The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

المترجم: Ahmad Jarbou المدقّق: Hussain Laghabi

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

قد يبدو لك هذا الشكل أشبه بكومة من الأرقام المرتبة ،

but it's actually a mathematical treasure trove.

لكنه في الواقع، كنز رياضي قيّم جداً.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

علماء الرياضيات الهنود يسمونه سُلّم "جبل ميرو".

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

وفي إيران يسمى مثلث "الخيّام".

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

وفي الصين يسمى مثلث "يانغ واي".

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

أما بالنسبة للغرب فهو معروف باسم مثلث "باسكال"،

after French mathematician Blaise Pascal,

نسبةً لعالم الرياضيات الفرنسي بلايز باسكال.

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

هذا يبدو غير عادل بعض الشيء بما أن باسكال كان متأخراً بكثيرعن باقي العلماء.

but he still had a lot to contribute.

ومع ذلك فقد كان لديه الكثير ليقدّمه.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

لكن ما هو السرّ في هذا المثلث لكي يأسر علماء الرياضيات في كافة أنحاء العالم ؟

In short, it's full of patterns and secrets.

باختصار، إنّه مليء بالأنماط والأسرار.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

أول هذه الأنماط وأهمها يكمن في النمط الذي يولده هذا المثلث :

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

تخيل الرقم 1 وبجانبه أصفار غير مرئية من الطرفين.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

اجمعها معا كأزواج ، سيتولد لديك السطر التالي.

Now, do that again and again.

والآن، افعل ذلك المرة تلو الأخرى.

Keep going and you'll wind up with something like this,

استمر في العملية نفسها، و سيتشكل لديك في نهاية المطاف هذا الشكل.

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

إنّ مثلث باسكال في الواقع يتجه نحو اللانهاية.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

الآن تجد أن كل سطر يتطابق مع ما نسميه "مُعامِل (أمثال) التوسع ثنائي الحدّ"،

of the form (x+y)^n,

من الشكل (س+ع) مرفوعًا للأس ن ،

where n is the number of the row,

حيث ن هو عدد الأسطر،

and we start counting from zero.

ونبدأ العدّ من الصفر.

So if you make n=2 and expand it,

فعلى سبيل المثال، إذا جعلنا ن= 2 و وسعناه ،

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

فسنحصل على (س ^2) +2(س ع)+(ع^2)،

The coefficients, or numbers in front of the variables,

الأمثال، أو الأرقام التي تكون أمام المتغيرات،

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

هي ذاتها الأرقام في ذاك السطر الموجود في مثلث باسكال.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

ستجد نفس النتيجة إذا جعلتَ ن = 3 الذي ستيوسع كما في الشكل.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

لذلك يعطي هذا المثلث طريقة سريعة وسهلة للبحث عن كل هذه الأمثال.

But there's much more.

ولكن هناك المزيد أيضاً ،

For example, add up the numbers in each row,

على سبيل المثال اجمع الأرقام في كل سطر،

and you'll get successive powers of two.

سوف تحصل على الرقم 2 مرفوعاً إلى قوى متتالية.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

أو في أي سطر مُعطى، قم بتجربة كل رقم في توسعه العشري.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

بمعنى آخر, السطر الثاني هو (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

والجواب هو 121, أو 11 مرفوعا للأس 2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

والآن ألق نظرة على ما سيحدث لو قمت بنفس العملية على السطر السادس.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

سنحصل على 1,771,561 أو 11 مرفوعاً للقوة 6 , وهلّم جرّاً.

There are also geometric applications.

لهذا المثلث أيضا تطبيقات هندسية.

Look at the diagonals.

انظر إلى الأقطار،أول قطرين

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

ليسا مهمين،باعتبارهما مؤلفين من الرقم 1 فقط، بعدها تجد

also known as natural numbers.

الصحيحة الموجبة،والتي تعرف أيضا بالأعداد الطبيعية.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

لكن الأرقام في القطر التالي تسمى الأرقام المثلثية،

because if you take that many dots,

لأنّك لو أخذت تلك النقاط الكثيرة،

you can stack them into equilateral triangles.

فسوف تستطيع أن تشكل من خلالها مثلثًا متساوي الأضلاع.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

القطر التالي يأخذ شكلًا رباعي الوجوه،

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

لأنك، بشكل مماثل، تستطيع أن تكدّس تلك الكريات على شكل رباعي الوجوه.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

وماذا عن هذا أيضا: ظلّل كافة الأرقام الفردية،

It doesn't look like much when the triangle's small,

لا يبدو الشكل واضحاً عندما يكون المثلث صغيرا،

but if you add thousands of rows,

لكن إذا أضفتَ آلاف الأسطر،

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

فسوف تحصل على نمط هندسي متكرر معروف باسم مثلث "سييربنسكي".

This triangle isn't just a mathematical work of art.

هذا المثلث ليس عملاً رياضيّا فنيا فحسب،

It's also quite useful,

بل هو أيضاً على قدر كبير من الأهمية،

especially when it comes to probability and calculations

خصوصاً فيما يتعلق بالاحتمالات والعمليات الحسابية،

in the domain of combinatorics.

في مجال "التوافقيات".

Say you want to have five children,

افترضْ أنك تريد أن يكون لديك خمسة أطفال،

and would like to know the probability

ورغبتَ أن تعرف احتمال

of having your dream family of three girls and two boys.

أن يكون لديك العائلة التي تحلم بها، والمؤلفة من ثلاثة فتيات وصبيين.

In the binomial expansion,

حسب التوسع ثنائي الحد،

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

فإن ذلك يكافئ (فتاة + صبي) مرفوعا إلى الأس 5 .

So we look at the row five,

لذلك ننظر إلى السطر الخامس،

where the first number corresponds to five girls,

حيث العدد الأول يكافئ 5 فتيات،

and the last corresponds to five boys.

والعدد الأخير يكافئ 5 فتيان.

The third number is what we're looking for.

الرقم الثالث هو الرقم الذي نبحث عنه.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

وهو الرقم 10 مقسوماً على مجموع كافة الاحتمالات في السطر.

so 10/32, or 31.25%.

لذلك نكتب 32\10 أو 31.25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

أو إذا اخترتَ عشوائيا فريق كرة سلة مؤلف من خمسة لاعبين ،

out of a group of twelve friends,

ضمن مجموعة مؤلفة من 12 صديقا،

how many possible groups of five are there?

ما عدد المجموعات المحتملة المؤلفة من 5 أشخاص ؟

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

بحسب "التوافقية" فإنّ هذه المسألة يتم صياغتها كاثني عشر شخصا يختارون خمسة أشخاص.

and could be calculated with this formula,

ويمكن حسابها عن طريق هذه المعادلة،

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

أو تستطيع النظر إلى العنصر السادس من السطر الثاني عشر في المثلث

and get your answer.

وسوف تحصل على الإجابة.

The patterns in Pascal's Triangle

هذه الأنماط في مثلث باسكال،

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

هي شهادة على بنية الرياضيات المتشابكة مع بعضها بشكل أنيق.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

والتي ما تزال تكشف عن أسرار جديدة حتى هذا اليوم.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

على سبيل المثال, اكتشف الرياضيّون مؤخراً طريقا لتوسيع هذا المثلث

to these kinds of polynomials.

إلى هذه الأشكال من كثيرات الحدود.

What might we find next?

ما الذي قد نجده مستقبلاً ؟

Well, that's up to you.

حسنٌ, هذا الأمر متروكٌ لك.