The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Çeviri: Sevkan Uzel Gözden geçirme: Yunus ASIK

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Zarifçe düzenlenmiş bir yığın sayıya benziyor olabilir;

but it's actually a mathematical treasure trove.

fakat bu aslında matematiksel bir hazine sandığı.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Hintli matematikçiler ona Meru Dağı'nın Merdivenleri der.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

İran'da Hayyam Üçgeni olarak bilinir.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

Çin'de ise Yang Hui'nin Üçgeni adı verilir.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Batı dünyasının büyük bölümünde ise Pascal Üçgeni denir.

after French mathematician Blaise Pascal,

Bu ad, Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın onuruna verilmiştir.

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

Bu pek adil sayılmaz, çünkü Pascal'ın partiye geç kaldığı çok açık.

but he still had a lot to contribute.

Yine de pek çok katkıda bulunmuştur.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Peki dünyanın her yanından matematikçinin ilgisini çeken ne var bunda?

In short, it's full of patterns and secrets.

Kısaca söylemek gerekirse, desenler ve sırlarla dolu.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Bunların ilki ve en önemlisi, onu üreten desenin kendisi.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

1 ile başlayın ve iki tarafında görünmez sıfırlar olduğunu hayal edin.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Bu sayıları ikişer ikişer toplayın ve toplamları bir alt satıra yazın.

Now, do that again and again.

Ardından bunu tekrar tekrar yinelemeyi sürdürün.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Devam ederseniz şuna benzer bir şey elde edersiniz.

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

Tabii aslında Pascal Üçgeni sonsuza kadar böyle gider.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Buradaki her satır, (x+y)^n biçimindeki

of the form (x+y)^n,

binom açılımının katsayılarına denk gelir.

where n is the number of the row,

n, saymaya sıfırdan başlandığında,

and we start counting from zero.

satırın sıra numarasıdır.

So if you make n=2 and expand it,

Yani eğer n=2 alıp açılımı yaparsanız,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

(x^2) + 2xy + (y^2) elde edersiniz.

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Katsayılar, yani değişkenlerin önündeki sayılar,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

Pascal Üçgeni'nin satırlarındaki sayıların aynısıdır.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Şu şekilde açılımı yapılan n=3 için de aynısı geçerlidir.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Dolayısıyla üçgen, bu katsayıların hepsini görmenin hızlı ve kolay bir yoludur.

But there's much more.

Dahası da var.

For example, add up the numbers in each row,

Örneğin her bir satırdaki sayıları topladığınızda,

and you'll get successive powers of two.

2'nin ardışık kuvvetlerini elde edersiniz.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Ya da bir satırdaki her sayıyı ondalık bir açılımın parçası olarak alın.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Yani ikinci satır şöyle olur: (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

121 bulunur, ki o da 11^2 demektir.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Şimdi aynı şeyi 6. satıra yapınca ne çıktığına bakın.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Toplamda 1.771.561 eder. Bu 11^6 demektir ve böyle sürer.

There are also geometric applications.

Ayrıca geometrik uygulamaları da var.

Look at the diagonals.

Köşegenlere bakın.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

İlk ikisi pek ilginç değil: 1'ler ve pozitif tamsayılar,

also known as natural numbers.

yani doğal sayılar.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Fakat bir sonraki köşegendeki sayılara üçgensel sayılar denir.

because if you take that many dots,

Çünkü bunlar kadar sayıda nokta alırsanız,

you can stack them into equilateral triangles.

eşkenar üçgen şeklinde dizebilirsiniz.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

Sonraki köşegende ise dörtyüzlü sayılar vardır.

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

Benzer biçimde, bunlar kadar sayıda küreyi dörtyüzlü dizebilirsiniz.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

Bir de şuna bakın: Tüm tek sayıları gölgeleyelim.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Üçgen küçükken pek bir şeye benzemiyor.

but if you add thousands of rows,

Ama binlerce satır eklediğinizde,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

Sierpinski Üçgeni olarak bilinen bir fraktal elde edersiniz.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Bu üçgen matematiksel bir sanattan ibaret değildir.

It's also quite useful,

Aynı zamanda çok yararlıdır;

especially when it comes to probability and calculations

özellikle de olasılık ve

in the domain of combinatorics.

kombinetorik hesaplamaları konusunda.

Say you want to have five children,

Diyelim 5 çocuk sahibi olmak istiyorsunuz.

and would like to know the probability

Hayalinizdeki gibi 3 kızınızın ve 2 oğlunuzun

of having your dream family of three girls and two boys.

olma olasılığını merak ediyorsunuz.

In the binomial expansion,

Binom açılımında,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

bunun karşılığı kız artı erkek üssü 5 olur.

So we look at the row five,

Şimdi 5. satıra bakalım.

where the first number corresponds to five girls,

Buradaki ilk sayı 5 kıza,

and the last corresponds to five boys.

son sayı ise 5 erkeğe karşılık gelir.

The third number is what we're looking for.

Bizim aradığımız ise üçüncü sayı olur.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Satırdaki tüm olasılıkların toplamı içinden 10,

so 10/32, or 31.25%.

yani 10/32 veya %31,25.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Eğer 12 arkadaşınız arasından basketbol takımı için

out of a group of twelve friends,

rastgele 5 kişi seçiyorsanız,

how many possible groups of five are there?

kaç tane olası 5 kişilik grup çıkarabilirsiniz?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Kombinetorik terimleriyle, bu probleme 12'den 5 seçmek denir.

and could be calculated with this formula,

Şu formülle hesaplanabilir

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

veya üçgenin 12. satırındaki 6. elemana bakarak da

and get your answer.

yanıtı bulabilirsiniz.

The patterns in Pascal's Triangle

Pascal Üçgeni'ndeki şablonlar

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

matematiğin zarif dokusunun vasiyeti.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Üstelik bugün hâlâ yeni sırları açığa çıkıyor.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Örneğin matematikçiler yakın zamanda bu tür polinomlara

to these kinds of polynomials.

onu açmanın yolunu buldu.

What might we find next?

Acaba başka neler bulabiliriz?

Well, that's up to you.

Bu size bağlı.