The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Tłumaczenie: Maria Barć Korekta: Rysia Wand

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Może to i wygląda na ładnie poukładany stos cyferek,

ale dla matematyka to stos skarbów.

but it's actually a mathematical treasure trove.

Matematycy indyjscy zwali go "schodami na górę Meru".

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

Irańscy "trójkątem Chajjama".

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

W Chinach użyczył mu imienia Yang Hui.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

Świat zachodni zna go jako trójkąt Pascala,

after French mathematician Blaise Pascal,

od nazwiska francuskiego matematyka Błażeja Pascala,

co wydaje się ciut nieuczciwe, skoro Pascal żył dużo później, niż tamci.

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

Sporo za to odkrył.

but he still had a lot to contribute.

Co takiego fascynuje w trójkącie matematyków na całym świecie?

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Pełno w nim wzorów i tajemnic.

In short, it's full of patterns and secrets.

Po pierwsze - wzór, który go wytwarza.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Zacznij od jedynki z zerami po obu stronach.

Dodaj cyfry parami - powstanie drugi rząd.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Now, do that again and again.

Powtórz tę operację. I jeszcze raz.

Po kilku powtórzeniach otrzymasz coś takiego,

Keep going and you'll wind up with something like this,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

chociaż w zasadzie trójkąt Pascala ciągnie się w nieskończoność.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Każdy jego rząd zawiera tak zwane współczynniki dwumianu Newtona

of the form (x+y)^n,

czyli (x+y)^n,

where n is the number of the row,

gdzie n to numer rzędu,

and we start counting from zero.

liczony od zera.

So if you make n=2 and expand it,

Więc jeśli weźmiemy n = 2 i rozpiszemy wzór,

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

wyjdzie (x^2) + 2xy + (y^2).

Współczynniki, czyli liczby przy zmiennych,

The coefficients, or numbers in front of the variables,

odpowiadają liczbom w n-tym rzędzie trójkąta Pascala.

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Przy n =3 wzór rozwija się tak.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Dzięki trójkątowi można łatwo i szybko sprawdzić współczynniki.

But there's much more.

Ale to dopiero początek.

Spróbuj na przykład zsumować liczby w jednym rzędzie,

For example, add up the numbers in each row,

and you'll get successive powers of two.

a otrzymasz odpowiednią potęgę dwójki.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Albo potraktuj każdą liczbę jako cyfrę w rozwinięciu dziesiętnym.

Czyli w drugim rzędzie: (1x1) + (2x10) + (1x100).

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

To wynosi 121, czyli 11^2.

Spójrz, co będzie, kiedy zrobisz to samo z rzędem szóstym.

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Po przeliczeniu wychodzi 1,771,561, tj. 11^6, i tak dalej.

Są też zastosowania w geometrii.

There are also geometric applications.

Look at the diagonals.

Spójrz na rzędy po bokach.

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Dwa pierwsze są nieciekawe: jedynki, potem całkowite liczby dodatnie,

also known as natural numbers.

czyli liczby naturalne.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

Ale następny rząd zawiera liczby trójkątne:

because if you take that many dots,

kiedy weźmiesz tyle kropek,

you can stack them into equilateral triangles.

możesz je ułożyć w trójkąt równoboczny.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

W następnym rzędzie są liczby piramidalne,

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

czyli ilość kul, z których można ułożyć czworościan.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

Teraz zaciemnij wszystkie liczby nieparzyste.

It doesn't look like much when the triangle's small,

Na małym trójkącie nie wygląda to ciekawie,

but if you add thousands of rows,

ale kiedy wypełnisz tysiące rzędów,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

zobaczysz fraktal - trójkąt Sierpińskiego.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Trójkąt jest nie tylko matematycznym dziełem sztuki,

It's also quite useful,

ale też użytecznym narzędziem

especially when it comes to probability and calculations

szczególnie przy obliczeniach prawdopodobieństwa i tych,

in the domain of combinatorics.

które należą do dziedziny kombinatoryki.

Say you want to have five children,

Powiedzmy, że chcesz mieć pięcioro dzieci

and would like to know the probability

i ciekawi cię prawdopodobieństwo

of having your dream family of three girls and two boys.

wymarzonego układu trzech dziewczynek i dwóch chłopców.

In the binomial expansion,

Możesz to przedstawić dwumianem:

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

(dziewczynka + chłopiec) ^5.

A więc spójrzmy na rząd piąty,

So we look at the row five,

where the first number corresponds to five girls,

którego pierwsza liczba odpowiada pięciu dziewczynkom,

a ostatnia - pięciu chłopcom.

and the last corresponds to five boys.

The third number is what we're looking for.

Trzecia liczba to ta, której szukamy.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

Dziesięć szans spośród wszystkich w rzędzie, to znaczy

so 10/32, or 31.25%.

10/32, czyli 31,25%.

A może losowo wybierasz pięć osób do gry w koszykówkę

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

out of a group of twelve friends,

spośród dwanaściorga kolegów

how many possible groups of five are there?

i chcesz wiedzieć, ile można utworzyć grup po pięć osób?

W kombinatoryce nazywa się to 5-elementową kombinacją ze zbioru 12-elementowego,

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

i oblicza tym oto wzorem,

and could be calculated with this formula,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

ale równie dobrze można wziąć szósty element z dwunastego rzędu trójkąta

and get your answer.

i gotowe.

Wzory w trójkącie Pascala świadczą o elegancji,

The patterns in Pascal's Triangle

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

z jaką splatają się wątki w tkaninie matematyki.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

Po dziś dzień odkrywamy jego tajemnice.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Całkiem niedawno matematycy odkryli, jak rozszerzyć zastosowanie trójkąta

to these kinds of polynomials.

na takie wielomiany.

Co jeszcze odkryjemy?

What might we find next?

Well, that's up to you.

To już twoje zadanie.