The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Translator: Tun Lin Aung + 1 Reviewer: sann tint

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

ဒါက သပ်သပ်ရပ်ရပ် စီစဉ်ထားတဲ့ ကိန်း အပုံလိုက်ကြီးနှယ် ပုံပေါ်နိုင်ပါတယ်၊

but it's actually a mathematical treasure trove.

ဒါပေမဲ့၊ ဒါဟာ တကယ်တော့ သင်္ချာဆိုင်ရာ ရတနာသိုက် တစ်ခုပါ။

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

အိန္ဒိယ သင်္ချာပညာရှင်တွေက ဒါကို မေရုတောင်ရဲ့ လှေကားထစ်များလို့ ခေါ်ပါတယ်။

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

အီရန်မှာ၊ ဒါက Khayyam တြိဂံပါ။

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

ပြီးတော့ တရုတ်မှာ၊ ဒါက Yang Hui ရဲ့ တြိဂံပါ။

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

အနောက်တိုင်းကမ္ဘာ အများစုအတွက်တော့ ပြင်သစ်သင်္ချာ ပညာရှင်

after French mathematician Blaise Pascal,

Blaise Pascal အမည်အစွဲပြုကာ ဒါကို Pascal's Triangle လို့ခေါ်တာ

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

နောက်မှမွေးပြီး ကိုဦးလို့ အမည်ပေးသလို တစိတ်တော့ လွန်လေမလားပဲ၊

but he still had a lot to contribute.

ဒါပေမဲ့ သူ အများကြီး ပါဝင်ဆောက်ရွက်ထားခဲ့ရတာပါ။

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

ဒါဆို တကမ္ဘာလုံးက သင်္ချာပညာရှင်တွေကို ဖမ်းစားနိုင်လွန်းတာ ဘယ်လို အချက်မျိုးပါလဲ။

In short, it's full of patterns and secrets.

အချုပ်အားဖြင့်၊ ဒါက ပုံစံကွဲ အသွယ်သွယ်နဲ့ လျို့ဝှက်ချက်တွေ ရှိတာပါ။

First and foremost, there's the pattern that generates it.

ပထမဦးစဆုံး ဒါကို ပေါ်ထွက်လာစေတဲ့ ပုံစံရှိပါတယ်။

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

စ စခြင်း တစ်နဲ့ ၎င်းရဲ့ တဘက်တချက်စီက သုညတွေကို စိတ်ကူးကြည့်ပါ။

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

သူတို့ကို တစ်စုံချင်းတွဲလို့ ပေါင်းပါက နောက် အတန်း တစ်တန်း ရပါလိမ့်မယ်။

Now, do that again and again.

အခု၊ ဒါကိုပဲ အထပ်ထပ် လုပ်ပါ။

Keep going and you'll wind up with something like this,

ဆက်လုပ်သွားလိုက်ပါ၊ တကယ်တော့ ပါစကယ် တြိဂံဟာ အန္တတိုင်ရှိပေမဲ့လည်း

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

ဒီလိုမျိုးနဲ့ သင် အဆုံးသတ်ပါလိမ့်မယ်။

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

အခု အတန်း တစ်တန်းစီမှာ (x+y)^n ပုံစံရှိ ဒွိနာမကိန်းတွဲ ဖြန့်စီခြင်းရဲ့

of the form (x+y)^n,

မြောက်ဖော်ကိန်း ဆိုတာတွေ ရပါပြီ၊

where n is the number of the row,

ဒီမှာ n ဟာ အတန်း အရေအတွက်ဖြစ်ပြီး

and we start counting from zero.

တို့တွေ ရေတွက်ခြင်းကို သုညမှ စရေပါမယ်။

So if you make n=2 and expand it,

ဒီတော့၊ n = 2 နဲ့ညီပြီး ဒါကို ဖြန့်ရင်

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

သင် ရမှာ (x^2) + 2xy + (y^2) ပါ။

The coefficients, or numbers in front of the variables,

မြောက်ဖော်ကိန်းတွေ သို့မဟုတ် ကိန်းရှင်တွေရဲ့ ရှေ့မှ ကိန်းတွေဟာ

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

ပါစကယ် တြိဂံရဲ့ အတန်းတစ်ခုမှာရှိတဲ့ ကိန်းတွေ အတိုင်းပါပဲ။

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

n = 3 ထားပြီး ဒီလို ဖြန့်ပါက အတူတူပဲ ဖြစ်နေအုံးမှာပါ။

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

ဒီတြိဂံဟာ ဒီမြောက်ဖော်ကိန်းတွေကို ကြည့်ဖို့ လျင်မြန်၊ လွယ်ကူတဲ့ နည်းလမ်းပါ။

But there's much more.

ဒါပေမဲ့ ဒီထက်ပိုပါတယ်။

For example, add up the numbers in each row,

ဥပမာ၊ အတန်းတစ်ခုစီက ကိန်းတွေကို ပေါင်းပါ၊ ဒါဆို

and you'll get successive powers of two.

နှစ်ကို အစဉ်လိုက် ပါဝါတင်ပြီးသားတွေကို ရလာပါလိမ့်မယ်။

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

ဒါမှမဟုတ် အတန်းတစ်တန်းက ကိန်းတစ်လုံးစီကို နေရာအလိုက် ဖြန့်ချလိုက်ပါ။

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

တနည်းအာဖြင့်၊ ဒုတိယ အတန်းက (1x1) + (2x10) + (1x100) ဖြစ်ပါတယ်။

You get 121, which is 11^2.

သင် ရမှာ 121၊ ဒါက 11^2 ပါ။

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

ဆဌမအတန်းမှ ကိန်းကို ဒါမျိုးလုပ်တဲ့အခါ ဘာဖြစ်မလဲ ကြည့်ရအောင်။

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

ပေါင်းလဒ်က 1,771,561မို့ ဒါက 11^6.. စသည်ဖြင့် ရှေ့ဆက်နိုင်ပါတယ်။

There are also geometric applications.

ဂျီဩမေတြိဆိုင်ရာ အသုံးတွေလည်း ရှိပါတယ်။

Look at the diagonals.

ထောင့်တန်းလိုင်းတွေကို ကြည့်ပါ။

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

ပထမနှစ်တန်းဟာ တစ်တွေချည်းပဲရယ်၊ သဘာ၀ကိန်း ဝါ အပေါင်းကိန်းပြည့်တွေရယ်မို့

also known as natural numbers.

သိပ်စိတ်ဝင်စား စရာမကောင်းပါဘူး။ ဒါပေမဲ့ နောက်ထပ်​

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

ထောင့်တန်းလိုင်းက ကိန်းတွေကိုတော့ တြိဂံဆိုင်ရာ ကိန်းတွေ လို့ခေါ်ပါတယ်။

because if you take that many dots,

အကြောင်းက ဒီ အလုံးတွေ အများကြီး ယူလိုက်ရင်

you can stack them into equilateral triangles.

ဒါတွေကို သုံးနားညီ တြိဂံတွေအဖြစ် ထပ်နိုင်လို့ပါ။

The next diagonal has the tetrahedral numbers

နောက်က ထောင့်တန်းလိုင်းမှာ လေးမျက်နှာဒုချွန်ကိန်းတွေ ရှိပါတယ်

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

ဆင်တူတာကြောင့်၊ ဒီစက်လုံး များစွာကို လေးမျက်နှာဒုချွန်အဖြစ် ထပ်နိုင်ပါတယ်။

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

သို့မဟုတ်၊ မကိန်းတွေအားလုံးကို ပုံဖော်လိုက်ရင် ဘယ်နှယ့်ရှိစ။

It doesn't look like much when the triangle's small,

တြိဂံမှာ အတန်းနည်းတဲ့အခါ ဒါက ပုံ သိပ်မပေါ်ပေမဲ့

but if you add thousands of rows,

အတန်းတွေ ထောင်ချီလာရင်တော့ ဂျီဩမေတြီအရ

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

ပုံစံ ထပ်ကြိမ်ပြုချက် ရလာမှာပါ ဒါကို Sierpinski's Triangle လို့ခေါ်ပါတယ်။

This triangle isn't just a mathematical work of art.

ဒီတြိဂံတွေက သင်္ချာဆိုင်ရာ အနုပညာဖြစ်ရုံသာမက၊

It's also quite useful,

၎င်းက အသုံးလည်း သိပ်ဝင်ပါတယ်

especially when it comes to probability and calculations

အထူးအားဖြင့် ဖြစ်တန်စွမ်းရယ်၊ ကိန်းရွေးခြယ် စီစဉ်နိုင်တဲ့

in the domain of combinatorics.

နည်းလမ်း အရေအတွက်ရယ်ကို တွက်ချက်မှုပြုလုပ်ချိန်မှာပါ။

Say you want to have five children,

သင်က ကလေးငါးယောက် ယူချင်တယ်

and would like to know the probability

ပြီးတော့ မ ၃၊ ကျား ၂ ရဖို့ သင့်..

of having your dream family of three girls and two boys.

စိတ်ကူးယဉ် မိသားစုရဲ့ ဖြစ်တန်းစွမ်းကို သိခြင်တယ် ဆိုပါတော့။

In the binomial expansion,

ဒွိနာမကိန်းတွဲ ဖြန့်စီခြင်းအရ

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

မ အပေါင်း ကျား၊ ဒါကို တစ်ကွင်းလုံး ငါးထပ် တင်ပါ့မယ်။

So we look at the row five,

ဒီတော့ ပဉ္စမမြောက်အတန်းထံ ရှု့ပါ

where the first number corresponds to five girls,

အဲဒီမှာ ပထမကိန်းက မ ငါးယောက်၊

and the last corresponds to five boys.

နောက်ဆုံးမှာက ကျား ငါးယောက်ဖြစ်လာမယ်။

The third number is what we're looking for.

တတိယကိန်းဟာ ကျွန်တော်တို့ ရှာနေတဲ့ အရာ ပါပဲ။

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

အတန်းထဲက ဖြစ်တန်စွမ်းတွေ အားလုံးရဲ့ ပေါင်းလဒ်အပေါ် တစ်ဆယ်ကို တည်ပါ။

so 10/32, or 31.25%.

ဒီတော့ 10/32, ဝါ 31.25% ပါ။

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

သင့် သူငယ်ချင်း ဆယ့်နှစ်ယောက် အဖွဲ့ထဲက ကစားသမား ငါးဦးပါတဲ့ ဘက်စကတ်ဘော-

out of a group of twelve friends,

တစ်သင်းစာ ကျပန်းရွေးထုတ်ရင်

how many possible groups of five are there?

ငါးယောက်တဖွဲ့ အဖွဲ့ဘယ်လောက်များ ဒီထဲက ရွေးထုတ်နိုင်မှာလဲ။

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

ကိန်းရွေးခြယ် စီစဉ်နည်းအရ၊ ဒီပုစ္ဆာကို ဆယ့်နှစ်ဦးထဲက ငါးဦးရွေးတယ်လို့

and could be calculated with this formula,

ပြောနိုင်လိမ့်မယ်၊ ဒီ ပုံသေနည်းသုံးလျက်

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

တွက်နိုင်တယ်၊ ဒါမှမဟုတ် တြိဂံပေါ်က ဆယ့်နှစ်တန်းမြောက်မှာ ခြောက်ခုမြောက်က

and get your answer.

ရှိတာကို ကြည့်ရုံနဲ့ အဖြေရပါတယ်။

The patterns in Pascal's Triangle

ပါစကယ်ရဲ့ တြိဂံထဲက ပုံစံတွေဟာ

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

သင်္ချာပညာရပ်ရဲ့သပ်ရပ်စွာ ရက်ဖောက်ထားတဲ့ အစိတ်အပိုင်းအတွက် အထောက်အထားတစ်ခုပါ။

And it's still revealing fresh secrets to this day.

ပြီးတော့၊ လျှို့ဝှက်ချက် အသစ်များစွာကို ယနေ့ထိ ဖော်ထုတ်နေဆဲဖြစ်ပါတယ်။

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

ဥပမာ၊ သင်္ချာပညာရှင်တွေက ဒီလိုမျိုး ဗဟုကိန်းတန်းတွေကို ဖြန့်စီဖို့ရာ

to these kinds of polynomials.

မကြာမီက နည်းလမ်းရှာတွေ့ခဲ့ပါတယ်။

What might we find next?

နောက်ထပ် တို့ရှာတွေ့မှာ ဘာဖြစ်လာမလဲ။

Well, that's up to you.

ဟုတ်ပြီ၊ ဒါက သင့်အပေါ် မူတည်ပါတယ်။