The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Translator: Hằng Vũ Reviewer: Emily Nguyen

Trông như một tập hợp các số được sắp xếp theo thứ tự

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

but it's actually a mathematical treasure trove.

nhưng lại là một kho báu toán học.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Những nhà toán học Ấn Độ gọi nó là Nấc thang lên đỉnh Tu Di.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

Ở Iran, nó có tên Tam giác Khayyam

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

Và ở Trung Quốc, là Tam giác Dương Huy.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Ở hầu hết các nước phương Tây, nó được biết đến với tên Tam giác Pascal,

after French mathematician Blaise Pascal,

đặt theo tên nhà toán học người Pháp, Bryce Pascal,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

nghe có vẻ hơi bất công

vì rõ ràng khám phá của ông muộn hơn những người khác

but he still had a lot to contribute.

nhưng ông vẫn có nhiều đóng góp.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Vậy điều gì khiến nó hấp dẫn các nhà toán học trên thế giới đến vậy?

In short, it's full of patterns and secrets.

Nói ngắn gọn, nó chứa đầy quy luật và bí ẩn.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Trước nhất là quy tắc tạo thành.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Bắt đầu với số một,

hãy tưởng tượng những số không vô hình ở hai bên.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Cộng chúng lại theo cặp, sẽ tạo thành dòng tiếp theo.

Now, do that again and again.

Hãy lặp lại việc này.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Cứ tiếp tục như vậy, bạn có được một tam giác như thế này,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

dù thực tế, Tam giác Pascal có thể đến vô tận.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Mỗi dòng ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức

of the form (x+y)^n,

có dạng (x+y)^n,

where n is the number of the row,

trong đó n là số dòng,

and we start counting from zero.

và bắt đầu tính từ số không.

So if you make n=2 and expand it,

Do đó, nếu cho n=2 và khai triển nó,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

bạn sẽ được: (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Hệ số, hay số đứng trước biến,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

trùng với các con số của dòng tương ứng trong Tam giác Pascal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Bạn sẽ thấy điều tương tự với n=3, được khai triển thành thế này.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Dùng tam giác này, ta có thể tra các hệ số này nhanh chóng và dễ dàng.

But there's much more.

Và hơn thế nữa.

For example, add up the numbers in each row,

Ví dụ, tính tổng các số trên mỗi dòng

and you'll get successive powers of two.

ta được dãy lũy thừa cơ số 2.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Hoặc trên một dòng, coi mỗi số là một phần của khai triển trong hệ thập phân.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Nói cách khác, dòng hai được biểu diễn: (1x1)+(2x10)+(1x100).

You get 121, which is 11^2.

Bạn sẽ có 121, tức 11^2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Hãy xem điều gì xảy ra khi làm tương tự với dòng sáu.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Tổng là 1.771.561,

tức 11^6,

và tiếp tục như vậy.

There are also geometric applications.

Nó cũng có các ứng dụng trong hình học.

Look at the diagonals.

Hãy nhìn vào các đường chéo.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Hai đường đầu tiên không có gì thú vị: toàn số một, và các số nguyên dương,

also known as natural numbers.

hay còn được gọi là số tự nhiên.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Nhưng các số trên đường chéo tiếp theo được gọi là số tam giác

because if you take that many dots,

vì bạn có thể lấy các điểm đó,

you can stack them into equilateral triangles.

xếp chúng thành các tam giác đều.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

Đường chéo kế tiếp chứa số tứ diện

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

vì đơn giản, bạn có thể xếp chúng thành một tứ diện.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

Hoặc tô tất cả các số lẻ.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Có vẻ như chẳng có gì đặc biệt nếu tam giác này quá nhỏ

but if you add thousands of rows,

nhưng nếu thêm vào hàng ngàn dòng,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

bạn sẽ có một hệ chiết hình gọi là Tam giác Sierpinski.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Tam giác này không chỉ là một kiệt tác toán học.

It's also quite useful,

Nó còn khá hữu dụng,

especially when it comes to probability and calculations

nhất là với xác suất và tính toán

in the domain of combinatorics.

trong ngành toán học tổ hợp.

Say you want to have five children,

Giả sử bạn muốn có năm người con,

and would like to know the probability

và muốn biết xác suất

of having your dream family of three girls and two boys.

của việc có được gia đình mơ ước với ba con gái và hai con trai.

In the binomial expansion,

Trong khai triển nhị thức,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

nó tương ứng với tổng số con gái và con trai, tất cả mũ năm.

So we look at the row five,

Hãy cùng nhìn vào dòng thứ năm,

where the first number corresponds to five girls,

số đầu tiên ứng với năm người con gái

and the last corresponds to five boys.

và số cuối ứng với năm người con trai.

The third number is what we're looking for.

Số đứng thứ ba chính là con số ta muốn tìm.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Lấy mười chia cho tổng các xác suất trong dòng.

so 10/32, or 31.25%.

Vậy là 10/32, hay 31.25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Hoặc nếu bạn chọn ngẫu nhiên năm người trong một đội bóng rổ

out of a group of twelve friends,

trong một nhóm 12 người,

how many possible groups of five are there?

có thể lập được tất cả bao nhiêu nhóm năm người?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Trong toán tổ hợp,

bài toán này sẽ được biểu diễn dưới dạng tổ hợp chập 5 của 12,

and could be calculated with this formula,

và có thể dùng công thức này để tính,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

hay bạn có thể chỉ nhìn vào số thứ sáu trên dòng 12 của tam giác

and get your answer.

và tìm được đáp án.

The patterns in Pascal's Triangle

Quy luật trong Tam giác Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

là minh chứng cho cấu trúc đan xen một cách tinh tế của toán học.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Cho tới ngày nay, nó vẫn đang tiết lộ thêm những bí mật mới.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Ví dụ, các nhà toán học gần đây phát hiện ra cách để khai triển nó

to these kinds of polynomials.

cho tới loại đa thức này.

What might we find next?

Ta có thể tìm thấy gì tiếp theo?

Well, that's up to you.

Điều đó tùy thuộc vào bạn.