The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Reviewer: Reno Kanti Riananda

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Ini mungkin tampak seperti tumpukan bilangan yang rapi,

tetapi nyatanya ini adalah tumpukan harta karun matematika.

but it's actually a mathematical treasure trove.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Matematikawan India menyebutnya Tangga Gunung Meru.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

Di Iran, ia disebut Segitiga Khayyam.

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

Adapun di Cina, ini dikenal sebagai Segitiga Yang Hui.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Di kebanyakan negara Barat, ia dikenal sebagai Segitiga Pascal,

after French mathematician Blaise Pascal,

yang dinamai mengikuti matematikawan Perancis, Blaise Pascal,

yang agak tidak adil, sebab ia jelas datang belakangan,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

but he still had a lot to contribute.

tetapi ia tetap memiliki peran besar.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Lalu apa sebenarnya yang membuat banyak matematikawan dunia

tertarik akan segitiga Pascal ini?

In short, it's full of patterns and secrets.

Singkatnya, segitiga ini dipenuhi pola dan rahasia.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Pertama dan yang paling utama, ada suatu pola yang membentuknya.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Mulai dengan ‘satu’ dan bayangkan ada ‘nol’ tak terlihat di kedua sisinya.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Jumlahkan semua dua angka yang berdekatan untuk menghasilkan baris selanjutnya.

Now, do that again and again.

Lalu, ulangi langkah ini terus-menerus.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Teruskan sampai kamu mendapatkan bentuk seperti ini,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

meski sebenarnya Segitiga Pascal tak berhingga.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Nah, tiap baris mewakili koefisien-koefisien dari ekspansi binomial

of the form (x+y)^n,

bebentuk (x+y)^n,

where n is the number of the row,

dimana n adalah jumlah baris,

and we start counting from zero.

dan kita mulai menghitung dari nol.

So if you make n=2 and expand it,

Sehingga, jika kamu mengambil n=2 lalu menguraikannya,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

akan menjadi (x^2) + 2xy + (y^2).

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Koefisien, atau bilangan di depan variabel,

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

sama dengan bilangan di baris yang bersesuaian dalam Segitiga Pascal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Begitu pun dengan n=3, yang persamaannya seperti ini.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Segitiga ini adalah cara cepat dan mudah untuk mencari semua koefisien tersebut.

But there's much more.

Namun, ada lebih dari itu.

For example, add up the numbers in each row,

Misalnya, jumlahkan semua bilangan di masing-masing baris,

and you'll get successive powers of two.

maka akan kamu temukan urutan hasil perpangkatan dari ‘dua’.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Atau pada baris tertentu, uraikan tiap bilangan sesuai nilai tempatnya.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Dengan kata lain, baris kedua adalah (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Hasilnya 121, yang merupakan 11^2.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Lalu, amati apa yang terjadi jika hal yang sama dilakukan pada baris ke-6.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Hasilnya adalah 1.771.561,

yang merupakan 11^6, dan seterusnya.

There are also geometric applications.

Terdapat pula unsur geometri di dalamnya.

Look at the diagonals.

Amati semua diagonalnya.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Dua diagonal pertama tidak begitu menarik, barisan satu dan bilangan bulat positif,

also known as natural numbers.

yang juga disebut bilangan asli.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Tetapi, bilangan di diagonal berikutnya disebut bilangan segitiga,

because if you take that many dots,

karena jika ada titik sebanyak itu,

you can stack them into equilateral triangles.

kamu bisa menyusunnya menjadi segitiga sama sisi.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

Diagonal berikutnya terdiri atas bilangan tetrahedral,

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

sebab kamu juga dapat menyusun titik sebanyak itu menjadi tetrahedral.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

Atau ini: arsir semua bilangan ganjil.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Tidak tampak begitu jelas jika segitiganya kecil,

but if you add thousands of rows,

tetapi jika kamu menambahkan ribuan baris,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

maka akan terbentuk sebuah bidang yang bernama Segitiga Sierpinski.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Segitiga ini bukan hanya sebuah karya seni matematika.

It's also quite useful,

Ia juga cukup berguna,

especially when it comes to probability and calculations

khususnya terkait peluang dan perhitungan

in the domain of combinatorics.

dalam bidang kombinatorik.

Say you want to have five children,

Misalkan kamu ingin memiliki lima anak,

and would like to know the probability

dan ingin mengetahui peluang

of having your dream family of three girls and two boys.

memiliki keluarga impian dengan tiga putri dan dua putra.

In the binomial expansion,

Dalam ekspansi binomial,

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

itu berarti ‘putri’ tambah ‘putra’ pangkat lima.

So we look at the row five,

Kita amati baris kelima,

where the first number corresponds to five girls,

dimana bilangan pertama ewakili lima putri,

and the last corresponds to five boys.

dan bilangan terakhir berarti lima putra.

The third number is what we're looking for.

Bilangan ketigalah yang kita cari.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

10 bagi jumlah semua kemungkinan pada baris tersebut.

so 10/32, or 31.25%.

sehingga 10/32, atau 31.25%.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Atau, jika kamu memilih secara acak sebuah tim basket berisi lima orang pemain

out of a group of twelve friends,

dari 12 orang,

how many possible groups of five are there?

berapa kelompok berisi lima orang yang dapat dibentuk?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Dalam istilah kombinatorik, masalah ini dinyatakan sebagai ‘pilih 5 dari 12’,

and could be calculated with this formula,

yang dapat dihitung dengan rumus ini,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

atau kamu bisa langsung melihat unsur ke-6 pada baris ke-12

and get your answer.

untuk memperoleh jawabannya.

The patterns in Pascal's Triangle

Berbagai pola dalam Segitiga Pascal

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

adalah tanda bahwa kerangka matematika terjalin dengan anggun.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Ia juga tetap mengungkapkan berbagai rahasia baru sampai sekarang.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Misalnya, matematkawan baru saja menemukan cara untuk menguraikannya

to these kinds of polynomials.

menjadi polinomial seperti ini.

Apa yang bisa ditemukan selanjutnya?

What might we find next?

Well, that's up to you.

Nah, itu terserah kamu.