The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Os segredos matemáticos do Triângulo de Pascal - Wajdi Mohamed Ratemi

Tradutor: Francisco Zattoni Revisor: Ruy Lopes Pereira

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Esta pode parecer uma pilha ordenada de números,

but it's actually a mathematical treasure trove.

mas, na verdade, é um valioso tesouro matemático.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Os matemáticos indianos o chamavam de Escadaria do Monte Meru.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

No Irã, é o Triângulo Khayyam.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Em grande parte do mundo ocidental, é conhecido como Triângulo de Pascal

devido ao matemático francês Blaise Pascal,

after French mathematician Blaise Pascal,

o que parece um pouco injusto visto que cuidou deste assunto bem depois,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

but he still had a lot to contribute.

mas ele ainda tinha muito no que contribuir.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Então o que tem nisso que intrigou tanto os matemáticos no mundo inteiro?

In short, it's full of patterns and secrets.

Em resumo, é cheio de padrões e segredos.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Antes de mais nada, há o padrão que o gera.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Comecem com um e imaginem zeros invisíveis de cada lado.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Somem os números aos pares, e gere a próxima fileira.

Now, do that again and again.

Então façam isso repetidas vezes.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Continuem e acabarão com algo assim,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

embora o verdadeiro Triângulo de Pascal continue infinitamente.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Cada fileira corresponde ao que é chamado de coeficientes de uma equação binomial

of the form (x+y)^n,

da forma de (x+y) elevado a n,

where n is the number of the row,

onde n é o número da linha,

and we start counting from zero.

começando a contar a partir do zero.

So if you make n=2 and expand it,

Se fizermos n=2 e a desenvolvermos,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

temos (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Os coeficientes, ou números que antecedem as variáveis,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

são os mesmos números daquela linha do triângulo.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

A mesma coisa vai acontecer para n=3, que se desenvolve assim.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

O triângulo é uma forma rápida e fácil para checar todos esses coeficientes.

But there's much more.

Porém há muito mais.

For example, add up the numbers in each row,

Por exemplo, somem os números em cada fileira,

and you'll get successive powers of two.

e serão formadas potências de dois consecutivas.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Ou em uma dada fileira,

considere cada número como parte de uma expansão decimal.

Em outras palavras, a linha dois é (1x1) + (2x10) + (1x100).

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

E veja o que acontece quando fazemos a mesma coisa com a linha seis.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Obtemos 1.771.561, que é 11 elevado a 6,

e assim por diante.

There are also geometric applications.

Também há aplicações geométricas.

Look at the diagonals.

Olhem para as diagonais.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

As duas primeiras não são muito interessantes:

todos uns, e depois inteiros positivos, também conhecidos como números naturais.

also known as natural numbers.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Mas os números da diagonal seguinte são chamados de números triangulares

because if you take that many dots,

porque se pegarmos todos esses números,

you can stack them into equilateral triangles.

podemos agrupá-los em triângulos equiláteros.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

A próxima diagonal é formada por números tetraédricos

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

pois, analogamente, podemos agrupá-los em tetraedros.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

E o que acham disto? Ocultem todos os números ímpares.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Não é grande coisa já que o triângulo é pequeno,

but if you add thousands of rows,

mas se acrescentarmos milhares de linhas,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

obtemos um fractal, conhecido por Triângulo de Sierpinski.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Esse triângulo não é apenas uma obra de arte matemática.

It's also quite useful,

Também é bastante útil,

especially when it comes to probability and calculations

especialmente quando se trata de probabilidade e cálculos

in the domain of combinatorics.

no domínio da análise combinatória.

Say you want to have five children,

Digamos que queremos ter cinco filhos,

and would like to know the probability

e desejamos saber a probabilidade

of having your dream family of three girls and two boys.

de ter a família dos sonhos com três meninas e dois meninos.

In the binomial expansion,

Na expressão binomial,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

isso corresponde a (menina + menino) elevado a quinta potência.

So we look at the row five,

Portando, olhemos para a fileira cinco,

where the first number corresponds to five girls,

onde o primeiro número corresponde a cinco meninas,

and the last corresponds to five boys.

e o último a cinco meninos.

The third number is what we're looking for.

O terceiro número é o que estamos procurando.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Dez do total da soma de todas as possibilidades na linha.

so 10/32, or 31.25%.

Portanto 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Se, ao acaso, estivermos escolhendo times de basquete de cinco jogadores

out of a group of twelve friends,

de um grupo de 20 amigos,

how many possible groups of five are there?

quantos times de cinco é possível formar?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Em análise combinatória, esse problema seria descrito

como cinco escolhidos em doze,

and could be calculated with this formula,

e poderia ser calculado com esta fórmula,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

ou poderíamos simplesmente olhar para o sexto elemento

da linha 12 do triângulo, e obter a resposta.

and get your answer.

The patterns in Pascal's Triangle

Os padrões no Triângulo de Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

constituem uma evidência elegante do intrincado tecido da matemática.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Até hoje ainda revela novos segredos.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Por exemplo, os matemáticos recentemente descobriram uma forma de os expandirem

to these kinds of polynomials.

para estes tipos de polinômios.

What might we find next?

O que podemos encontrar em seguida?

Well, that's up to you.

Bem, isso é com vocês.