Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle

Marcus du Sautoy: Symmetrie, das Rätsel der Wirklichkeit

Übersetzung: Anke Tröder Lektorat: Martin Post

On the 30th of May, 1832,

Am 30. Mai 1832

a gunshot was heard

fiel ein Gewehrschuss

ringing out across the 13th arrondissement in Paris.

im 13. Pariser Bezirk.

(Gunshot)

(Gewehrschuss)

A peasant, who was walking to market that morning,

Ein Bauer, der an diesem Morgen auf dem Weg zum Markt war,

ran towards where the gunshot had come from,

eilte in die Richtung, aus der der Schuss gekommen war.

and found a young man writhing in agony on the floor,

Dort fand er einen jungen Mann, der am Boden lag und sich vor Schmerzen wand.

clearly shot by a dueling wound.

Er war offensichtlich bei einem Duell von einer Kugel getroffen worden.

The young man's name was Evariste Galois.

Der Name des jungen Mannes war Evariste Galois.

He was a well-known revolutionary in Paris at the time.

Er war zu jener Zeit ein bekannter Pariser Revolutionär.

Galois was taken to the local hospital

Galois wurde ins Krankenhaus gebracht,

where he died the next day in the arms of his brother.

wo er am nächsten Tag in den Armen seines Bruders starb.

And the last words he said to his brother were,

Das letzte, was er zu seinem Bruder sagte, war:

"Don't cry for me, Alfred.

„Weine nicht um mich, Alfred.

I need all the courage I can muster

Ich brauche allen Mut, den ich habe,

to die at the age of 20."

um mit zwanzig zu sterben.“

It wasn't, in fact, revolutionary politics

Tatsächlich war es nicht seine revolutionäre politische Gesinnung,

for which Galois was famous.

für die Galois berühmt war.

But a few years earlier, while still at school,

Einige Jahre zuvor jedoch – er ging damals noch zur Schule –

he'd actually cracked one of the big mathematical

hatte er eines der größten mathematischen Probleme

problems at the time.

seiner Zeit gelöst.

And he wrote to the academicians in Paris,

Er schrieb den Gelehrten an der Pariser Akademie

trying to explain his theory.

und versuchte, ihnen seine Theorie darzulegen.

But the academicians couldn't understand anything that he wrote.

Die Gelehrten aber verstanden kein einziges Wort von dem, was er schrieb.

(Laughter)

(Gelächter)

This is how he wrote most of his mathematics.

So notierte er fast alle seine mathematischen Überlegungen.

So, the night before that duel, he realized

In der Nacht vor dem Duell erkannte er,

this possibly is his last chance

dass dies vermutlich seine letzte Chance war,

to try and explain his great breakthrough.

seinen großen Durchbruch zu erklären.

So he stayed up the whole night, writing away,

Und so blieb er die ganze Nacht auf, schrieb und schrieb

trying to explain his ideas.

und versuchte, seine Ideen verständlich zu machen.

And as the dawn came up and he went to meet his destiny,

Als der Morgen dämmerte und er sich aufmachte, seinem Schicksal zu begegnen,

he left this pile of papers on the table for the next generation.

hinterließ er auf dem Tisch diesen Stapel Papier für die kommende Generation.

Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics

Vielleicht lag es daran, dass er die ganze Nacht durchgearbeitet hatte,

was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

dass er an diesem Morgen so schlecht zielte und tödlich getroffen wurde.

But contained inside those documents

Aber in diesen seinen Dokumenten

was a new language, a language to understand

war eine neue Sprache enthalten: Eine Sprache,

one of the most fundamental concepts

um eines der grundlegenden naturwissenschaftlichen Konzepte

of science -- namely symmetry.

zu verstehen – nämlich Symmetrie.

Now, symmetry is almost nature's language.

Fast könnte man Symmetrie als die Sprache der Natur bezeichnen.

It helps us to understand so many

Sie erleichtert uns das Verständnis so vieler

different bits of the scientific world.

unterschiedlicher Aspekte in der Welt der Wissenschaft,

For example, molecular structure.

zum Beispiel das Verständnis molekularer Strukturen.

What crystals are possible,

Welche Kristallformen möglich sind,

we can understand through the mathematics of symmetry.

verstehen wir durch die Mathematik der Symmetrie.

In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,

In der Mikrobiologie sind symmetrische Objekte nicht erwünscht,

because they are generally rather nasty.

weil sie fast immer äußerst unangenehm sind.

The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.

Der aktuelle Schweinegrippevirus ist ein symmetrisches Objekt.

And it uses the efficiency of symmetry

Er nutzt die Wirksamkeit der Symmetrie,

to be able to propagate itself so well.

um sich so schnell zu verbreiten, wie er es tut.

But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,

In einem größeren biologischen Kontext ist Symmetrie jedoch äußerst wichtig,

because it actually communicates genetic information.

weil sie genetische Informationen kommunizieren kann.

I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.

Ich habe hier zwei Bilder, die ich künstlich symmetrisch gemacht habe.

And if I ask you which of these you find more beautiful,

Wenn ich Sie fragen würde, welches davon Sie schöner finden,

you're probably drawn to the lower two.

werden Sie sich vermutlich zu den beiden unteren hingezogen fühlen.

Because it is hard to make symmetry.

Denn es ist schwer, Symmetrie zu erzeugen.

And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign

Und wenn Sie sich symmetrisch machen können, signalisieren Sie damit,

that you've got good genes, you've got a good upbringing

dass Sie gutes Erbmaterial haben, ein gutes Elternhaus,

and therefore you'll make a good mate.

und dass Sie somit einen guten Partner abgeben.

So symmetry is a language which can help to communicate

Symmetrie ist also eine Sprache, die helfen kann,

genetic information.

genetische Informationen zu vermitteln.

Symmetry can also help us to explain

Symmetrie kann uns auch dabei helfen, zu verstehen,

what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.

was im Large Hadron Collider des CERN passiert.

Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.

Beziehungsweise, was im Large Hadron Collider des CERN nicht passiert.

To be able to make predictions about the fundamental particles

Sie hilft uns, Voraussagen zu treffen über die grundlegenden Partikel

we might see there,

die wir dort vielleicht finden werden.

it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape

Es scheint, als ob sie alle Aspekte einer fremdartigen symmetrischen Form seien,

in a higher dimensional space.

die sich in einer höheren Dimension befindet.

And I think Galileo summed up, very nicely,

Galileo hat, wie ich finde, sehr treffend zusammengefasst,

the power of mathematics

wie die Macht der Mathematik uns hilft,

to understand the scientific world around us.

die naturwissenschaftliche Welt um uns herum zu begreifen.

He wrote, "The universe cannot be read

Er schrieb: „Wir können das Universum nicht lesen,

until we have learnt the language

bevor wir nicht seine Sprache beherrschen

and become familiar with the characters in which it is written.

und uns mit den Zeichen vertraut machen, in denen es geschrieben ist.

It is written in mathematical language,

Es ist in einer mathematischen Sprache geschrieben.

and the letters are triangles, circles and other geometric figures,

Und ihre Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Formen,

without which means it is humanly impossible

ohne die es einem Menschen unmöglich wäre,

to comprehend a single word."

ein einziges Wort zu verstehen.“

But it's not just scientists who are interested in symmetry.

Aber nicht nur Wissenschaftler interessieren sich für Symmetrie.

Artists too love to play around with symmetry.

Auch Künstler lieben es, mit ihr zu spielen.

They also have a slightly more ambiguous relationship with it.

Sie haben zudem ein etwas zwiespältigeres Verhältnis zu ihr.

Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."

Das hier ist Thomas Mann, der in seinem „Zauberberg“ über Symmetrie spricht.

He has a character describing the snowflake,

Er lässt eine seiner Figuren eine Schneeflocke betrachten:

and he says he "shuddered at its perfect precision,

„[Dem Leben] schauderte vor der genauen Richtigkeit,

found it deathly, the very marrow of death."

es empfand sie als tödlich, als das Geheimnis des Todes selbst.‟

But what artists like to do is to set up expectations

Künstler lieben es, Erwartungshaltungen

of symmetry and then break them.

von Symmetrie aufzubauen und sie dann zu brechen.

And a beautiful example of this

Ein wunderbares Beispiel hierfür

I found, actually, when I visited a colleague of mine

entdeckte ich, als ich einen Kollegen in Japan besuchte,

in Japan, Professor Kurokawa.

Professor Kurokawa.

And he took me up to the temples in Nikko.

Er nahm mich mit zu den Tempeln von Nikko.

And just after this photo was taken we walked up the stairs.

Kurz nachdem dieses Foto aufgenommen wurde, stiegen wir die Stufen empor.

And the gateway you see behind

Das Tor, das Sie im Hintergrund sehen,

has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.

besteht aus acht Säulen, die mit wundervollen symmetrischen Mustern verziert sind.

Seven of them are exactly the same,

Sieben der Säulen sind absolut identisch;

and the eighth one is turned upside down.

die achte steht auf dem Kopf.

And I said to Professor Kurokawa,

Ich sagte zu Professor Kurrokawa:

"Wow, the architects must have really been kicking themselves

„Wow! Die Architekten müssen sich ja wirklich die Haare gerauft haben,

when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."

als sie gemerkt haben, dass sie einen Fehler gemacht und diese hier falsch herum aufgestellt haben.‟

And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."

Und er sagte: „Nein, nein, nein. Das war Absicht.‟

And he referred me to this lovely quote from the Japanese

Dann verwies er mich auf dieses wunderbare Zitat aus den japanischen

"Essays in Idleness" from the 14th century,

„Betrachtungen aus der Stille“ aus dem 14. Jahrhundert.

in which the essayist wrote, "In everything,

Darin schreibt der Autor: „In allen Dingen

uniformity is undesirable.

ist Gleichförmigkeit wenig wünschenswert.

Leaving something incomplete makes it interesting,

Etwas unvollendet zu lassen, macht es erst interessant,

and gives one the feeling that there is room for growth."

und gibt einem das Gefühl, dass Raum bleibt für Wachstum.“

Even when building the Imperial Palace,

Selbst wenn sie einen kaiserlichen Palast errichten,

they always leave one place unfinished.

lassen sie immer einen Bereich unvollendet.

But if I had to choose one building in the world

Aber wenn ich ein Gebäude auf der Welt wählen müsste,

to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,

um darin auf einer einsamen Insel den Rest meines Lebens zu verbringen,

being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.

dann würde ich – als Symmetriesüchtiger – die Alhambra in Granada wählen.

This is a palace celebrating symmetry.

Dieser Palast ist ein Loblied auf die Symmetrie.

Recently I took my family --

Vor kurzem nahm ich meine Familie mit dorthin.

we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.

Wir unternehmen diese etwas nerdigen mathematischen Ausflüge; meine Familie liebt das.

This is my son Tamer. You can see

Dies ist meine Sohn Tamer. Wie Sie sehen,

he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.

hat er viel Freude an unserem mathematischen Ausflug zur Alhambra.

But I wanted to try and enrich him.

Aber ich wollte ihm etwas zeigen, das ihn bereichert.

I think one of the problems about school mathematics

Ich glaube, eines der Probleme mit Schulmathematik ist die Tatsache,

is it doesn't look at how mathematics is embedded

dass die Schulen Mathematik nicht im Kontext der Welt sehen,

in the world we live in.

in der wir leben.

So, I wanted to open his eyes up to

Ich wollte ihm daher die Augen öffnen dafür,

how much symmetry is running through the Alhambra.

wie viel Symmetrie sich in der Alhambra finden lässt.

You see it already. Immediately you go in,

Sobald Sie eintreten, sehen Sie es sofort:

the reflective symmetry in the water.

die Spiegelsymmetrie im Wasser.

But it's on the walls where all the exciting things are happening.

Aber es sind die Wände, an denen sich das wirklich Aufregende abspielt.

The Moorish artists were denied the possibility

Die maurischen Künstler durften nichts abbilden,

to draw things with souls.

das eine Seele hat.

So they explored a more geometric art.

Daher fanden sie zu einer eher geometrischen Kunst.

And so what is symmetry?

Was also ist Symmetrie?

The Alhambra somehow asks all of these questions.

Die Alhambra stellt gewissermaßen alle diese Fragen.

What is symmetry? When [there] are two of these walls,

Was ist Symmetrie? Wenn es zwei solche Wände gibt,

do they have the same symmetries?

besitzen sie dann dieselben symmetrischen Eigenschaften?

Can we say whether they discovered

Können wir behaupten, wir hätten

all of the symmetries in the Alhambra?

alle Symmetrien der Alhambra entdeckt?

And it was Galois who produced a language

Es war Galois, der eine Sprache entwickelte,

to be able to answer some of these questions.

die in der Lage ist, einige dieser Fragen zu beantworten.

For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,

Denn für Galois war Symmetrie – anders als für Thomas Mann,

which was something still and deathly --

für den sie etwas Stilles und Tödliches bedeutete –

for Galois, symmetry was all about motion.

für Galois ging es bei Symmetrie ausschließlich um Bewegung.

What can you do to a symmetrical object,

Was können Sie mit einem symmetrischen Objekt tun,

move it in some way, so it looks the same

Wie können Sie es bewegen, so dass es anschließend

as before you moved it?

genauso aussieht wie vorher?

I like to describe it as the magic trick moves.

Ich nenne das gerne die magischen Züge.

What can you do to something? You close your eyes.

Was können Sie mit einem Objekt tun? Schließen Sie Ihre Augen.

I do something, put it back down again.

Ich bewege es und setze es wieder ab.

It looks like it did before it started.

Es sieht so aus wie vorher.

So, for example, the walls in the Alhambra --

Nehmen wir beispielsweise die Wände der Alhambra.

I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,

Ich kann all diese Kacheln nehmen und am gelben Punkt fixieren,

rotate them by 90 degrees,

sie um 90 Grad drehen,

put them all back down again and they fit perfectly down there.

sie alle absetzen – und sie fügen sich wieder perfekt ein.

And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.

Wenn Sie Ihre Augen wieder öffnen, würden Sie nicht merken, dass sich die Kacheln bewegt haben.

But it's the motion that really characterizes the symmetry

Aber es ist gerade die Bewegung, die die Symmetrie

inside the Alhambra.

in der Alhambra auszeichnet.

But it's also about producing a language to describe this.

Aber es geht auch darum, eine Sprache dafür zu entwickeln.

And the power of mathematics is often

Die Stärke der Mathematik besteht darin,

to change one thing into another, to change geometry into language.

etwas in etwas anderes zu verwandeln; Geometrie in Sprache.

So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --

Ich werde Sie dazu bringen, vielleicht auch mathematisch etwas antreiben,

so brace yourselves --

– also halten Sie sich gut fest –

push you a little bit to understand how this language works,

ich werde Sie dazu bringen, diese Sprache verstehen,

which enables us to capture what is symmetry.

die es uns erlaubt, zu begreifen, was Symmetrie ist.

So, let's take these two symmetrical objects here.

So. Nehmen wir diese beiden symmetrischen Objekte hier.

Let's take the twisted six-pointed starfish.

Nehmen wir den sechsarmigen geschwungenen Seestern.

What can I do to the starfish which makes it look the same?

Was kann ich mit dem Seestern alles tun, damit er unverändert aussieht?

Well, there I rotated it by a sixth of a turn,

Nun, hier habe ich ihn um eine Sechsteldrehung rotieren lassen.

and still it looks like it did before I started.

Und er sieht immer noch genauso aus wie vorher.

I could rotate it by a third of a turn,

Ich könnte ihn um eine Dritteldrehung drehen,

or a half a turn,

oder eine halbe.

or put it back down on its image, or two thirds of a turn.

Ich könnte ihn auf sich selbst abbilden oder um eine 2/3-Drehung drehen.

And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.

Es gibt noch eine fünfte Symmetrie: Ich kann ihm um eine Fünfsechstel-Drehung drehen.

And those are things that I can do to the symmetrical object

Das sind die Dinge, die ich mit einem symmetrischen Objekt tun kann,

that make it look like it did before I started.

ohne es zu verändern.

Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.

Nun, Galois sah noch eine sechste Symmetrieeigenschaft:

Can anybody think what else I could do to this

Weiß jemand, was ich noch damit tun könnte,

which would leave it like I did before I started?

ohne es zu verändern?

I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?

Ich kann es nicht umdrehen, weil ich eine kleine Hürde eingebaut habe, nicht wahr?

It's got no reflective symmetry.

Es hat keine Spiegelachse.

But what I could do is just leave it where it is,

Aber ich kann es einfach dort lassen, wo es ist,

pick it up, and put it down again.

es aufnehmen und wieder absetzen.

And for Galois this was like the zeroth symmetry.

Für Galois war das die nullte Symmetrie.

Actually, the invention of the number zero

Die Erfindung der Null war übrigens ein

was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.

sehr modernes Konzept der Inder aus dem 7. Jahrhundert vor Christus.

It seems mad to talk about nothing.

Es scheint verrückt, über Nichts zu reden.

And this is the same idea. This is a symmetrical --

Und dies ist dieselbe Idee. Dies ist ein symmetrisches …

so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

Alles ist symmetrisch, wenn man es belässt, wo es ist.

So, this object has six symmetries.

Dieses Objekt hat also sechs Symmetrieeigenschaften.

And what about the triangle?

Und was ist mit dem Dreieck?

Well, I can rotate by a third of a turn clockwise

Nun, ich kann es im Uhrzeigersinn um eine Dritteldrehung drehen,

or a third of a turn anticlockwise.

oder ein Drittel im Gegenuhrzeigersinn.

But now this has some reflectional symmetry.

Aber jetzt gibt es auch eine Spiegelsymmetrie.

I can reflect it in the line through X,

Ich kann es an der X-Achse spiegeln

or the line through Y,

oder an der Y-Achse

or the line through Z.

oder an der Z-Achse.

Five symmetries and then of course the zeroth symmetry

Fünf Symmetrien und natürlich die nullte Symmetrie,

where I just pick it up and leave it where it is.

wenn ich es anhebe und auf sich selbst ablege.

So both of these objects have six symmetries.

Beide Objekte haben also sechs Symmetrieeigenschaften.

Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,

Nun bin ich ja ein großer Anhänger der Idee, dass Mathematik kein Zuschauersport ist,

and you have to do some mathematics

und dass man Mathematik anwenden muss,

in order to really understand it.

um sie wirklich zu verstehen.

So here is a little question for you.

Hier also eine kleine Aufgabe für Sie:

And I'm going to give a prize at the end of my talk

Und am Ende meines Vortrags erhält derjenige,

for the person who gets closest to the answer.

der der Antwort am nächsten kommt, einen Preis.

The Rubik's Cube.

Der Zauberwürfel.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

Wie viele Symmetrien hat ein Zauberwürfel?

How many things can I do to this object

Was kann ich damit tun, damit er

and put it down so it still looks like a cube?

hinterher immer noch wie ein Würfel aussieht?

Okay? So I want you to think about that problem as we go on,

Alles klar? Ich möchte, dass Sie darüber nachdenken, während wir weitermachen,

and count how many symmetries there are.

und zählen, wie viele Symmetrien er hat.

And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

Und wer der Antwort am nächsten kommt, erhält am Ende einen Preis.

But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.

Aber lassen Sie uns nun zurückkehren zu den Symmetrieeigenschaften dieser beiden Objekte.

What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,

Galois hatte erkannt, dass es nicht nur um individuelle Symmetrien geht, sondern darum,

but how they interact with each other

wie sie miteinander interagieren:

which really characterizes the symmetry of an object.

Das ist es, was die Symmetrie eines Objektes ausmacht.

If I do one magic trick move followed by another,

Wenn ich einen magischen Zug ausführe und dann noch einen,

the combination is a third magic trick move.

ergibt sich daraus eine dritte.

And here we see Galois starting to develop

Hier sehen wir, wie Galois begann,

a language to see the substance

eine Sprache zu entwickeln, die helfen sollte, die Substanz

of the things unseen, the sort of abstract idea

der unsichtbaren Dinge sichtbar zu machen, die abstrakte Idee

of the symmetry underlying this physical object.

der Symmetrie, die diesem physikalischen Objekt zu eigen ist.

For example, what if I turn the starfish

Was passiert zum Beispiel, wenn ich den Seestern

by a sixth of a turn,

erst um eine Sechsteldrehung drehe

and then a third of a turn?

und dann um eine Dritteldrehung?

So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,

Ich habe mal Namen verteilt. Die Großbuchstaben A, B, C, D, E, F

are the names for the rotations.

sind die Namen für die Drehungen.

B, for example, rotates the little yellow dot

B zum Beispiel lässt den kleinen gelben Punkt

to the B on the starfish. And so on.

zum B am Seestern wandern und so weiter.

So what if I do B, which is a sixth of a turn,

Was also, wenn ich zuerst B ausführe, was einer Sechsteldrehung entspricht,

followed by C, which is a third of a turn?

und dann C, eine Dritteldrehung?

Well let's do that. A sixth of a turn,

Nun, lassen Sie uns das tun. Eine Sechsteldrehung

followed by a third of a turn,

gefolgt von einer Dritteldrehung:

the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.

Das Ergebnis aus beiden ist dasselbe, als ob ich den Stern auf einmal um eine halbe Drehung gedreht hätte.

So the little table here records

Diese kleine Tabelle hier hält fest,

how the algebra of these symmetries work.

wie die Algebra hinter diesen Symmetrien funktioniert.

I do one followed by another, the answer is

Ich führe erst eine aus und danach eine andere.

it's rotation D, half a turn.

Die Antwort ist D, eine halbe Drehung.

What I if I did it in the other order? Would it make any difference?

Würde das in der umgekehrten Reihenfolge auch funktionieren? Machte das einen Unterschied?

Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.

Mal sehen. Zuerst also eine Dritteldrehung und dann eine Sechsteldrehung.

Of course, it doesn't make any difference.

Natürlich macht das keinen Unterschied.

It still ends up at half a turn.

Es ergibt sich eine halbe Drehung.

And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.

Auch die Interaktion der Symmetrien ist hier also symmetrisch.

But this is completely different to the symmetries of the triangle.

Ein Dreieck hingegen hat völlig andere Symmetrieeigenschaften.

Let's see what happens if we do two symmetries

Sehen wir uns an, was passiert, wenn wir am Dreieck

with the triangle, one after the other.

zwei Symmetrien ausführen, eine nach der anderen.

Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise,

Zuerst eine Dritteldrehung gegen den Uhrzeigersinn

and reflect in the line through X.

und dann eine Spiegelung an der X-Achse.

Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z

Nun, der addierte Effekt ist so, als hätte ich gleich eine Spiegelung an der

to start with.

Z-Achse vorgenommen.

Now, let's do it in a different order.

Jetzt in umgekehrter Reihenfolge.

Let's do the reflection in X first,

Zuerst die Spiegelung an der X-Achse,

followed by the rotation by a third of a turn anticlockwise.

dann eine Dritteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.

The combined effect, the triangle ends up somewhere completely different.

Der Effekt addiert sich zu etwas, was das Dreieck völlig anders aussehen lässt.

It's as if it was reflected in the line through Y.

Es sieht aus, als hätte man es an der Y-Achse gespiegelt.

Now it matters what order you do the operations in.

Jetzt spielt die Reihenfolge der Operationen also eine Rolle.

And this enables us to distinguish

Und dadurch können wir

why the symmetries of these objects --

die Symmetrieeigenschaften dieser Objekte unterscheiden:

they both have six symmetries. So why shouldn't we say

Beide besitzen sechs Symmetrien. Warum also nicht einfach sagen,

they have the same symmetries?

dass sie dieselben Symmetrien besitzen?

But the way the symmetries interact

Die Art und Weise, wie die Symmetrien interagieren,

enable us -- we've now got a language

erlaubt uns (denn jetzt haben wir eine Sprache dafür),

to distinguish why these symmetries are fundamentally different.

zu zeigen, dass diese Symmetrien vollkommen verschieden sind.

And you can try this when you go down to the pub, later on.

Sie können das selbst ausprobieren, wenn Sie später in einem Lokal sitzen.

Take a beer mat and rotate it by a quarter of a turn,

Nehmen Sie einen Bierdeckel und lassen sie ihn um eine Vierteldrehung rotieren,

then flip it. And then do it in the other order,

dann drehen Sie ihn um. Und dann dasselbe in umgekehrter Reihenfolge.

and the picture will be facing in the opposite direction.

Das Bild wird in die entgegengesetzte Richtung zeigen.

Now, Galois produced some laws for how these tables -- how symmetries interact.

Galois hat eine Reihe von Gesetzen aufgestellt dafür, wie diese Tabellen, diese Symmetrien, interagieren.

It's almost like little Sudoku tables.

Es sind beinahe kleine Sudokutabellen.

You don't see any symmetry twice

Keine Symmetrie taucht zweimal

in any row or column.

in einer Zeile oder Spalte auf.

And, using those rules, he was able to say

Diese Gesetzmäßigkeiten erlaubten ihm die Aussage,

that there are in fact only two objects

dass es insgesamt nur zwei Objekte gibt,

with six symmetries.

die sechs Symmetrien aufweisen.

And they'll be the same as the symmetries of the triangle,

Und es sind die Symmetrien des Dreiecks

or the symmetries of the six-pointed starfish.

oder des sechsarmigen Seesterns.

I think this is an amazing development.

Ich finde, das ist eine unglaubliche Entwicklung.

It's almost like the concept of number being developed for symmetry.

Es ist fast so, als ob er die Idee der Zahl für Symmetrien entwickelt hätte.

In the front here, I've got one, two, three people

Hier vorne sind ein, zwei, drei Menschen

sitting on one, two, three chairs.

auf ein, zwei, drei Stühlen.

The people and the chairs are very different,

Die Menschen auf den Stühlen sind sehr verschieden,

but the number, the abstract idea of the number, is the same.

die Zahl aber, die abstrakte Idee der Zahl, ist dieselbe.

And we can see this now: we go back to the walls in the Alhambra.

Und jetzt können wir es verstehen: Gehen wir zurück zu den Wänden der Alhambra.

Here are two very different walls,

Zwei völlig unterschiedliche Wände,

very different geometric pictures.

zwei verschiedene geometrische Bilder.

But, using the language of Galois,

Aber durch die Sprache Galois'

we can understand that the underlying abstract symmetries of these things

können wir verstehen, dass die zugrunde liegenden abstrakten Symmetrien

are actually the same.

dieselben sind.

For example, let's take this beautiful wall

Nehmen wir zum Beispiel diese wundervolle Wand hier

with the triangles with a little twist on them.

mit leicht geschwungenen Dreiecken.

You can rotate them by a sixth of a turn

Man kann sie um eine Sechsteldrehung drehen,

if you ignore the colors. We're not matching up the colors.

wenn man die Farben ignoriert. Die Farben müssen nicht übereinstimmen.

But the shapes match up if I rotate by a sixth of a turn

Aber die Formen stimmen überein, wenn ich eine Sechsteldrehung ausführe

around the point where all the triangles meet.

und als Rotationsachse den Punkt wähle, an dem sich die Dreiecke berühren.

What about the center of a triangle? I can rotate

Wie sieht es aus mit dem Mittelpunkt eines Dreiecks? Ich lasse

by a third of a turn around the center of the triangle,

es um eine Dritteldrehung um seinen Mittelpunkt rotieren,

and everything matches up.

und alles passt zueinander.

And then there is an interesting place halfway along an edge,

Und dann gibt es da einen interessanten Punkt, die Mitte einer Seitenkante,

where I can rotate by 180 degrees.

wo ich es um 180 Grad drehen kann.

And all the tiles match up again.

Und wieder sind die Kacheln deckungsgleich.

So rotate along halfway along the edge, and they all match up.

Drehen wir sie also um den Rotationspunkt auf der Mitte der Seitenkante, und sie sind deckungsgleich.

Now, let's move to the very different-looking wall in the Alhambra.

Jetzt gehen wir zu einer anderen Wand in der Alhambra, die ganz anders aussieht.

And we find the same symmetries here, and the same interaction.

Dort finden wir dieselben Symmetrien und dasselbe Verhalten.

So, there was a sixth of a turn. A third of a turn where the Z pieces meet.

So, das war eine Sechsteldrehung. Und eine Dritteldrehung dort, wo sich die Z-Stücke berühren.

And the half a turn is halfway between the six pointed stars.

Und die Achse für die halbe Drehung ist in der Mitte der sechszackigen Sterne.

And although these walls look very different,

Und obwohl diese Wände völlig unterschiedlich aussehen,

Galois has produced a language to say

hat Galois eine Sprache entwickelt, die aussagt,

that in fact the symmetries underlying these are exactly the same.

dass die zugrunde liegenden Symmetrien identisch sind.

And it's a symmetry we call 6-3-2.

Eine solche Symmetrie nennen wir 6-3-2.

Here is another example in the Alhambra.

Hier ist ein weiteres Beispiel aus der Alhambra.

This is a wall, a ceiling, and a floor.

Eine Wand, eine Decke, ein Fußboden.

They all look very different. But this language allows us to say

Alle sehen unterschiedlich aus. Aber diese Sprache ermöglicht uns die Aussage,

that they are representations of the same symmetrical abstract object,

dass sie alle Abbildungen desselben symmetrischen abstrakten Objektes sind,

which we call 4-4-2. Nothing to do with football,

das wir 4-4-2 nennen, was jetzt aber nichts mit Fußball zu tun hat.

but because of the fact that there are two places where you can rotate

Es gibt zwei Rotationspunkte, an denen man eine Vierteldrehung ausführen kann,

by a quarter of a turn, and one by half a turn.

und einen, an denen man eine halbe Drehung ausführen kann.

Now, this power of the language is even more,

Diese Sprache ist aber noch viel mächtiger,

because Galois can say,

denn Galois kann fragen:

"Did the Moorish artists discover all of the possible symmetries

„Haben die maurischen Künstler alle nur möglichen Symmetrien

on the walls in the Alhambra?"

an den Wänden der Alhambra entdeckt?“

And it turns out they almost did.

Wie sich herausstellt, lautet die Antwort beinahe „Ja“.

You can prove, using Galois' language,

Man kann mit Galois’ Sprache beweisen,

there are actually only 17

dass es nur siebzehn unterschiedliche

different symmetries that you can do in the walls in the Alhambra.

Symmetrien an den Wänden der Alhambra gibt.

And they, if you try to produce a different wall with this 18th one,

Wollten Sie eine andere Wand mit dieser achtzehnten Symmetrie gestalten,

it will have to have the same symmetries as one of these 17.

müsste sie dieselbe Symmetrie aufweisen wie eine der anderen siebzehn hier.

But these are things that we can see.

Aber dies sind Dinge, die wir sehen können.

And the power of Galois' mathematical language

Und die Macht der Galoischen mathematischen Sprache

is it also allows us to create

erlaubt es uns,

symmetrical objects in the unseen world,

symmetrische Objekte in der unsichtbaren Welt zu erschaffen,

beyond the two-dimensional, three-dimensional,

jenseits des Zwei- oder Dreidimensionalen,

all the way through to the four- or five- or infinite-dimensional space.

bis hin zur vierten oder fünften oder einer nten Dimension.

And that's where I work. I create

Auf diesem Gebiet arbeite ich. Ich erschaffe

mathematical objects, symmetrical objects,

mathematische, symmetrische Objekte,

using Galois' language,

indem ich die Sprache Galois’ benutze;

in very high dimensional spaces.

und das in Räumen mit sehr vielen Dimensionen.

So I think it's a great example of things unseen,

Ich glaube, dies ist ein wundervolles Beispiel für die unsichtbaren Dinge,

which the power of mathematical language allows you to create.

die wir dank der Sprache der Mathematik erschaffen können.

So, like Galois, I stayed up all last night

Wie Galois bin also auch heute Nacht aufgeblieben

creating a new mathematical symmetrical object for you,

und habe ein neues mathematisches Objekt für Sie geschaffen.

and I've got a picture of it here.

Hier ist ein Bild davon.

Well, unfortunately it isn't really a picture. If I could have my board

Leider ist es nicht wirklich ein Bild. Kann ich bitte meinen Zeichenblock

at the side here, great, excellent.

haben? Danke, wunderbar.

Here we are. Unfortunately, I can't show you

OK. Leider kann ich Ihnen nicht zeigen,

a picture of this symmetrical object.

wie das symmetrische Objekt aussieht.

But here is the language which describes

Aber dies ist die Sprache, die beschreibt,

how the symmetries interact.

wie die Symmetrien interagieren.

Now, this new symmetrical object

Dieses neue symmetrische Objekt

does not have a name yet.

hat noch keinen Namen.

Now, people like getting their names on things,

Nun, Menschen lieben es, Dingen ihren Namen zu geben,

on craters on the moon

wie Mondkratern

or new species of animals.

oder neuen Tierarten.

So I'm going to give you the chance to get your name on a new symmetrical object

Sie haben nun also die Gelegenheit, einem neuen symmetrischen Objekt,

which hasn't been named before.

das noch keinen Namen hat, Ihren Namen zu geben.

And this thing -- species die away,

Und dieses Objekt – während Tierarten aussterben und

and moons kind of get hit by meteors and explode --

Mondkrater von Meteoren getroffen werden und explodieren –

but this mathematical object will live forever.

dieses Objekt ist unsterblich.

It will make you immortal.

Es wird Sie unsterblich machen.

In order to win this symmetrical object,

Um dieses symmetrische Objekt zu gewinnen,

what you have to do is to answer the question I asked you at the beginning.

müssen Sie die Frage beantworten, die ich Ihnen eingangs gestellt habe.

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

Wie viele Symmetrien besitzt der Zauberwürfel?

Okay, I'm going to sort you out.

Okay, ich bringe hier mal etwas Ordnung hinein.

Rather than you all shouting out, I want you to count how many digits there are

Statt dass alle durcheinander rufen, möchte ich wissen, wie viele Stellen

in that number. Okay?

die Zahl hat. OK?

If you've got it as a factorial, you've got to expand the factorials.

Wenn Sie das Ergebnis als Fakultät berechnet haben, haben, müssen Sie die Fakultäten erweitern.

Okay, now if you want to play,

Also, wenn Sie jetzt mitspielen wollen,

I want you to stand up, okay?

stehen Sie bitte auf, ja?

If you think you've got an estimate for how many digits,

Wenn Sie ungefähr schätzen können, wie viele Stellen –

right -- we've already got one competitor here.

OK – hier haben wir schon jemanden –

If you all stay down he wins it automatically.

Wenn die anderen alle sitzen bleiben, ist er automatisch der Gewinner.

Okay. Excellent. So we've got four here, five, six.

OK. Ausgezeichnet. Wir haben vier, fünf, sechs.

Great. Excellent. That should get us going. All right.

Großartig. Ausgezeichnet. Das sollte für den Anfang reichen. Gut.

Anybody with five or less digits, you've got to sit down,

Alle mit fünf oder weniger Stellen, bitte setzen.

because you've underestimated.

Sie haben sich nach unten verschätzt.

Five or less digits. So, if you're in the tens of thousands you've got to sit down.

Fünf oder weniger Stellen. Wenn Sie also etwas in den Zehntausendern haben, bitte setzen.

60 digits or more, you've got to sit down.

Sechzig Stellen oder mehr, bitte setzen.

You've overestimated.

Sie haben sich nach oben verschätzt.

20 digits or less, sit down.

Zwanzig Stellen oder weniger, setzen.

How many digits are there in your number?

Wie viele Stellen hat Ihre Zahl?

Two? So you should have sat down earlier.

Zwei? Dann hätten Sie sich schon früher setzen müssen.

(Laughter)

(Lachen im Publikum)

Let's have the other ones, who sat down during the 20, up again. Okay?

Also nochmal die anderen, die sich während der Zwanziger gesetzt haben, OK?

If I told you 20 or less, stand up.

Wenn ich also gesagt habe, zwanzig oder weniger, bitte wieder aufstehen.

Because this one. I think there were a few here.

Hier, ich glaube, hier gab es Einige.

The people who just last sat down.

Die, die sich als letzte gesetzt haben.

Okay, how many digits do you have in your number?

OK, wie viele Stelle hat Ihre Zahl?

(Laughs)

(Lacht)

21. Okay good. How many do you have in yours?

Einundzwanzig. OK, gut. Und wie viele bei Ihnen?

18. So it goes to this lady here.

Achtzehn. Damit hat diese Dame hier gewonnen.

21 is the closest.

Einundzwanzig ist am nächsten dran.

It actually has -- the number of symmetries in the Rubik's cube

Die Zahl – also die Anzahl der Symmetrien eines Zauberwürfels –

has 25 digits.

hat fünfundzwanzig Stellen

So now I need to name this object.

Jetzt muss ich dem Objekt einen Namen geben.

So, what is your name?

Wie heißen Sie?

I need your surname. Symmetrical objects generally --

Ich brauche Ihren Nachnamen. Symmetrische Objekte haben grundsätzlich –

spell it for me.

Bitte buchstabieren Sie ihn für mich.

G-H-E-Z

G-H-E-Z

No, SO2 has already been used, actually,

Nein, SO2 ist schon besetzt

in the mathematical language. So you can't have that one.

in der Sprache der Mathematik. Das können Sie nicht bekommen.

So Ghez, there we go. That's your new symmetrical object.

Also Ghez, bitte schön. Dies ist Ihr neues symmetrisches Objekt.

You are now immortal.

Jetzt sind Sie unsterblich.

(Applause)

(Applaus)

And if you'd like your own symmetrical object,

Und wenn auch Sie ein symmetrisches Objekt besitzen möchten,

I have a project raising money for a charity in Guatemala,

ich betreibe ein Projekt, mit dem ich Gelder für Guatemala sammele.

where I will stay up all night and devise an object for you,

Ich werde die ganze Nacht aufbleiben und mir für Sie ein Objekt ausdenken,

for a donation to this charity to help kids get into education in Guatemala.

für einen Spende zugunsten dieser Einrichtung, die Kindern in Guatemala den Weg ins Bildungssystem ebnet.

And I think what drives me, as a mathematician,

Ich denke, was mich als Mathematiker antreibt,

are those things which are not seen, the things that we haven't discovered.

sind die unsichtbaren Dinge, die, die wir noch nicht entdeckt haben.

It's all the unanswered questions which make mathematics a living subject.

Es sind all die unbeantworteten Fragen, die die Mathematik zu etwas Lebendigem machen.

And I will always come back to this quote from the Japanese "Essays in Idleness":

Und ich werde immer wieder auf dieses Zitat aus den „Betrachtungen aus der Stille‟ verweisen:

"In everything, uniformity is undesirable.

„In allen Dingen ist Gleichförmigkeit nicht wünschenswert.

Leaving something incomplete makes it interesting,

Etwas unvollendet zu lassen, macht es erst interessant,

and gives one the feeling that there is room for growth." Thank you.

und gibt einem das Gefühl, dass Raum bleibt für Wachstum.‟ Danke.

(Applause)

(Applaus)