The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Математические секреты треугольника Паскаля — Ваджди Мухаммед Ратеми

Переводчик: Maxim Burkin Редактор: Natalia Savvidi

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Возможно, это выглядит, как куча аккуратно расположенных чисел,

but it's actually a mathematical treasure trove.

но на самом деле это драгоценный клад математики.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Индийские математики называли это лестницей на гору Меру.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

В Иране это треугольник Хайяма.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

А в Китае это треугольник Ян Хуэя.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Большей части западного мира это известно как треугольник Паскаля,

after French mathematician Blaise Pascal,

в честь французского математика Блеза Паскаля,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

что кажется слегка несправедливым, так как он явно опоздал на «вечеринку»,

but he still had a lot to contribute.

но он всё-таки внёс большой вклад.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Так что же в этом такого, что так увлекало математиков по всему миру?

In short, it's full of patterns and secrets.

Вкратце, в этом треугольнике скрыто множество закономерностей и секретов.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Прежде всего, это тот принцип, по которому он получается.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Начните с единицы и представьте невидимые нули по обе стороны от неё.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Сложите числа попарно, и получите следующий ряд.

Now, do that again and again.

Далее, делайте так снова и снова.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Продолжайте эту операцию, и перед вами развернётся что-то вроде этого,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

хотя на самом деле треугольник Паскаля продолжается до бесконечности.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Каждый ряд соответствует так называемым коэффициентам биномиального разложения,

of the form (x+y)^n,

выражения вида (x+y)^n,

where n is the number of the row,

где n — номер ряда,

and we start counting from zero.

а нумерация их начинается с нуля.

So if you make n=2 and expand it,

Так что, если мы примем n=2 и разложим данное выражение,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

то получим (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Коэффициенты, то есть числа, стоящие перед переменными,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

совпадают с числами во втором ряду треугольника Паскаля.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

То же самое можно увидеть при n=3, что даёт такое разложение.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Итак, треугольник — это быстрый и лёгкий способ нахождения этих коэффициентов.

But there's much more.

Но это ещё не всё.

For example, add up the numbers in each row,

Например, сложите все числа в каждом ряду,

and you'll get successive powers of two.

и вы получите последовательность степеней двойки.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Или в каком-либо из рядов каждое число будем считать цифрой десятичного числа.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Иначе говоря, второй ряд даёт (1 x 1) + (2 x 10) + (1 x 100),

You get 121, which is 11^2.

и мы получаем 121, что равно 11^2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Посмотрим, что произойдёт, если то же самое сделать с шестым рядом.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Это даст 1 771 561, что равняется 11^6, и так далее.

There are also geometric applications.

Есть и геометрические применения этого треугольника.

Look at the diagonals.

Взгляните на диагонали.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Первые две не очень интересны: только единицы,

а потом целые положительные числа, известные также как натуральные числа.

also known as natural numbers.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Но числа на следующей диагонали называются треугольными числами,

because if you take that many dots,

так как если взять столько кружков,

you can stack them into equilateral triangles.

то из них можно построить равносторонние треугольники.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

На следующей диагонали располагаются тетраэдрические числа,

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

так как, аналогично, из такого числа сфер можно сложить тетраэдры.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

А как насчёт такого: затеним все чётные числа —

It doesn't look like much when the triangle's small,

не так уж и много, когда треугольник мал,

but if you add thousands of rows,

если же добавить тысячи рядов,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

то получим фрактал, известный как треугольник Серпинского.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Этот треугольник — не просто математическое произведение искусства.

It's also quite useful,

Он ещё весьма полезен,

especially when it comes to probability and calculations

особенно когда речь заходит о вероятностях

in the domain of combinatorics.

и вычислениях в области комбинаторики.

Скажем, вы хотите, чтобы у вас было пятеро детей,

Say you want to have five children,

and would like to know the probability

и желали бы узнать вероятность того,

of having your dream family of three girls and two boys.

что у вас будет семья вашей мечты с тремя девочками и двумя мальчиками.

In the binomial expansion,

В биномиальном разложении

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

этому соответствует (девочка + мальчик) в пятой степени.

So we look at the row five,

Итак, мы смотрим на пятый ряд,

where the first number corresponds to five girls,

в котором первое число соответствует пяти девочкам,

and the last corresponds to five boys.

а последнее — пяти мальчикам.

The third number is what we're looking for.

Нам же нужно третье число.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Десять из суммы всех вероятностей в этом ряду.

so 10/32, or 31.25%.

В итоге получаем 10/32, то есть 31,25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Или же, если вы случайно выбираете в баскетбольную команду пять игроков

out of a group of twelve friends,

из группы двенадцати друзей,

how many possible groups of five are there?

то сколько возможно различных групп пяти игроков?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

На языке комбинаторики эта задача формулировалась бы как 5 из 12

and could be calculated with this formula,

и могла бы решаться по такой формуле,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

или же можно просто посмотреть на 6-й элемент 12-го ряда в треугольнике

and get your answer.

и сразу получить ответ.

Закономерности, имеющиеся в треугольнике Паскаля,

The patterns in Pascal's Triangle

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

свидетельствуют об изящном переплетении основ математики.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

И он по сей день продолжает открывать новые секреты.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

К примеру, недавно математики обнаружили, как его можно расширить

to these kinds of polynomials.

для полиномов такого вида.

What might we find next?

Что ещё мы сможем открыть?

Well, that's up to you.

Что ж, это зависит от вас.