The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

Fordító: Péter Pallós Lektor: Maria Ruzsane Cseresnyes

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

Talán egy csinosan elrendezett számkupacnak látszik,

but it's actually a mathematical treasure trove.

de valójában egy matematikai ékszerdoboz.

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

Indiai matematikusok a Meru-hegy lépcsőjének nevezték.

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

Iránban Hajjám-háromszög a neve,

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

Kínában pedig Yang Hui háromszög.

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

A nyugati világban többnyire Pascal-háromszögként ismeretes:

after French mathematician Blaise Pascal,

Blaise Pascal francia matematikusról nevezték el,

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

némiképp méltatlanul, mert nyilvánvalóan nem tőle származik,

but he still had a lot to contribute.

bár jócskán hozzátett ő is.

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

Mi olyan figyelemre méltó benne, ami foglalkoztatja a matematikusokat?

In short, it's full of patterns and secrets.

Röviden: telis-tele van sémákkal és titkokkal.

First and foremost, there's the pattern that generates it.

Mindenekelőtt a szabály, amely alapján megalkotjuk.

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

Egyessel kezdjük, és mindkét oldalára egy-egy láthatatlan nullát képzelünk.

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

Adjuk össze a szomszédos számpárokat, és így keletkezik a következő sor.

Now, do that again and again.

Ezt ismételjük újra meg újra.

Keep going and you'll wind up with something like this,

Tovább folytatva végül valami ilyesféléhez jutunk,

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

bár a Pascal-háromszög a végtelenségig folytatódik.

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

Minden sor az (x+y)^n kifejezés kifejtésében szereplő

of the form (x+y)^n,

binomiális együtthatóknak felel meg,

where n is the number of the row,

-- itt az n a kérdéses sor sorszáma.

and we start counting from zero.

A legfelső sor a nulladik.

So if you make n=2 and expand it,

Az n=2-re kifejtve

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

az eredmény: x² + 2xy + y²

The coefficients, or numbers in front of the variables,

Az együtthatók, vagyis a változók előtti számok

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

megegyeznek a Pascal-háromszög második sorában található számokkal.

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

Ugyanezt találjuk n=3 esetén is, ami kifejtve ezt adja.

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

Tehát a háromszöggel gyorsan és könnyen megtalálhatjuk az együtthatókat.

But there's much more.

De ennél többet is tud.

For example, add up the numbers in each row,

Pl. ha az egy sorban lévő számokat összeadjuk,

and you'll get successive powers of two.

megkapjuk egymás után a 2 hatványait.

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

Vagy egy sorban tekintsünk minden számot a megfelelő tíz-hatvány együtthatójának.

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

Vagyis, a 2. sor (1x1) + (2x10) + (1x100).

You get 121, which is 11^2.

Akkor ez 121, ami 11².

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

Nézzük meg, mi történik, ha ugyanezt tesszük a 6. sorral!

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

Az eredmény 1 771 561, ami 11-nek 6. hatványa, és így tovább.

There are also geometric applications.

A háromszögnek mértani alkalmazása is van.

Look at the diagonals.

Nézzük a ferde vonalakat!

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

Az első csupa egyesből áll, a következő a pozitív egész számokból,

természetes számoknak is hívjuk őket, ezek nem nagyon érdekesek.

also known as natural numbers.

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

A következő vonal mentén vannak a háromszögszámok. Így nevezzük őket,

because if you take that many dots,

mert ennyi pontból kirakhatunk

you can stack them into equilateral triangles.

egy egyenlő oldalú háromszöget.

The next diagonal has the tetrahedral numbers

A következő vonal a tetraéderszámokat tartalmazza,

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

mert hasonlóképpen, a gömbökből tetraédert építhetünk föl.

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

Vagy nézzük ezt: színezzük ki a páratlan számokat!

It doesn't look like much when the triangle's small,

Ha a háromszög kicsi, az ábra nem nagyon mutatós,

but if you add thousands of rows,

de ha több ezer sorból áll,

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

a Sierpiński-háromszögnek nevezett fraktálhoz jutunk.

This triangle isn't just a mathematical work of art.

Ez a háromszög nemcsak matematikai művészi alkotás,

It's also quite useful,

hanem nagyon hasznos,

especially when it comes to probability and calculations

különösen a valószínűségszámításban

in the domain of combinatorics.

és a kombinatorikában.

Say you want to have five children,

Tegyük föl, hogy valaki 5 gyereket szeretne,

and would like to know the probability

és tudni akarja, mi a valószínűsége,

of having your dream family of three girls and two boys.

hogy az álomcsaládban három lány és két fiú lesz?

In the binomial expansion,

A binomiális kifejtés alapján ez egyenlő:

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

lány + fiú az 5. hatványon.

So we look at the row five,

Megnézzük az 5. sort,

where the first number corresponds to five girls,

ahol az első szám megfelel az 5 lánynak,

and the last corresponds to five boys.

és az utolsó pedig az 5 fiúnak.

The third number is what we're looking for.

Mi a 3. számot keressük.

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

10 osztva a sorban lévő összes lehetőség összegével,

so 10/32, or 31.25%.

így 10/32-et, azaz 31,25%-ot kapunk.

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

Hányféleképpen választhatunk ki

out of a group of twelve friends,

véletlenszerűen 12 barát közül

how many possible groups of five are there?

egy öttagú kosárlabdacsapatot?

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

Kombinatorikai fogalmakkal élve, ez 12 alatt az 5.

and could be calculated with this formula,

és ezzel a képlettel számolható ki,

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

vagy csupán rápillantunk a háromszög 12. sorának 6. elemére,

and get your answer.

és ott a válasz.

The patterns in Pascal's Triangle

A Pascal-háromszög mintázatai

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

a matematika elegánsan egymásba fonódott szerkezetének ékesszóló bizonyítéka.

And it's still revealing fresh secrets to this day.

A háromszög mind a mai napig egyre újabb és újabb titkokat tár föl.

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

Pl. a matematikusok csak nemrég fedezték föl, hogyan lehet kiterjeszteni

to these kinds of polynomials.

az ilyen típusú polinomokra.

What might we find next?

Mi lehet a következő fölfedezés?

Well, that's up to you.

Nos, ez tőlünk függ.