The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Übersetzung: Susanna Kuschick Lektorat: Laura Witzel

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Das sieht zwar aus wie ein sauber angeordneter Stapel Zahlen,

but it's actually a mathematical treasure trove.

aber es ist eine mathematische Schatzkiste.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Indische Mathematiker nannten es "Stufen des Berges Meru".

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

Im Iran heißt es "Chayyām-Dreieck".

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

In China ist es das "Yang-Hui-Dreieck".

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

In der westlichen Welt ist es meist als Pascalsches Dreieck bekannt.

after French mathematician Blaise Pascal,

Es nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal zu benennen,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

scheint etwas unfair, da er deutlich zu spät dran war;

but he still had a lot to contribute.

doch er hatte noch viel beizutragen.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Was fasziniert Mathematiker aus aller Welt also so sehr daran?

In short, it's full of patterns and secrets.

Kurz gesagt: Es ist voller Muster und Geheimnisse.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Zunächst ist da das Muster, nach dem es entsteht.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Beginne mit Eins und stell dir unsichtbare Nullen auf beiden Seiten vor.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Addiere sie paarweise und schon bildest du die nächste Reihe.

Now, do that again and again.

Das wiederholst du immer wieder.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Mach weiter, bis so etwas Ähnliches entsteht,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

auch wenn sich das Pascalsche Dreieck eigentlich unendlich fortsetzt.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Jede Zeile entspricht den sogenannten Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes

of the form (x+y)^n,

in der Form (x+y)^n,

where n is the number of the row,

bei dem n die Nummer der Zeile ist

and we start counting from zero.

und man bei Null anfängt zu zählen.

So if you make n=2 and expand it,

Wenn man also n=2 nimmt und es erweitert,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

erhält man (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Die Koeffizienten oder Zahlen vor den Variablen

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

sind dieselben wie die Zahlen in dieser Zeile des Pascalschen Dreiecks.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Mit n=3 passiert das Gleiche, was dann so aussieht.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Mit dem Dreieck kann man die Koeffizienten also schnell und einfach ermitteln.

But there's much more.

Aber da ist noch viel mehr.

For example, add up the numbers in each row,

Zähle etwa die Zahlen in jeder Zeile zusammen

and you'll get successive powers of two.

und du erhältst nacheinander alle Potenzen von Zwei.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Oder nimm jede Zahl einer beliebigen Zeile als Teil einer Dezimalentwicklung.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Anders gesagt, Zeile zwei ist (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Man erhält 121, was 11^2 entspricht.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Sieh dir an, was passiert, wenn man dasselbe in Zeile sechs macht.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Die Summe ist 1.771.561, was 11^6 entspricht, usw.

There are also geometric applications.

Es gibt auch geometrische Anwendungen.

Look at the diagonals.

Sieh die Diagonalen an.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Die ersten beiden sind eher uninteressant:

alles Einsen, dann die positiven Zahlen,

also known as natural numbers.

auch als natürliche Zahlen bekannt.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Doch die Zahlen in der nächsten Diagonale nennt man Dreieckszahlen.

because if you take that many dots,

Denn mit dieser Anzahl Punkte

you can stack them into equilateral triangles.

lassen sie sich als gleichseitige Dreiecke anordnen.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

Die nächste Diagonale hat vierflächige Zahlen,

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

weil man ebenso viele Kugeln als Tetraeder anordnen kann.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

Oder wie wäre es damit: Markiere alle ungeraden Zahlen.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Es sieht nach wenig aus wenn das Dreieck klein ist,

but if you add thousands of rows,

doch wenn man tausende Zeilen addiert

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

erhält man ein Fraktal, das man Sierpinski-Dreieck nennt.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Dieses Dreieck ist nicht nur ein mathematisches Kunstwerk.

It's also quite useful,

Es ist vor allem sehr nützlich,

especially when it comes to probability and calculations

wenn es um Wahrscheinlichkeit und Berechnungen in der Kombinatorik geht.

in the domain of combinatorics.

Say you want to have five children,

Sagen wir, du willst fünf Kinder und möchtest wissen,

and would like to know the probability

wie wahrscheinlich deine Traumfamilie von drei Mädchen und zwei Jungen ist.

of having your dream family of three girls and two boys.

In the binomial expansion,

Beim binomischen Lehrsatz entspricht das "Mädchen plus Junge hoch fünf".

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

So we look at the row five,

Schauen wir uns also Zeile fünf an,

where the first number corresponds to five girls,

wo die erste Zahl fünf Mädchen und die letzte fünf Jungen entspricht

and the last corresponds to five boys.

The third number is what we're looking for.

Die dritte Zahl ist, was wir suchen.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Zehn geteilt durch die Summe aller Möglichkeiten der Zeile,

so 10/32, or 31.25%.

also 10/32 oder 31,25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Oder wenn du aus einer Gruppe von 12 Freunden

zufällig fünf Spieler für ein Basketballteam wählst,

out of a group of twelve friends,

how many possible groups of five are there?

wie viele Fünfergruppen sind dann möglich?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Auf dem Gebiet der Kombinatorik hieße dieses Problem "fünf aus zwölf"

und ließe sich mit dieser Formel berechnen.

and could be calculated with this formula,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

Oder man sieht sich das sechste Element von Zeile zwölf des Dreiecks an

and get your answer.

und erhält so die Antwort.

The patterns in Pascal's Triangle

Die Muster im Pascalschen Dreieck

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

sind ein Beleg für die elegant verwobenen Strukturen der Mathematik.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Und es enthüllt bis heute neue Geheimnisse.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

So haben Mathematiker kürzlich einen Weg gefunden,

es zu dieser Art Polynome zu erweitern.

to these kinds of polynomials.

What might we find next?

Was finden wir wohl als Nächstes?

Well, that's up to you.

Nun, das liegt an dir.