The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Tal Dekkers

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

זה אולי נראה כמו ערמה מסודרת היטב של מספרים,

but it's actually a mathematical treasure trove.

אבל זו למעשה תיבת אוצר מתמטית.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

המתמטיקאים ההודים קראו לזה המדרגות להר מרו.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

באירן, זה נקרא משולש קיהיים.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

ובסין, זה משולש יאנג הוי.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

לרבים מהעולם המערבי הוא ידוע כמשולש פסקל

after French mathematician Blaise Pascal,

על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

מה שנראה לא הוגן מאחר שהוא בהחלט איחר למסיבה,

but he still had a lot to contribute.

אבל עדיין היה לו הרבה לתרום.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

אז מה בנוגע לזה כל כך עניין את העולם המתמטי?

In short, it's full of patterns and secrets.

בקיצור, הוא מלא בתבניות וסודות.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

ראשית, יש תבנית שמייצרת אותו.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

התחילו עם אחד ודמיינו אפסים בלתי נראים בכל צד שלו.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

חברו אותם בזוגות, ותייצרו את השורה הבאה.

Now, do that again and again.

עכשיו, תעשו את זה שוב ושוב.

Keep going and you'll wind up with something like this,

המשיכו ותקבלו משהו כזה,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

למרות שמשולש פסקל באמת ממשיך עד אינסוף.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

עכשיו, כל שורה מתייחסת למה שנקרא מקדם ההרחבה הבינומיאלי

of the form (x+y)^n,

מהצורה (x+y)^ח,

where n is the number of the row,

בה n הוא מספר השורות,

and we start counting from zero.

ואנחנו מתחילים לספור מאפס.

So if you make n=2 and expand it,

אז אם אתם עושים n=2 ומרחיבים את זה,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

אתם מקבלים (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

המקדמים, או מספרים לפני המשתנים,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

הם זהים למספרים בשורה הזו של משולש פסקל.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

אתם תראו את אותו הדבר עם n=3, שמתרחב לזה.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

אז המשולש הוא דרך קלה ומהירה לחפש את כל המקדמים האלה.

But there's much more.

אבל יש הרבה יותר.

For example, add up the numbers in each row,

לדוגמה, חברו את המספרים בכל שורה,

and you'll get successive powers of two.

ויהיו לכם חזקות עוקבות של שתיים.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

או בשורה נתונה, התייחסו לכל מספר כחלק מהרחבה דצימלית,

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

במילים אחרות, שורה שתיים היא (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

אתם מקבלים 121, שזה 2^11.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

והביטו במה שקורה כשאתם עושים את אותו הדבר לשורה השישית.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

היא מתחברת ל 1,771,561, שזה 6^11, וכך הלאה.

There are also geometric applications.

יש גם אפליקציות גאומטריות.

Look at the diagonals.

הביטו באלכסון.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

השניים הראשונים לא מאוד מעניינים: הכל אחדים, ואז מספרים שלמים חיוביים,

also known as natural numbers.

שידועים גם כמספרים טבעיים.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

אבל המספרים באלכסון הבא נקראים המספרים המשולשים

because if you take that many dots,

מפני שאם אתם לוקחים כמות כזו של נקודות,

you can stack them into equilateral triangles.

אתם יכולים לערום אותן למשולשים שווי צלעות.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

לאלכסון הבא יש מספרים טטרהדרליים

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

מפני שבדומה, אתם יכולים לערום מספר כזה של ספירות בטטרהדר.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

או מה בנוגע לזה: כסו את כל המספרים האי זוגיים.

It doesn't look like much when the triangle's small,

זה לא נראה משהו כשהמשולש קטן,

but if you add thousands of rows,

אבל אם תוסיפו אלפי שורות,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

אתם מקבלים פרקטל שידוע כמשולש סירפינסקי.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

המשולש הזה הוא לא רק אמנות מתמטית.

It's also quite useful,

הוא גם מאוד יעיל,

especially when it comes to probability and calculations

בעיקר כשזה מגיע להסתברות וחישובים

in the domain of combinatorics.

בתחום של קומבינטוריקה.

Say you want to have five children,

נגיד שאתם רוצים חמישה ילדים,

and would like to know the probability

והייתם רוצים לדעת את ההסתברות

of having your dream family of three girls and two boys.

שתהיה לכם משפחת חלום של שלוש בנות ושני בנים.

In the binomial expansion,

בהרחבה בינומיאלית,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

שמשייכת לבן ועוד בת בחזקה החמישית.

So we look at the row five,

אז אנחנו מביטים בשורה החמישית,

where the first number corresponds to five girls,

שם המספר הראשון משתייך לחמש בנות,

and the last corresponds to five boys.

והאחרון לחמישה בנים.

The third number is what we're looking for.

המספר השלישי הוא מה שאנחנו מחפשים.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

עשר מתוך הסכום של כל ההסתברויות בשורה.

so 10/32, or 31.25%.

אז 10/32, או 31.25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

או, אם אתם בוחרים באקראיות קבוצת כדורסל של חמישה שחקנים

out of a group of twelve friends,

מתוך קבוצה של שנים עשר חברים,

how many possible groups of five are there?

כמה קבוצות אפשריות של חמש יש שם?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

במונחים קומבינטוריים, הבעיה הזו תנוסח כשתיים עשר בחירת חמש,

and could be calculated with this formula,

ויכולים להיות מחושבים עם נוסחה,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

או שתוכלו פשוט להביט באלמנט השישי של שורה שתיים עשר במשולש

and get your answer.

ולקבל את התשובה.

The patterns in Pascal's Triangle

התבניות של משולש פסקל

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

הן עדות לאלגנטיות שארוגה במארג של המתמטיקה.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

והוא עדיין מגלה סודות חדשים עד היום.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

לדוגמה, מתמטיקאים לאחרונה גילו דרך להרחיב אותו

to these kinds of polynomials.

לסוגים אלה של פולינומיאלים.

What might we find next?

מה אולי נמצא בהמשך?

Well, that's up to you.

ובכן, זה תלוי בכם.