The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Traduttore: Sara Tirabassi Revisore: Alessandra Tadiotto

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Questa potrebbe sembrare una pila ordinata di numeri,

but it's actually a mathematical treasure trove.

ma in realtà è un vero tesoro matematico.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

I matematici indiani la chiamano la Scalinata del Monte Meru.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

In Iran è il Triangolo di Khayyam.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

E in Cina è il Triangolo di Yang Hui.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

In gran parte dell'occidente è noto come Triangolo di Pascal

after French mathematician Blaise Pascal,

dal nome del matematico francese Blaise Pascal.

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

Ad essere sinceri Pascal è arrivato in ritardo rispetto agli altri,

but he still had a lot to contribute.

ma ha comunque contribuito molto.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Ma cos'è che ha affascinato così tanto i matematici di tutto il mondo?

In short, it's full of patterns and secrets.

Per farla breve, è zeppo di schemi e segreti.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Innanzitutto si costruisce con un algoritmo.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Inizia con un uno, e accanto a esso immagina due zeri invisibili.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Somma i numeri a coppie per generare la riga dopo.

Now, do that again and again.

Ora rifai la stessa cosa più volte.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Continua così e troverai qualcosa di simile,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

ma in realtà il Triangolo di Pascal va avanti all'infinito.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

In ogni riga ci sono i cosiddetti coefficienti di un'espansione binomiale

of the form (x+y)^n,

della forma (x+y)^n,

where n is the number of the row,

dove n è il numero della riga,

and we start counting from zero.

e contiamo le righe a partire da zero.

So if you make n=2 and expand it,

Quindi se scegli n=2 ottieni l'espansione:

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

(x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

I coefficienti, cioè i numeri che vedi davanti alle variabili,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

sono i numeri nella riga corrispondente del Triangolo di Pascal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

La stessa cosa è vera per n=3, che si espande così.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Il Triangolo è un modo semplice e rapido per scoprire tutti questi coefficienti.

But there's much more.

Ma c'è di più.

For example, add up the numbers in each row,

Ad esempio, sommando i numeri di ogni riga

and you'll get successive powers of two.

ottieni una dopo l'altra le potenze di 2.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Oppure tratta i numeri di una riga come parte di un'espansione decimale.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Praticamente, la riga numero due diventa: (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Ottieni 121, che è proprio 11^2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

E guarda che succede se fai lo stesso con la riga numero sei:

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

ottieni 1 771 561, cioè 11^6, e così via.

There are also geometric applications.

Ci sono anche applicazioni nel campo della geometria.

Look at the diagonals.

Guarda le diagonali.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Le prime due non sono interessanti: tutti uno, e poi gli interi positivi,

also known as natural numbers.

noti anche come numeri naturali.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Ma i numeri della diagonale successiva si chiamano numeri triangolari

because if you take that many dots,

perché se prendi questo numero di punti

you can stack them into equilateral triangles.

puoi disporli a formare un triangolo equilatero.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

La diagonale successiva contiene i numeri tetraedrici

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

perché con questo numero di sfere si può costruire un tetraedro.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

E ancora: prova ad annerire tutti i numeri dispari.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Non succede nulla di interessante se il triangolo è piccolo,

but if you add thousands of rows,

ma se aggiungi migliaia di righe,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

ottieni un frattale chiamato Triangolo di Sierpiński.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Questo triangolo non solo è un capolavoro matematico.

It's also quite useful,

È anche piuttosto utile,

especially when it comes to probability and calculations

soprattutto nel calcolo delle probabilità

in the domain of combinatorics.

e nel calcolo combinatorio in generale.

Say you want to have five children,

Mettiamo che tu voglia cinque figli,

and would like to know the probability

e voglia sapere quanto è probabile

of having your dream family of three girls and two boys.

realizzare la famiglia dei tuoi sogni con tre femmine e due maschi.

In the binomial expansion,

In termini di espansione binomiale

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

ciò corrisponde a femmine più maschi alla quinta.

So we look at the row five,

Quindi guardiamo la riga cinque,

where the first number corresponds to five girls,

in cui il primo numero corrisponde a 5 femmine,

and the last corresponds to five boys.

e l'ultimo numero a cinque maschi.

The third number is what we're looking for.

Il terzo numero è quello che ci interessa.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Quindi dieci, sul totale di tutte le possibilità della riga,

so 10/32, or 31.25%.

cioè 10/32, ossia il 31,25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

O, volendo una squadra di pallacanestro composta scegliendo a caso 5 giocatori

out of a group of twelve friends,

da un gruppo di 12 amici,

how many possible groups of five are there?

quanti sono i possibili gruppi da cinque?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Nel calcolo combinatorio questo problema si esprime come dodici sopra cinque,

and could be calculated with this formula,

e si può calcolare con questa formula,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

oppure basta guardare il sesto elemento della dodicesima riga del triangolo

and get your answer.

per ottenere la risposta.

The patterns in Pascal's Triangle

Le proprietà del Triangolo di Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

dimostrano quanto la matematica sia elegantemente interconnessa.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

E ancora oggi il triangolo rivela segreti sempre nuovi.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Ad esempio, i matematici hanno da poco scoperto come estenderlo

to these kinds of polynomials.

ai polinomi di questo tipo.

What might we find next?

Chissà cosa scopriremo ancora?

Well, that's up to you.

Beh, questo dipende da te.