The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

번역: Won Jang 검토: Jihyeon J. Kim

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

이것은 깔끔하게 배열된 숫자들의 더미로 보일 지도 모르겠지만

사실 이것은 수학적으로 매우 귀중한 보물덩어리입니다.

but it's actually a mathematical treasure trove.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

인도의 수학자들은 이것을 '메루산의 계단'이라는 이름으로 불렀고,

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

이란에서는 '카얌 삼각형'이라고 불렀습니다.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

그리고 중국 사람들은 이것을 '양휘의 삼각형'이라고 불렀죠.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

서양에서는 '파스칼의 삼각형'이라는 이름으로 알려져 있습니다.

프랑스의 수학자 블레이즈 파스칼의 이름에서 따온 것이죠.

after French mathematician Blaise Pascal,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

다른 이들 보다 늦게 참여한 그의 이름이 쓰인다는게 불공평해 보일 수도 있지만

but he still had a lot to contribute.

그래도 그가 많은 기여를 했다는 것은 사실입니다

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

그렇다면 도대체 이 삼각형의 어떤 면이

세계 곳곳 수학자들의 호기심을 끈 것일까요?

In short, it's full of patterns and secrets.

그것은 이 삼각형이 규칙과 비밀로 가득 차 있기 때문입니다.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

먼저, 이 삼각형은 어떠한 규칙으로 만들어집니다.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

1로 시작해서 그 양 옆에 보이지 않는 0이 있다고 상상해보세요.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

그것들을 둘씩 짝을 지어 더하면, 다음 행이 만들어 질 것입니다.

Now, do that again and again.

이제, 계속 해보죠. 반복하고 또 반복하면

Keep going and you'll wind up with something like this,

계속 하다가 이 정도에서 끝낼 수 있지만,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

실제 파스칼의 삼각형은 무한히 계속됩니다.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

자, 이제 삼각형의 각 줄은

(x+y)^n 형태로 나타 날 수 있는 이항 확장식의 계수와 일치합니다.

of the form (x+y)^n,

where n is the number of the row,

여기서 n은 행의 번호를 의미하지요.

숫자는 0에서부터 시작합니다.

and we start counting from zero.

So if you make n=2 and expand it,

만약 n을 2로 두고 이 식을 전개한다면,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

(x^2) + 2xy + (y^2)이라는 식이 나오게 됩니다.

The coefficients, or numbers in front of the variables,

우리가 계수라고 부르는 변수 앞의 위치한 숫자들은

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

파스칼의 삼각형의 그 줄에 있는 숫자들과 완벽히 일치합니다.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

n에 3을 집어 넣고 식을 풀어도 똑같이 이런 결과가 나오지요.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

따라서 이 삼각형은 이런 계수들을 찾는 빠르고 쉬운 방법입니다.

But there's much more.

하지만 이게 다가 아닙니다.

For example, add up the numbers in each row,

예를 들어서, 각 열의 숫자를 다 더해보면,

and you'll get successive powers of two.

그러면 모든 줄의 숫자들의 합이 2의 n승 형태로 나타나게 됩니다.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

이번에는, 한 줄 안의 숫자를 차례대로

100의 자리수, 10의 자리수, 1의 자리수라고 생각해보죠.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

즉, 2번 행은 (1x1) + (2x10) + (1x100)가 된다고 봅시다.

You get 121, which is 11^2.

위 식을 계산하면 121이 나옵니다. 11을 제곱한 값이네요.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

여섯 번째 줄을 같은 방식으로 하면 무슨 일이 일어날지 볼까요.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

이 숫자들의 합은 11의 6제곱인 1,771,561이며 이 패턴은 반복됩니다.

There are also geometric applications.

또한 기하학적인 활용들도 가능합니다.

Look at the diagonals.

대각선들을 한 번 살펴볼까요.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

처음 두 줄은 그다지 흥미롭지 않습니다. 첫 줄은 모두 1이고,

다음 줄은 모두 양의 정수로 자연수라고도 불리지요.

also known as natural numbers.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

하지만 그 다음 대각선의 수들은 삼각수라고 불립니다.

because if you take that many dots,

여러분이 그 수만큼 원을 차례로 그리면

you can stack them into equilateral triangles.

정삼각형의 모양을 만들 수 있기 때문입니다.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

다음 대각선은 사면체수들 입니다.

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

아까와 마찬가지로, 이 숫자만큼 공들을 쌓으면

정사면체를 만들 수 있기 때문입니다.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

아니면 이것은 어떤가요? 모든 홀수들을 가려보세요.

It doesn't look like much when the triangle's small,

그 삼각형이 작을 때는 별 것 아닌 것 같아 보이지만

but if you add thousands of rows,

수천 개의 행을 더하면

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

사이펀스키의 삼각형이라고 불리는 프랙탈도형이 나오게 됩니다.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

이 삼각형은 단지 수학적인 예술작품이 아닙니다.

It's also quite useful,

이것이 특히 유용하게 쓰이는 분야는

especially when it comes to probability and calculations

확률이나 조합과 관련된 계산의 부분입니다.

in the domain of combinatorics.

Say you want to have five children,

여러분이 5명의 아이를 원하고

and would like to know the probability

세명의 딸과 두 명의 아들로 이루어진

of having your dream family of three girls and two boys.

이상적인 가족을 가질 확률을 알고 싶어 한다고 가정해봅시다.

In the binomial expansion,

이항정리를 이용하면

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

이 것은 (딸(x) +아들(y))의 5제곱에 해당합니다.

So we look at the row five,

그럼 다섯 번째 행을 봅시다.

where the first number corresponds to five girls,

이 줄에서 첫 번째 수는 다섯명의 딸이 나올 경우의 수이며

and the last corresponds to five boys.

마지막은 다섯명의 아들이 나올 경우의 수 입니다.

The third number is what we're looking for.

그리고 세 번째 수가 바로 세명의 딸이 나올 경우의 수이지요.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

이 10이라는 값을그 줄의 모든 경우의 수의 합으로 나누면

so 10/32, or 31.25%.

10/32, 즉 31.25%가 됩니다.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

이번에는 열두 명의 친구들 중

out of a group of twelve friends,

무작위로 다섯명을 뽑아 농구팀을 구성하면

how many possible groups of five are there?

얼마나 많은 팀이 나올 수 있는지 볼까요?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

이 문제를 조합으로 설명하면 열두 개 중 다섯 개를 뽑는 경우이며

and could be calculated with this formula,

이러한 공식으로 계산할 수도 있으나

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

그냥 파스칼의 삼각형 12번째 행의 6번 째 숫자를 보면

and get your answer.

간단하게 답을 알 수 있지요.

The patterns in Pascal's Triangle

파스칼의 삼각형의 패턴을 통해서

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

우리는 수학이 매우 정교하게 구성되고 짜여진 형태라는 것을 알 수 있습니다.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

그리고 지금까지도 이 삼각형의 새로운 비밀들이 발견되고 있습니다.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

예를 들면, 최근들어 수학자들은 꾸준한 연구를 한 결과

to these kinds of polynomials.

이런 종류의 다항식을 전개하는 방법을 발견하기도 했습니다.

What might we find next?

다음에는 또 무엇을 찾을 수 있을까요?

Well, that's up to you.

글쎄요. 그건 여러분에게 달려있습니다.