다는 것을 보여주지 않는다는 것이죠.

So, I wanted to open his eyes up to

그래서 저는 제 아들이 알함브라 궁전에

how much symmetry is running through the Alhambra.

얼마나 대칭이 많은지 깨닫게 되기를 바랬죠.

You see it already. Immediately you go in,

그 궁전 안으로 들어가자 마자 수면에

the reflective symmetry in the water.

반사대칭이 보이지요.

But it's on the walls where all the exciting things are happening.

그러나 정말로 흥미있는 부분은 벽입니다.

The Moorish artists were denied the possibility

무어의 예술가들은 영혼이 있는 사물들을

to draw things with souls.

그림으로 그리는 것이 금지돼 있었지요.

So they explored a more geometric art.

그래서 그들은 기하학적인 예술을 추구했지요.

And so what is symmetry?

과연 대칭이란것은 무엇일까요?

The Alhambra somehow asks all of these questions.

알함브라 궁전을 보면 다음과 같은 질문을 하게 되죠.

What is symmetry? When [there] are two of these walls,

대칭이란 무엇인가요? 이런 벽이 두개가 있으면

do they have the same symmetries?

그들의 대칭은 같은 종류인가?

Can we say whether they discovered

알함브라 궁전은 가능한 모든

all of the symmetries in the Alhambra?

대칭을 다 보여 주나요?

And it was Galois who produced a language

이러한 질문을 답해 줄 수 있는 언어를

to be able to answer some of these questions.

만든 사람이 바로 갈루아였지요.

For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,

대칭에서 정적과 죽음만 느낀 작가 토마스 만과는 달리

which was something still and deathly --

갈루아에게 있어 대칭은

for Galois, symmetry was all about motion.

움직임에 관련된 것이었지요.

What can you do to a symmetrical object,

대칭하는 개체를 가지고 무엇을 할 수 있을까?

move it in some way, so it looks the same

어떻게 하면 이들을 움직인 후 움직이기

as before you moved it?

전과 똑같이 보이게 할 수 있을까?

I like to describe it as the magic trick moves.

전 이런것들을 속임수같은 마술의 움직임이라고 말하죠.

What can you do to something? You close your eyes.

뭘 어떻게 한다는 말일까요? 지금 눈을 감아 보세요.

I do something, put it back down again.

그럼 제가 뭘 움직이고 난 후 손을 뗍니다.

It looks like it did before it started.

그런데 움직이기 전과 똑 같이 보이지요.

So, for example, the walls in the Alhambra --

예를 들어 알함브라 궁전의 벽에 있는

I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,

벽에 있는 타일들을 들어내서 여기에 보이는 노랑 점을 중심으로

rotate them by 90 degrees,

90도 회전시킨 후

put them all back down again and they fit perfectly down there.

벽에다 다시 붙이면 그 자리에 꼭 끼게 되지요.

And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.

그리고 눈을 뜨면 그 타일들을 움직였다는 것을 전혀 알 수 없지요.

But it's the motion that really characterizes the symmetry

알함브라 궁전에 있는 대칭의 특징은 사실

inside the Alhambra.

움직임 이지요.

But it's also about producing a language to describe this.

대칭을 묘사하는 언어도 역시 중요하지요.

And the power of mathematics is often

수학의 힘은 종종 어떤 것을 다른 것으로

to change one thing into another, to change geometry into language.

바꾸는데 있지요 -- 그 일례는 기하학을 언어로 바꾸는것이지요.

So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --

그래서 전 이제 여러분을 수학의 세계로 잠시 모시겠습니다. --

so brace yourselves --

잠시만 참아 주세요 --

push you a little bit to understand how this language works,

저는 대칭을 이해할 수 있게 도와주는 언어라는 것이

which enables us to capture what is symmetry.

어떤 것인지 몇마디 드리겠습니다.

So, let's take these two symmetrical objects here.

여기에 지금 대칭되는 개체가 2개 있지요.

Let's take the twisted six-pointed starfish.

약간 휘어진 다리가 6개 달린 불가사리를 보죠.

What can I do to the starfish which makes it look the same?

이 불가사리를 어떻게 움직이면 전과 똑같이 보일까요?

Well, there I rotated it by a sixth of a turn,

그렇죠. 1/6 회전 시키면 되죠.

and still it looks like it did before I started.

그렇게 돌려도 전과 똑같이 보여요.

I could rotate it by a third of a turn,

이걸 1/3 회전시켜도 되고,

or a half a turn,

반 회전도 좋고,

or put it back down on its image, or two thirds of a turn.

그냥 들었다가 그자리에 다시 놔도 되고, 2/3 회전 시켜도 되고

And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.

5번째 대칭으로 5/6회전 시켜도 되지요.

And those are things that I can do to the symmetrical object

대칭되는 개체가 움직인 후에도 똑같이 보게

that make it look like it did before I started.

만드는 방법은 이런 것들이죠.

Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.

그런데 갈루아는 6번째 대칭을 생각해 냈지요.

Can anybody think what else I could do to this

여러분께서 이것을 움직여서 처음과 똑 같이

which would leave it like I did before I started?

되게 하는 다른 방법을 생각하실 수 있나요?

I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?

그런데 다리가 휘었기 때문에 뒤집을 수는 없지요.

It's got no reflective symmetry.

반사대칭이 없다는 이야기죠.

But what I could do is just leave it where it is,

그러나, 제가 이것을 그냥 놔뒀다가, 위로

pick it up, and put it down again.

들어올렸다가 다시 그대로 내려 놓을 수는 있지요.

And for Galois this was like the zeroth symmetry.

갈루아에게는 이것이 제로 대칭 같은 것이었지요.

Actually, the invention of the number zero

사실 제로라는 숫자는 인도인들이

was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.

7세기에 발견한 매우 현대적인 개념이지요.

It seems mad to talk about nothing.

없는 것에 대해 말하는 것은 미친 행동 같이 보일 수 있습니다.

And this is the same idea. This is a symmetrical --

제로대칭도 마찬가지죠. 그것도 대칭이니까요 --

so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

가만히 내버려둬도 대칭이 되니까 어디든지 대칭이 있는 거죠.

So, this object has six symmetries.

자, 이 개체에는 6개의 대칭이 있지요.

And what about the triangle?

그러면 삼각형은 어떨까요?

Well, I can rotate by a third of a turn clockwise

이것을 시계방향으로 1/3 회전 시키거나

or a third of a turn anticlockwise.

또는 반시계방향으로 1/3 회전 시킬 수 있죠.

But now this has some reflectional symmetry.

이 모양은 반사대칭이 몇개 있지요.

I can reflect it in the line through X,

X점을 통과하는 선,

or the line through Y,

Y점을 통과하는 선,

or the line through Z.

Z점을 통과하는 기준선을 중심으로 반사할 수 있죠.

Five symmetries and then of course the zeroth symmetry

그러면 5개의 대칭과 그냥 들었다가

where I just pick it up and leave it where it is.

다시 그자리에 놓는 제로 대칭이 있지요.

So both of these objects have six symmetries.

그래서 이들은 모두 6개의 대칭이 있어요.

Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,

그런데 저는 수학을 구경하는 스포츠가 아니라고 믿습니다.

and you have to do some mathematics

여러분이 진실로 이해를 하시려면

in order to really understand it.

실지로 수학을 하셔야 합니다.

So here is a little question for you.

그래서 제가 작은 질문을 하나 드리죠.

And I'm going to give a prize at the end of my talk

그리고 제 강연이 끝날때 가장 정확한 답을

for the person who gets closest to the answer.

생각해 내신 분께 제가 상을 하나 드리지요.

The Rubik's Cube.

루빅 큐브입니다.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

루빅큐브에 대칭이 몇개 있을까요?

How many things can I do to this object

이 큐브에 어떤 행동을 취하고 다시 내려 놓았을 때

and put it down so it still looks like a cube?

전처럼 큐브로 보이게 할 수 있는 방법이 몇가지가 있을까요?

Okay? So I want you to think about that problem as we go on,

아셨죠? 그럼 제 강연을 들으시며 이 문제를 생각하고

and count how many symmetries there are.

대칭이 몇개 있는지 세어 보세요.

And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

가장 가까운 답을 하시는 분이 상을 타게 됩니다.

But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.

이 두 개체에 대한 대칭이야기로 다시 돌아가지요.

What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,

갈루아는 어떤 개체의 대칭에 진정한 특징을 주는 것은

but how they interact with each other

각각 대칭이라기 보다는 그 대칭들이

which really characterizes the symmetry of an object.

어떻게 상호작용을 하는가에 달려 있다는 것을 깨달았지요.

If I do one magic trick move followed by another,

만약에 제가 속임수 마술 움직임을 한번하고, 또 한번 더

the combination is a third magic trick move.

마술 움직임을 하면 그 결과는 세번째

And here we see Galois starting to develop

마술 움직임이 되지요. 우리는 여기서 갈루아가

a language to see the substance

물리적인 실체의 대칭에 대한 일종의 추상적인

of the things unseen, the sort of abstract idea

생각과 같은 우리의 눈으로는 볼 수 없는 것을 묘사해

of the symmetry underlying this physical object.

주는 언어를 개발하기 시작했다는 것을 볼 수 있습니다.

For example, what if I turn the starfish

예를 들면 제가 위의 불가사리를

by a sixth of a turn,

1/6 회전 돌리고, 잇달아서

and then a third of a turn?

1/3 회전 돌리면 어떻게 될까요?

So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,

제가 대문자로 A, B, C, D, E, F 라는

are the names for the rotations.

회전 이름을 붙였습니다.

B, for example, rotates the little yellow dot

예를들면 B는 노란 점을 불가사리의 B로

to the B on the starfish. And so on.

회전시키는 것이지요. 등등.

So what if I do B, which is a sixth of a turn,

그래서 제가 B를 하면 1/6 회전을 하는 것이고,

followed by C, which is a third of a turn?

그 후에 1/3 회전인 C를 하면 어떻게 될까요?

Well let's do that. A sixth of a turn,

자 이제 해 보죠. 1/6 회전 돌리고,

followed by a third of a turn,

그 다음에 1/3 회전하죠 그러면

the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.

이 두 움직임을 합친 효과는 한꺼번에 1/2회전 하는 것이나 마찬가지지요.

So the little table here records

이것은 이와 같은 대칭들의 결과

how the algebra of these symmetries work.

즉, 대칭의 대수를 표의 형식(대칭행렬)으로 나타낸 것입니다.

I do one followed by another, the answer is

제가 대칭적인 움직임들을 두번 연달아 하면

it's rotation D, half a turn.

그 답이 D 회전, 즉 1/2 회전으로 나옵니다.

What I if I did it in the other order? Would it make any difference?

제가 움직이는 순서를 바꾸면 답이 다르게 나올까요?

Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.

실지로 한번 해보죠. 1/3 회전을 먼저하고, 다음에 1/6 회전을 합니다.

Of course, it doesn't make any difference.

물론, 아무런 차이가 없죠.

It still ends up at half a turn.

결과는 역시 1/2 회전이지요.

And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.

대칭들이 서로 상호작용을 하는 데에도 대칭이 있습니다.

But this is completely different to the symmetries of the triangle.

그러나 이것은 삼각형의 대칭들과는 완전히 다르지요.

Let's see what happens if we do two symmetries

이제 이 삼각형을 두번 연달아서 대칭시키면

with the triangle, one after the other.

어떻게 되는지 볼까요.

Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise,

반시계방향으로 1/3 회전시키고

and reflect in the line through X.

X를 통과하는 기준선으로 반사해 봅니다.

Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z

이 두 움직임의 결과는 Z를 통과하는 기준선에 따라 반사하는 것과

to start with.

마찬가지 이지요.

Now, let's do it in a different order.

이제 대칭하는 순서를 바꿔보죠.

Let's do the reflection in X first,

X를 통과하는 기준선으로 반사를 하고

followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise.

반시계방향으로 1/3 회전시킵니다.

The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different.

이 두 움직임을 합친 결과는 이전과는 전혀 다른 위치가 됩니다.

It's as if it was reflected in the line through Y.

그 결과는 마치 Y를 통과하는 기준선으로 반사한 것과 같지요.

Now it matters what order you do the operations in.

이런 경우에는 대칭 이동의 순서가 중요합니다.

And this enables us to distinguish

이 사실은 이 개체들의 대칭을

why the symmetries of these objects --

구별할 수 있게 해주죠. 그런데, 이 두

they both have six symmetries. So why shouldn't we say

개체들이 모두 6개의 대칭을 가지고 있는데

they have the same symmetries?

왜 우리들은 이들의 대칭이 같다고 말할 수 없을까요?

But the way the symmetries interact

그러나 우리는 이제 대칭을 묘사하는

enable us -- we've now got a language

언어를 가지고 있기 때문에 이 대칭들의

to distinguish why these symmetries are fundamentally different.

상호작용을 통해 이 대칭들의 근본적인 차이를 설명할 수 있습니다.

And you can try this when you go down to the pub, later on.

여러분들이 나중에 술집에 가시면 이걸 시도해 보실 수 있죠.

Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn,

비어매트를 들고 90도 돌린 다음에 그 잔받침를

then flip it. And then do it in the other order,

뒤집는 거죠. 그리고는 그 반대 순서로 반복하죠.

and the picture will be facing in the opposite direction.

그러면 그 잔받침의 그림이 원래의 반대 방향을 향합니다.

Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact.

갈루아는 이 대칭행렬, 즉 대칭의 상호작용에 대한 법칙을 제의했습니다.

It's almost like little Sudoku tables.

이것은 작은 수도쿠 표와 거의 비슷합니다.

You don't see any symmetry twice

같은 대칭이 한번 이상 나타나는

in any row or column.

행이나 열은 하나도 없지요.

And, using those rules, he was able to say

이런 규칙을 사용해서 그는 6개의 대칭이

that there are in fact only two objects

있는 개체는 2개만 있다는 것을

with six symmetries.

보여줬지요.

And they'll be the same as the symmetries of the triangle,

그리고 이들은 삼각형의 대칭이나 또는

or the symmetries of the six-pointed starfish.

발이 6개 달린 불가사리와 같지요.

I think this is an amazing development.

저는 이것은 엄청난 발전이라고 생각합니다.

It's almost like the concept of number being developed for symmetry.

이것은 마치 대칭에 숫자라는 개념이 개발된 것과 같다고 생각합니다.

In the front here, I've got one, two, three people

지금 여기 제 앞에 하나, 둘, 세명의 사람이

sitting on one, two, three chairs.

하나, 둘, 세개의 의자에 앉아 있지요.

The people and the chairs are very different,

각 의자에 않은 사람들은 각각 매우 다르지만,

but the number, the abstract idea of the number, is the same.

숫자, 즉 추상적인 숫자의 개념은 같지요.

And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra.

우리는 이제 이해할 수 있지요: 알함브라 궁전의 벽으로 되돌아 가볼까요.

Here are two very different walls,

이들 두 벽에 있는 그림들의 모양은

very different geometric pictures.

기하학적으로 완전히 다릅니다.

But, using the language of Galois,

그러나, 갈루아의 언어를 사용하면

we can understand that the underlying abstract symmetries of these things

이들의 기본적인 추상적 대칭들은 사실상 똑같다는 것을

are actually the same.

이해할 수 있지요.

For example, let's take this beautiful wall

예를들어, 꼭지점들이 휘어진 삼각형으로

with the triangles with a little twist on them.

장식된 아름다운 이 벽을 보세요.

You can rotate them by a sixth of a turn

색갈은 무시하고 이것을 1/6 회전시켜 보세요.

if you ignore the colors. We're not matching up the colors.

우리는 색의 대응은 고려하지 않습니다.

But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn

삼각형이 만나는 점을 중심으로 해서 1/6 회전

around the point where all the triangles meet.

시키면 모든 삼각형들이 겹치죠.

What about the center of a triangle? I can rotate

삼각형의 중심은 어떨까요? 삼각형의 중심을

by a third of a turn around the center of the triangle,

중심으로 해서 1/3 회전 시켜도

and everything matches up.

모든 것이 겹칩니다.

And then there is an interesting place halfway along an edge,

그리고 삼각형의 가장자리의 중간이 흥미있는 곳인데

where I can rotate by 180 degrees.

이 중간지점을 중심으로 180도

And all the tiles match up again.

회전시켜도 모든 타일이 겹치게 됩니다.

So rotate along halfway along the edge, and they all match up.

자 지금 그 중간 지점을 중심으로 회전합니다 -- 맞지요?

Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra.

이제 알함브라에 있는 완전히 다르게 보이는 벽을 볼까요.

And we find the same symmetries here, and the same interaction.

그런데 이곳에서도 같은 대칭과 상호작용을 볼 수 있어요.

So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet.

1/6 회전도 마찬가지고, Z 모양의 타일들이 만나는 곳에서 1/3 회전,

And the half a turn is halfway between the six pointed stars.

그리고 1/2 회전을 하는 부분은 6개 꼭지 별들의 중간 지점이죠.

And although these walls look very different,

비록 이들 벽장식이 매우 다르지만

Galois has produced a language to say

갈루아는 이들의 기본적인 대칭성은

that in fact the symmetries underlying these are exactly the same.

똑같다는 것을 말해주는 언어를 만들었지요.

And it's a symmetry we call 6-3-2.

우리는 이 대칭을 6-3-2라고 부릅니다.

Here is another example in the Alhambra.

알함브라에는 또 다른 대칭의 예가 있습니다.

This is a wall, a ceiling, and a floor.

이것은 벽, 천장, 그리고 마루에요.

They all look very different. But this language allows us to say

이들은 모두 다 다르게 보이지요. 그렇지만 갈루아가 만든

that they are representations of the same symmetrical abstract object,

언어는 이들이 다 같은 추상적인 대칭적 개체의 표현이라는 것을 보여줍니다.

which we call 4-4-2. Nothing to do with football,

우리는 이것을 4-4-2 라고 하는데 축구와는 전혀 관련이 없고

but because of the fact that there are two places where you can rotate

1/4 회전을 할 수 있는 곳이 2군데 있고

by a quarter of a turn, and one by half a turn.

1/2 회전을 할 수 있는 곳이 한군데 있다는 말이지요.

Now, this power of the language is even more,

이 대칭 언어의 파워는 갈루아가

because Galois can say,

"무어 예술가들이 가능한

"Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries

모든 대칭을 알함브라의 벽에 보여주는가?"라는

on the walls in the Alhambra?"

대담한 질문을 할 수 있게 했죠.

And it turns out they almost did.

아닌게 아니라 그들이 거의 다 발견했더군요.

You can prove, using Galois' language,

갈루아의 언어를 사용하면

there are actually only 17

알함브라의 벽에서 가능한

different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra.

대칭이 총 17개 라는 것을 증명할 수 있어요.

And they, if you try to produce a different wall with this 18th one,

만약에 새로운 벽을 만들어서 18번째 대칭을 사용하려면

it will have to have the same symmetries as one of these 17.

그것은 불가능하고 17개 중에서 하나를 다시 골라야 합니다.

But these are things that we can see.

그렇지만 이것은 우리의 눈으로 볼 수 있는 것만 말하는 것이에요.

And the power of Galois' mathematical language

그러나 갈루아의 수학적 언어를

is it also allows us to create

사용하면 우리는 2차원 또는

symmetrical objects in the unseen world,

3차원의 세계를 벗어나서 4, 5 또는

beyond the two-dimensional, three-dimensional,

무한적인 차원의 우리가 눈으로

all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space.

볼 수 없는 세계의 대칭 개체를 만들 수 있지요.

And that's where I work. I create

제 전공분야가 바로 이 분야죠.

mathematical objects, symmetrical objects,

저는 갈루아의 언어를 사용해서 매우

using Galois' language,

고차원의 세계에서

in very high dimensional spaces.

수학적인 개체, 대칭적인 개체를 만들죠.

So I think it's a great example of things unseen,

저는 이런 것들은 수학 언어의 힘을 사용해서

which the power of mathematical language allows you to create.

우리가 만들 수 있는 눈으로는 볼 수 없는 개체들의 좋은 예라고 생각합니다.

So, like Galois, I stayed up all last night

그래서, 저도 갈루아처럼 어제 밤늦게 일해서

creating a new mathematical symmetrical object for you,

여러분을 위해 새로운 수학적 대칭 개체를 하나 만들었지요.

and I've got a picture of it here.

그 개체의 그림이 여기 있습니다.

Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board

그런데 불행히도 사실 이것이 그 개체의 진짜 그림은 아닙니다.

at the side here, great, excellent.

제 게시판을 이 옆에 --감사합니다.

Here we are. Unfortunately, I can't show you

자 여기 있습니다. 불행히도 제가

a picture of this symmetrical object.

이 대칭체의 그림을 보여 드릴 수는 없네요.

But here is the language which describes

그렇지만 이에 관련된 대칭들이 어떠한 상호작용을

how the symmetries interact.

갖는지를 설명하는 언어는 여기 적혀 있죠.

Now, this new symmetrical object

그런데 이 새로운 대칭되는 개체는

does not have a name yet.

아직 이름을 가지고 있지 않지아요.

Now, people like getting their names on things,

사람들은 예를 들자면 달의 분화구라던지,

on craters on the moon

새로운 동물의 종이라던지

or new species of animals.

하는 것에 자기 이름을 붙이는 것을 좋아하죠.

So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object

그래서, 저는 여러분께 새로운 이 대칭 개체를 여러분의 이름으로

which hasn't been named before.

처음으로 명명할 기회를 드리겠습니다.

And this thing -- species die away,

그런데 종은 멸종될 수도 있고

and moons kind of get hit by meteors and explode --

달은 위성과 부딛혀 폭발할지 모르죠--

but this mathematical object will live forever.

그러나 수학적 개체는 영원히 살아 남을 것입니다.

It will make you immortal.

여러분은 이 개채를 통해 영원히 기억될 것입니다.

In order to win this symmetrical object,

여러분께서 이 대칭 개체를 상으로 받으시려면

what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning.

제 강연의 첫 부분에서 제가 드렸던 질문에 답하셔야 합니다.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

루빅 큐브에 대칭이 몇개 있느냐는 거죠.

Okay, I'm going to sort you out.

자, 그러면 제가 승자를 가려내겠습니다.

Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are

여러분 모두가 각각 답을 외칠 필요가 없게 우선 여러분의 답이 몇자리 수인지

in that number. Okay?

지금 세보세요. 아셨죠?

If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials.

만약에 답이 계승식인 경우 계승값을 구하셔야 합니다.

Okay, now if you want to play,

자, 이제 승자를 뽑아야죠.

I want you to stand up, okay?

해당되는 분들은 일어나세요, 알았죠?

If you think you've got an estimate for how many digits,

여러분의 답이 대충 몆자리 수가 되는지 아시는 분은 일어나세요.

right -- we've already got one competitor here.

아- 벌써 한분이 일어 나셨습니다.

If you all stay down he wins it automatically.

일어 나는 사람이 더 없으면 이분이 자동으로 이깁니다.

Okay. Excellent. So we've got four here, five, six.

네, 좋습니다. 일어나신 분이 4, 5, 6

Great. Excellent. That should get us going. All right.

아주 좋습니다. 이 정도면 됩니다. 자 이제 시작하죠.

Anybody with five or less digits, you've got to sit down,

답이 5자리 또는 그 이하면 앉으세요.

because you've underestimated.

추측하신 숫자가 너무 작거든요.

Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down.

5자리 또는 그 이하, 그러니까 몇 만개 이하의 수인 경우 앉으세요.

60 digits or more, you've got to sit down.

60자리 또는 그 이상의 숫자도 앉으세요.

You've overestimated.

추측하신 수가 너무 큽니다.

20 digits or less, sit down.

20자리 또는 그 이하도 앉으세요.

How many digits are there in your number?

생각하신 답의 숫자가 몇개입니까?

Two? So you should have sat down earlier.

둘이요? 아, 그럼 전에 이미 앉으셔야 했습니다.

(Laughter)

(웃음)

Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay?

제가 20자리 숫자 이야기를 했을 때 앉으신 분들

If I told you 20 or less, stand up.

다시 일어나 보세요.

Because this one. I think there were a few here.

아까 몇 분 계셨는데 --

The people who just last sat down.

마지막으로 앉으신 분들 말입니다.

Okay, how many digits do you have in your number?

답이 몇자리 수죠?

(Laughs)

(웃음)

21. Okay good. How many do you have in yours?

21자리. 좋습니다. 몇자리 수죠?

18. So it goes to this lady here.

18. 아 그러면 여기 계신 여자분이 승자입니다.

21 is the closest.

21이 가장 가까운 답이지요.

It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube

시실 루빅 큐브에 있는 대칭의 수는

has 25 digits.

25자리 숫자이지요.

So now I need to name this object.

자, 이제 이름을 지을 순간입니다.

So, what is your name?

성함이 어떻게 되시죠?

I need your surname. Symmetrical objects generally --

성을 말씀해 주세요. 대칭적인 물체는 일반적으로 --

spell it for me.

스펠링을 주시겠어요?

G-H-E-Z

G-H-E-Z

No, SO2 has already been used, actually,

SO2는 안됩니다. 그건 이미 수학 언어에서

in the mathematical language. So you can't have that one.

이미 사용되고 있거든요. 그래서 그건 사용할 수 없어요.

So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object.

자 그럼 GHEZ 이라고 명명합니다. 이게 당신의 대칭 개체입니다.

You are now immortal.

이제 당신은 불사하십니다.

(Applause)

(박수)

And if you'd like your own symmetrical object,

혹시 여러분께서 대칭 개체를 소유하고 싶으시면

I have a project raising money for a charity in Guatemala,

제가 과테말라에 있는 자선단체를 위해 기부금을 모으고 있는데

where I will stay up all night and devise an object for you,

제가 밤잠을 안자고 수학적 개체를 하나 만들죠.

for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala.

기부금은 과테말라 아이들의 교육을 돌보는 자선단체에 갑니다.

And I think what drives me, as a mathematician,

수학자로서 제가 추구하는 것은 우리의 눈에

are those things which are not seen, the things that we haven't discovered.

보이지 않는 것들, 아직 발견되지 않은 것들입니다.

It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject.

아직 답을 못 찾은 질문들은 수학을 살아있는 과목으로 만듭니다.

And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness":

그리고 저는 종종 일본 작가의 "한가한 수필"에 나오는 문구를 되새깁니다:

"In everything, uniformity is undesirable.

"모든것에 있어 균일성은 바람직하지 않다.

Leaving something incomplete makes it interesting,

무엇인가 남겨두는 것이 더 흥미를 돋구며,

and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you.

발전의 가능성을 느낄 수 있게 한다". 감사합니다

(Applause)

(박수)