The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Secretos matemáticos del triángulo de Pascal - Wajdi Mohamed Ratemi

Traductor: Ciro Gomez Revisor: Lidia Cámara de la Fuente

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Esto puede parecer una pila de números bien ordenados,

but it's actually a mathematical treasure trove.

pero en realidad es un tesoro matemático.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Los matemáticos indios la llamaron escalera del Monte Meru.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

En Irán, es el triángulo de Khayyam.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

Y en China, es el triángulo de Yang Hui.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Para gran parte del mundo occidental, se le conoce como el triángulo de Pascal

after French mathematician Blaise Pascal,

por el matemático francés Blaise Pascal,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

lo que parece algo injusto ya que él llegó claramente tarde a la fiesta,

but he still had a lot to contribute.

pero todavía tenía mucho que aportar.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

¿Qué es lo que tiene que ha intrigado a los matemáticos de todo el mundo?

In short, it's full of patterns and secrets.

En resumen, está lleno de patrones y secretos.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

En primer lugar, está el patrón que lo genera.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Comienza con 1 e imagina 0 invisibles a cada lado del mismo.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Suma los pares, para generar la siguiente fila.

Now, do that again and again.

Ahora, haz esto una y otra vez.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Sigue adelante y terminarás con algo como esto,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

aunque en realidad el triángulo de Pascal continúa infinitamente.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Cada fila corresponde a lo que se llama los coeficientes de un desarrollo binomial

of the form (x+y)^n,

de la forma (x + y) ^ n,

where n is the number of the row,

donde n es el número de la fila,

and we start counting from zero.

empezando a contar desde cero.

So if you make n=2 and expand it,

Así que si haces a n = 2 y lo expandes,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

te da (x ^ 2) + 2xy + (y ^ 2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Los coeficientes o números delante de las variables,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

son los mismos que los números en la fila del Triángulo de Pascal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Verás lo mismo con n = 3, que se expande a esto.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

El triángulo es una manera rápida y fácil de consultar todos estos coeficientes.

But there's much more.

Pero hay mucho más.

For example, add up the numbers in each row,

Por ejemplo, suma los números en cada fila,

and you'll get successive powers of two.

y obtendrás sucesivas potencias de 2.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

O en una fila trata cada número como parte de una expansión decimal.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

En otras palabras, la fila dos es (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Obtendrás 121, que es 11 ^ 2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Y echa un vistazo a lo que sucede cuando haces lo mismo a la fila 6.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Suma 1.771.561, que es 11 ^ 6, y así sucesivamente.

There are also geometric applications.

También hay aplicaciones geométricas.

Look at the diagonals.

Mira las diagonales.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Las dos primeras poco interesantes: todos uno, y luego los enteros positivos,

also known as natural numbers.

también conocidos como números naturales.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Pero los números en la siguiente diagonal son llamados los números triangulares

because if you take that many dots,

porque al tomar muchos puntos,

you can stack them into equilateral triangles.

puedes apilarlos en triángulos equiláteros.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

La siguiente diagonal tiene los números tetraédricos

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

porque del mismo modo, puedes apilar muchas esferas en tetraedros.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

O qué tal esto: sombreado en todos los números impares.

It doesn't look like much when the triangle's small,

No parece mucho con el triángulo pequeño,

but if you add thousands of rows,

pero si se agregas miles de filas,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

obtienes un fractal conocido como triángulo de Sierpinski.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Este triángulo no es solo un trabajo de arte matemático.

It's also quite useful,

También es muy útil,

especially when it comes to probability and calculations

especialmente cuando se trata de probabilidad y cálculos

in the domain of combinatorics.

en el dominio de la combinatoria.

Say you want to have five children,

Digamos que quieres tener 5 hijos,

and would like to know the probability

y te gustaría saber la probabilidad

of having your dream family of three girls and two boys.

de tener tu familia de ensueño de 3 niñas y 2 niños.

In the binomial expansion,

En la expansión binomial,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

corresponde a chica más chico a la quinta potencia.

So we look at the row five,

Fijémonos en la fila cinco,

where the first number corresponds to five girls,

donde el primer número corresponde a 5 chicas,

and the last corresponds to five boys.

y el último corresponde a 5 chicos.

The third number is what we're looking for.

El tercer número es lo que estamos buscando.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

10 de la suma de todas las posibilidades en la fila.

so 10/32, or 31.25%.

de modo 10/32, o 31,25 %.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

O, si estás escogiendo al azar un equipo de baloncesto de 5 jugadores

out of a group of twelve friends,

de un grupo de 12 amigos,

how many possible groups of five are there?

¿cuántos posibles grupos de 5 hay?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

En términos combinatorias, este problema se expresa como de 12 elegir 5,

and could be calculated with this formula,

y podría calcularse con esta fórmula,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

o podrías mirar el sexto elemento de la fila doce en el triángulo

and get your answer.

y obtener tu respuesta.

The patterns in Pascal's Triangle

Los patrones en el triángulo de Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

son un testimonio del elegante entretejido de las matemáticas.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Y todavía está revelando secretos frescos a hoy.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Por ejemplo, se descubrió recientemente una manera de ampliarlo

to these kinds of polynomials.

a este tipo de polinomios.

What might we find next?

¿Qué podemos encontrar a continuación?

Well, that's up to you.

Bueno, eso depende de ti.