The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Translator: Reza Yaradi Reviewer: Ali Hosseini

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

این ممکن است تنها تعدادی از اعداد مرتب پشت سرهم باشد،

but it's actually a mathematical treasure trove.

اما عملاً گنجینه ای در ریاضی محسوب می شوند.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

ریاضی دانان هندی آن را «پلکان کوه مِرو» می نامند.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

در ایران «مثلث خیام» نام دارد.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

در چین، به مثلث «یانگ هُوی» معروف است.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

در دنیای غرب البته، بیشتر به مثلث پاسکال معروف است

after French mathematician Blaise Pascal,

به نام ریاضی دان فرانسوی «بلیز پاسکال»

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

که به نظر غیر عادلانه است چرا که در میان تمام نام ها او آخرین هست.

but he still had a lot to contribute.

با این وجود خدمات زیادی به بشریت کرده است.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

خب چه چیزی راجع به این موضوع جالب است که ریاضیدانان را به وجد می آورد؟

In short, it's full of patterns and secrets.

به طور خلاصه، این پر از الگوها و رازهاست.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

اولین و مهمترین آن، الگویی است که آن را می سازد.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

با یک شروع کنید و صفرهای نامرئی را در هر طرف از آن تصور کنید.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

جفت جفت آن ها را باهم جمع کنید، خط دوم ساخته خواهد شد.

Now, do that again and again.

حال دوباره و دوباره این کار را بکنید.

Keep going and you'll wind up with something like this,

ادامه دهید تا به چیزی مثل این برسید،

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

البته مثلث پاسکال تا بینهایت ادامه می یابد.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

حال، هر سطر معادل ضرایب بسط دو جمله ای می باشد

of the form (x+y)^n,

که باز شده عبارت زیر است: (x+y) به توان n

where n is the number of the row,

که عدد n شماره سطر است،

and we start counting from zero.

و ما از صفر شروع می کنیم.

So if you make n=2 and expand it,

خوب اگر n برابر با ۲ باشد، و آن را بسط دهیم،

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

به x^2+2xy+y^2 می رسیم.

The coefficients, or numbers in front of the variables,

این ضرایب، یا اعداد کنار متغیرها،

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

همان اعداد سطرهای مثلث پاسکال هستند.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

شما مورد مشابهی را برای n=۳ خواهید دید.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

پس این مثلث روشی سریع و ساده برای یافتن این ضرایب است.

But there's much more.

اما چیزهای بیشتری نیز هست.

For example, add up the numbers in each row,

برای مثال، اعداد در هر سطر را جمع کنید،

and you'll get successive powers of two.

و شما به توان های متوالی ۲ می رسید.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

یا در هر سطر مشخص، هر عدد را به عنوان بسط ده دهی ببینید.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

به عبارت دیگر، سطر دوم عبارتست از: (۱x۱)+(۲x۱۰)+(۱x۱۰۰)

You get 121, which is 11^2.

شما به ۱۲۱ می رسید، که همان مربع ۱۱ است.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

و ببینید چه اتفاقی می افتد وقتی به سطر ششم می رسید.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

مقدار آن به ۱٫۷۷۱٫۵۶۱ می رسد که همان ۱۱ به توان ۶ است، و ادامه دارد.

There are also geometric applications.

کاربردهای هندسی نیز وجود دارد.

Look at the diagonals.

به این قطرها نگاه کنید.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

دوتای اول خیلی جالب نیستند: هردو یک هستند، و سپس اعداد مثبت می آیند.

also known as natural numbers.

که به اعداد طبیعی معروف هستند.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

ولی اعداد در قطر بعدی را اعداد مثلثی می نامند

because if you take that many dots,

چرا که اگر آن ها نقطه لحاظ کنی،

you can stack them into equilateral triangles.

می توانید آن را به عنوان مثلث متساوی الاضلاع ببینید.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

قطر بعدی اعدادی چهاروجهی هستند.

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

چرا که به طور مشابه، شما می توانید کره های زیادی را درون چهار وجهی جای دهید.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

یا درباره این مطلب: تمامی اعداد فرد را بپوشانید.

It doesn't look like much when the triangle's small,

وقتی مثلث کوچک است، خیلی زیاد به نظر نمی رسد

but if you add thousands of rows,

اما اگر هزاران سطر را باهم جمع کنید،

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

شما به الگوهای همسانی به نام «مثلث سیرپینسکی» می رسید.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

این مثلث فقط نتیجه هنر ریاضیاتی نیست.

It's also quite useful,

بسیار پرکاربرد است،

especially when it comes to probability and calculations

به خصوص وقتی بحث محاسبات و احتمالات

in the domain of combinatorics.

در حوزه ترکیبیات پیش می آید.

Say you want to have five children,

فرض کنید می خواهید پنج بچه داشته باشید،

and would like to know the probability

می خواهم احتمال این را بدانم

of having your dream family of three girls and two boys.

که خانواده رویایی شما با سه دختر و دو پسر چگونه است.

In the binomial expansion,

این همان بسط دو جمله ای است،

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

که مرتبط با مجموع پسر و دختر به توان پنج است.

So we look at the row five,

خب، نگاهی به سطر پنج می اندازیم،

where the first number corresponds to five girls,

که عدد اول مرتبط با پنج دختر است،

and the last corresponds to five boys.

و عدد آخر مرتبط با پنج پسر است.

The third number is what we're looking for.

عدد سوم چیزی است که دنبال آن هستیم.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

۱۰ تا از تمام حالات ممکن در این سطر.

so 10/32, or 31.25%.

که حاصل آن ۱۰/۳۲ یا ۳۱/۲۵٪ می شود.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

یا اگر شما به طور تصادفی تیم پنج نفره از بسکتبال را

out of a group of twelve friends,

از میان ۱۲ نفر انتخاب کنید،

how many possible groups of five are there?

چند گروه پنج نفره در آنجا خواهد بود؟

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

در زبان ترکیبیاتی، این مسأله همان انتخاب ۵ از ۱۲ است،

and could be calculated with this formula,

و با این فرمول محاسبه می شود،

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

یا شما کافی است که به عدد ششم از سطر ۱۲ مثلث نگاه کنید

and get your answer.

و جواب را بیابید.

The patterns in Pascal's Triangle

الگوها در مثلث پاسکال

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

همان اصول موجود در تار و پود ریاضی هستند.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

و هنوز اسرار تازه ای از این کشف می شوند.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

برای مثال، ریاضی دانان به تازگی روشی برای بسطِ

to these kinds of polynomials.

این چند جمله ها کشف کردند.

What might we find next?

ممکن است چه چیزی را بعداً بیابید؟

Well, that's up to you.

خب، این به عهده شماست.