The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Isabel Vaz Belchior

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Isto pode parecer uma pilha de números bem arrumados,

but it's actually a mathematical treasure trove.

mas, na verdade, é um rico manancial matemático.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Os matemáticos indianos chamavam-lhe a Escadaria do Monte Meru.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

No Irão, é o Triângulo Khayyám.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

E na China, é o Triângulo de Yang Hui.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Para grande parte do mundo ocidental é conhecido como o Triângulo de Pascal,

after French mathematician Blaise Pascal,

do matemático francês Blaise Pascal,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

o que parece bastante injusto porque, obviamente, ele foi o último

but he still had a lot to contribute.

embora ainda tenha contribuído muito.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

O que é que tem de especial, que tanto intrigou matemáticos do mundo inteiro?

In short, it's full of patterns and secrets.

Em poucas palavras, está cheio de padrões e de segredos.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Primeiro e acima de tudo, há o padrão que o gera.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Comecem com um e imaginem um zero invisível de cada lado.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Somem-nos aos pares, gerando a linha seguinte.

Now, do that again and again.

Voltem a fazer o mesmo, uma e outra vez.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Continuem e vão acabar com uma coisa assim,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

embora o Triângulo de Pascal continue até ao infinito.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Cada linha corresponde ao que se chama os coeficientes de expansão binomial

of the form (x+y)^n,

da forma (x+y) elevado a n,

where n is the number of the row,

em que n é o número da linha,

and we start counting from zero.

e começamos a contar a partir do zero.

So if you make n=2 and expand it,

Portanto, se fizermos n=2 e expandirmos,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

temos (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Os coeficientes, ou números em frente das variáveis,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

são os mesmos que os números nessa linha do Triângulo de Pascal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Veremos a mesma coisa com n=3, que expande assim.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Portanto, o triângulo é uma forma rápida e fácil de encontrar esses coeficientes.

But there's much more.

Mas há muito mais ainda.

For example, add up the numbers in each row,

Por exemplo, somem os números em cada linha,

and you'll get successive powers of two.

e obtêm sucessivas potências de dois.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Numa dada linha, tratem cada número como uma parte duma expansão decimal.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Por outras palavras, a linha dois é (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Obtemos 121, que é 11 elevado a 2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Vejam o que acontece, quando fazemos o mesmo na linha seis.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Obtemos 1 771 561,

que é 11 elevado a 6,

e assim sucessivamente.

There are also geometric applications.

Também há aplicações geométricas.

Look at the diagonals.

Olhem para as diagonais.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

As duas primeiras não são muito interessantes:

a primeira é tudo uns, a segunda, os inteiros positivos,

also known as natural numbers.

também conhecidos por números naturais.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Mas os números na diagonal seguinte, chamam-se os números triangulares

because if you take that many dots,

porque, se agarrarmos nesses números,

you can stack them into equilateral triangles.

podemos empilhar os círculos em triângulos equiláteros.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

A diagonal seguinte tem os números tetraédricos

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

porque, do mesmo modo, podemos empilhar as esferas em tetraedros.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

E agora isto: tapem todos os números ímpares.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Não se vê grande coisa quando o triângulo é pequeno,

but if you add thousands of rows,

mas se acrescentarmos milhares de linhas,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

obtemos um fractal, conhecido por Triângulo de Sierpinski.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Este triângulo não é apenas uma obra de arte matemática.

It's also quite useful,

Também é muito útil,

especially when it comes to probability and calculations

em especial no que se refere a probabilidades e cálculos

in the domain of combinatorics.

no domínio da combinatória.

Say you want to have five children,

Digamos que queremos ter cinco filhos,

and would like to know the probability

e gostaríamos de saber a probabilidade

of having your dream family of three girls and two boys.

de ter uma família de sonho de três raparigas e dois rapazes.

In the binomial expansion,

Na expansão binomial,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

isso corresponde a (rapariga mais rapaz) elevado à quinta potência.

So we look at the row five,

Portanto, olhemos para a linha cinco,

where the first number corresponds to five girls,

em que o primeiro termo corresponde a cinco raparigas,

and the last corresponds to five boys.

e o último corresponde a cinco rapazes.

The third number is what we're looking for.

O terceiro termo é aquele de que andamos à procura.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

A parcela 10, na soma de todas as possibilidades na linha.

so 10/32, or 31.25%.

Portanto, 10 sobre 32, ou seja, 31,25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Se, ao acaso, escolhermos uma equipa de basquetebol de cinco jogadores

out of a group of twelve friends,

num grupo de doze colegas,

how many possible groups of five are there?

quantos grupos possíveis de cinco existem?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Em termos combinatórios,

este problema seria descrito como "cinco escolhidos em doze"

and could be calculated with this formula,

e podia ser calculado com esta fórmula.

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

Ou podíamos olhar para o sexto elemento da linha doze do triângulo

and get your answer.

e obter a resposta.

The patterns in Pascal's Triangle

Os padrões no Triângulo de Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

são um testemunho do elegante tecido entretecido da matemática.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

E ainda continuam a revelar novos segredos, hoje em dia.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Por exemplo, os matemáticos descobriram há pouco uma forma de o expandirem

to these kinds of polynomials.

até este tipo de polinomiais.

O que mais descobriremos a seguir?

What might we find next?

Well, that's up to you.

Bem, isso agora é convosco.