The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Translator: Cibrán Arxibai Reviewer: Xusto Rodriguez

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Isto pode parecer un amoreamento de números ben ordenados,

but it's actually a mathematical treasure trove.

pero en realidade é unha mina matemática.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Os matemáticos indios chamábanlle Escaleira do Monte Meru.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

En Irán, é o triángulo de Khayyam.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

E na China é o triángulo de Yang Hui.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

En boa parte do mundo occidental é coñecido como o triángulo de Pascal,

after French mathematician Blaise Pascal,

polo matemático francés Blaise Pascal,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

o que parece algo inxusto pois non foi dos primeiros en abordalo,

but he still had a lot to contribute.

con todo, fixo grandes contribucións.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Que é o que ten para intrigar a matemáticos do mundo enteiro?

In short, it's full of patterns and secrets.

Resumindo, está cheo de padróns e segredos.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

En primeiro lugar, está o padrón que o xera.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Comeza cun 1 e imaxina ceros invisibles a cada lado.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Súmaos de dous en dous, para xerar a seguinte fila.

Now, do that again and again.

Agora, faino unha e outra vez.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Continúa e acabarás con algo así,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

aínda que o triángulo de Pascal continúe indefinidamente.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

En cada fila temos os coeficientes do desenvolvemento

of the form (x+y)^n,

do binomio (x+y) elevado a n,

where n is the number of the row,

onde n é o número da fila,

and we start counting from zero.

se comenzamos a contar a partir do cero.

So if you make n=2 and expand it,

Polo que se n=2 e desenvolvemos,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

obtemos (x^2)+2xy+(y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Os coeficientes, ou números que preceden ás variables,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

son os mesmos que os números da fila do triángulo de Pascal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Veremos o mesmo con n=3, que se desenvolve así.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

O triángulo é unha forma rápida e sinxela de obter todos eses coeficientes.

But there's much more.

Pero hai moito máis.

For example, add up the numbers in each row,

Por exemplo, sumando os enteiros en cada fila,

and you'll get successive powers of two.

obteremos as sucesivas potencias de dous.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Ou nunha fila dada considera cada número como parte dun desenvolvemento decimal.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Noutras palabras, a liña dous é (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Obtemos 121, que é 11^2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Mira o que pasa cando fas o mesmo na liña seis.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Obteremos 1.771.561,

que é 11 elevado a 6,

e así sucesivamente.

There are also geometric applications.

Tamén hai aplicacións xeométricas.

Look at the diagonals.

Observa as diagonais.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

As dúas primeiras non son moi interesantes:

a primeira só ten uns, a segunda, os enteiros positivos,

also known as natural numbers.

tamén coñecidos como números naturais.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Mais os números da diagonal seguinte son os chamados números triangulares

because if you take that many dots,

porque, se collemos todos eses puntos,

you can stack them into equilateral triangles.

podemos amorealos en triángulos equiláteros.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

A seguinte diagonal ten os números tetraédricos

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

porque, do mesmo xeito, podemos amorear as esferas en tetraedros.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

E que che parece isto? Marcamos todos os números impares.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Non parece gran cousa cando o triángulo é pequeno,

but if you add thousands of rows,

porén se ampliamos miles de filas,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

obtemos un fractal, coñecido como triángulo de Sierpinski.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Ese triángulo non é só unha obra de arte matemática.

It's also quite useful,

Tamén é moi útil,

especially when it comes to probability and calculations

especialmente cando falamos de probabilidade e cálculos

in the domain of combinatorics.

no ámbito da combinatoria.

Say you want to have five children,

Digamos que queremos ter cinco fillos,

and would like to know the probability

e desexamos saber a probabilidade

of having your dream family of three girls and two boys.

de termos unha familia con tres nenas e dous nenos.

In the binomial expansion,

No desenvolvemento binomial,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

iso corresponde a (nena máis neno) elevado á quinta potencia.

So we look at the row five,

Velaí que se miramos para a fila 5

where the first number corresponds to five girls,

o primeiro número corresponde a 5 nenas,

and the last corresponds to five boys.

e o último corresponde a 5 nenos.

The third number is what we're looking for.

O terceiro número é o que estamos a buscar.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Son 10 de entre todas as posibilidades da fila.

so 10/32, or 31.25%.

Así que 10/32, ou o 31,25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Ou se estás escollendo ao chou un equipo de baloncesto de 5 xogadores

out of a group of twelve friends,

dun grupo de 12 amigos,

how many possible groups of five are there?

cantos grupos posibles de 5 podes formar?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

En termos combinatorios

este problema enunciaríase como "5 sobre 12",

and could be calculated with this formula,

e calcularíase con esta fórmula,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

ou senón procurariamos o sexto elemento da fila 12 do triángulo,

and get your answer.

obtendo así a resposta.

The patterns in Pascal's Triangle

Os padróns no Triángulo de Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

son un testemuño elegante entretecido que forman as matemáticas.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

E aínda continúan a revelar novos segredos hoxe en día.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Por exemplo, os matemáticos descubriron hai pouco unha forma

to these kinds of polynomials.

de desenvolvelo a esta clase de polinomios.

Que máis atoparemos no futuro?

What might we find next?

Well, that's up to you.

Ben, iso depende de ti.