The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Traducteur: gilles damianthe Relecteur: sann tint

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Cela peut ressembler à un empilement de nombres bien rangés,

but it's actually a mathematical treasure trove.

mais c'est en fait un trésor mathématique.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Les mathématiciens indiens l'appelaient « l'escalier du mont Meru ».

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

En Iran, il est appelé « Triangle de Khayyam ».

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

Et en Chine, il s'appelle « Triangle de Yang Hui ».

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Pour une grande partie du monde occidental,

il est connu sous le nom de « Triangle de Pascal »,

after French mathematician Blaise Pascal,

d'après le mathématicien français Blaise Pascal,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

ce qui semble un peu injuste car il est clairement arrivé après la bataille,

but he still had a lot to contribute.

même s'il avait encore beaucoup à apporter.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué

les mathématiciens du monde entier ?

In short, it's full of patterns and secrets.

En bref, il regorge de motifs et de secrets.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Tout d'abord, il y a le modèle qui le génère.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Commencez avec un un et imaginez-le encadré de zéros.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Additionnez les chiffres par paires et vous obtenez la ligne suivante.

Now, do that again and again.

Maintenant, recommencez encore et encore.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Continuez ainsi et vous aboutirez à quelque chose comme ça,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

bien que le triangle de Pascal se poursuive à l'infini.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle les coefficients du développement binomial

of the form (x+y)^n,

de la forme (x+y)^n

where n is the number of the row,

où n représente le rang de la ligne,

and we start counting from zero.

en commençant par 0 pour la première ligne.

So if you make n=2 and expand it,

Et donc, pour n= 2, en développant on obtient :

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

(x^2) + 2xy + (y^2)

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Les coefficients, ou nombres devant les variables,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

sont les mêmes que les nombres de la ligne correspondante du triangle de Pascal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Vous pouvez voir la même chose pour n=3 qui se développe ainsi.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Ainsi ce triangle est un moyen simple et rapide de retrouver tous ces coefficients.

But there's much more.

Mais il y a beaucoup plus.

For example, add up the numbers in each row,

Par exemple, en additionnant les nombres de chaque ligne

and you'll get successive powers of two.

vous obtenez les puissances successives de 2.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque nombre comme une décomposition décimale,

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

en d'autres termes, la deuxième ligne égale (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Vous obtenez 121, soit 11^2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

De la même manière, voyez ce qui se passe avec la sixième ligne.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

La décomposition donne 1 771 561, soit 11^6 et ainsi de suite.

There are also geometric applications.

Il y a aussi des applications géométriques.

Look at the diagonals.

Prenez les diagonales.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Les deux premières ne sont pas très intéressantes : une suite de uns,

puis les nombres entiers positifs appelés entiers naturels.

also known as natural numbers.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Mais dans la diagonale suivante, les nombres sont appelés nombres triangulaires

because if you take that many dots,

parce qu’en prenant ce nombre de points,

you can stack them into equilateral triangles.

vous pouvez les empiler en formant des triangles équilatéraux.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

La diagonale suivante contient les nombres tétraédriques

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

parce que vous pouvez également empiler ce même nombre de billes dans un tétraèdre.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

Ou encore ceci : grisez tous les nombres impairs.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Ça ne ressemble à rien quand le triangle est petit,

but if you add thousands of rows,

mais en considérant des milliers de lignes

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

vous obtenez une fractale connue sous le nom de « Triangle de Sierpinski ».

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Ce triangle n'est pas seulement une œuvre d'art mathématique.

It's also quite useful,

Il est aussi très utile

especially when it comes to probability and calculations

dans les calculs et les probabilités

in the domain of combinatorics.

dans le domaine de la combinatoire.

Say you want to have five children,

Disons que vous voulez avoir 5 enfants,

and would like to know the probability

et que vous voulez connaître la probabilité

of having your dream family of three girls and two boys.

d'avoir votre famille rêvée de 3 filles et 2 garçons.

In the binomial expansion,

Dans le développement du binôme,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

cela correspond à fille plus garçon le tout à la puissance 5.

So we look at the row five,

Regardons la cinquième ligne,

where the first number corresponds to five girls,

ou le premier nombre correspond à 5 filles,

and the last corresponds to five boys.

et le dernier à 5 garçons.

The third number is what we're looking for.

Le troisième correspond à ce que nous cherchons.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

10 sur la totalité des possibilités de la ligne.

so 10/32, or 31.25%.

Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs de basket pour former une équipe

out of a group of twelve friends,

parmi un groupe de 12 amis,

how many possible groups of five are there?

combien d'équipes différentes pouvez-vous former ?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

En combinatoire, ce problème s’énonce comme un tirage de 5 parmi 12,

and could be calculated with this formula,

et pourrait être calculé avec cette formule,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

ou vous pouvez simplement regarder le 6eme élément de la 12eme ligne du triangle

and get your answer.

pour avoir votre réponse.

The patterns in Pascal's Triangle

Les motifs contenus dans le triangle de Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

témoignent de l'élégance du tissu des mathématiques.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Des secrets sont encore révélés de nos jours.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Par exemple, des mathématiciens ont découvert récemment

to these kinds of polynomials.

comment l'étendre à ce genre de polynômes.

What might we find next?

Qu'est-ce qui viendra ensuite ?

Well, that's up to you.

Eh bien, ça dépend de vous !