The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Prevodilac: Dragana Stanojevic Lektor: Mile Živković

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Ово можда изгледа као уредно слагање гомиле бројева,

but it's actually a mathematical treasure trove.

али то је у ствари математички ковчег са благом.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Индијски математичари су га називали степеништем планине Меру.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

А у Ирану Кајамов троугао.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

У Кини Јанг Хуиев троугао.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

За већину западног света, познат је каo Паскалов троугао

after French mathematician Blaise Pascal,

по француском математичару Блезу Паскалу,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

што је прилилично нефер, с обзиром да је он закаснио на журку,

but he still had a lot to contribute.

али је ипак доста допринео.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

О чему се овде ради, када је толико заинтригирало математичаре широм света?

In short, it's full of patterns and secrets.

Укратко, препуно је правила и и тајни.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Прво и најважније, постоји образац који га ствара.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Почиње са јединицом и замишљеним нулама са обе стране.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Сабирамо их по паровима, и добијамо следећи ред.

Now, do that again and again.

Сада то поновите, и опет поновите.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Наставите даље и завршићете са нечим као што изледа овако,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

а у ствари Паскалов троугао је бесконачан.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Сада, сваки ред одговара такозваним биноним коефицијентима

of the form (x+y)^n,

у развоју израза (x + y)^n,

where n is the number of the row,

где n означава број реда,

and we start counting from zero.

а почињемо бројање од нуле.

So if you make n=2 and expand it,

Ако је n = 2 развијањем израза

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

добијамо (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Коефицијенти, тј. бројеви испред промењивих,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

су исти као и бројеви у том реду у Паскаловом троуглу.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Исто ће се догодити и за n = 3, где ћемо добити овакав израз.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Троугао је брзи и лак начин да одредимо све ове коефицијенте.

But there's much more.

Али постоји много више.

For example, add up the numbers in each row,

На пример, сабирањем бројева у сваком реду,

and you'll get successive powers of two.

добићете узастопне степене броја 2.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Или у датом реду, посматрате сваки број као део декадног записа.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Другим речима, други ред представља (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Добијате 121, што је 11^2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Погледајте шта ће се догодити када урадите исто у шестом реду.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Збир је 1 771 561, што је 11^6, и тако даље.

There are also geometric applications.

Постоји и геометријска примена.

Look at the diagonals.

Погледајте дијагоналу.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Прва два нису претерано занимљива, јер су све јединице и позитивни бројеви,

also known as natural numbers.

познати и као природни бројеви.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Али бројеви на следећој дијагонали, називају се троугаони бројеви,

because if you take that many dots,

јер ако узмете толико тачака,

you can stack them into equilateral triangles.

можете их сместити у једнакостраничан троугао.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

Следећа дијагонала, има тетраедалне бројеве,

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

јер их на сличан начин, можете сместити у тетраедар.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

А шта мислите о овоме, осенчите све непарне бројеве.

It doesn't look like much when the triangle's small,

То не изгледа ништа посебно, када је мали троугао,

but if you add thousands of rows,

али ако додате хиљаде редова,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

добићете фрактал, познатији као Троугао Серпинског.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Овај троугао није само део математичке уметности.

It's also quite useful,

Такође је користан,

especially when it comes to probability and calculations

поготово када је у питању вероватноћа и сложенији рачун

in the domain of combinatorics.

у области комбинаторике.

Say you want to have five children,

На пример, желите да имате петоро деце,

and would like to know the probability

и желите да знате са којом вероватноћом

of having your dream family of three girls and two boys.

ћете имати вашу породицу из снова са три девојчице и два дечака.

In the binomial expansion,

То је биномни израз,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

који одговара броју девојчица и дечака на пети степен.

So we look at the row five,

Погледајмо пети ред,

where the first number corresponds to five girls,

где први број одговара случају када је пет девојчица,

and the last corresponds to five boys.

а последњи ако је пет дечака.

The third number is what we're looking for.

Трећи број је онај који ми тражимо.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Десет је сума свих могућих догађаја у реду.

so 10/32, or 31.25%.

Дакле 10/32 је 31,25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Или ако бирате насумично пет играча кошаркашког тима

out of a group of twelve friends,

од 12 пријатеља,

how many possible groups of five are there?

колико група од по петоро можете направити?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

У комбинаторици, овај проблем би се свео на то да од 12 бирамо 5,

and could be calculated with this formula,

и може се израчунати помоћу ове формуле,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

или можете погледати само у шести члан 12. реда у троуглу

and get your answer.

и добићете одговор.

The patterns in Pascal's Triangle

Шаблони у Паскаловом троуглу

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

су доказ елегантно испреплетене математичке тканина .

And it's still revealing fresh secrets to this day.

А и данас откривамо нове тајне.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

На пример, математичари су недавно открили начин да га прошире

to these kinds of polynomials.

на овакве полиноме.

What might we find next?

Шта бисмо могли још да откријемо?

Well, that's up to you.

То зависи од вас.