The mathematical secrets of Pascal’s triangle - Wajdi Mohamed Ratemi

パスカルの三角形に潜む数学の秘密－ ワディ・モハメッド・ラテミ

翻訳: Misaki Sato 校正: Eriko T

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

これは整然と並んだ数字の山にしか 見えないかもしれませんが

but it's actually a mathematical treasure trove.

実は 数学の至宝なのです

Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

インドの数学者はこれを 須弥山の階段

In Iran, it's the Khayyam Triangle.

イランでは ハイヤームの三角形

And in China, it's Yang Hui's Triangle.

中国では 楊輝の三角と呼んでいました

To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

西洋では フランスの数学者 ブレーズ・パスカルにちなみ

after French mathematician Blaise Pascal,

パスカルの三角形として知られています

which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

後からこの輪に加わったのに名前がついて ちょっとずるい気もしますが

but he still had a lot to contribute.

でも パスカルは それだけの貢献をしています

So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

ではなぜ そんなにも数学者たちを 魅了してきたのでしょうか？

In short, it's full of patterns and secrets.

それは パターンと 秘密の宝庫だからです

First and foremost, there's the pattern that generates it.

まず何と言っても 生成パターンがあります

Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

まず１とその両側を囲む 目には見えない０から始めます

Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

その２つを足して 次の行を生成します

Now, do that again and again.

そして これを繰り返していきます

Keep going and you'll wind up with something like this,

さらに続けていけば このように―

though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

パスカルの三角形は無限に続きます

Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

この各行は(x+y)^nという形で表される

of the form (x+y)^n,

二項展開の係数に対応しています

where n is the number of the row,

ここで n は列の数を表し

and we start counting from zero.

０から数え始めます

So if you make n=2 and expand it,

n=２で展開すると

you get (x^2) + 2xy + (y^2).

(x^2) + 2xy + (y^2)となります

The coefficients, or numbers in front of the variables,

係数 つまり変数の前にある数は

are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

パスカルの三角形のその列の数字と 同じになっています

You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

n=3 も同様で このように展開します

So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

このように全ての係数を探すのに この三角形は手軽な方法です

But there's much more.

しかし これだけではありません

For example, add up the numbers in each row,

例えば 各行の数字を足していくと

and you'll get successive powers of two.

次々に ２の累乗が得られます

Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

任意の行で 各数字を 十進法展開にあてはめてみると

In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

例えば ２行目の場合 (1x1) + (2x10) + (1x100)で

You get 121, which is 11^2.

これは121ですから 11の二乗です

And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

６行目で同じことを行うと

It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

合計は1,771,561で これは 11^6です

There are also geometric applications.

幾何学的な応用もあります

Look at the diagonals.

この対角線を見てみましょう

The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

最初の２列は 単なる１の羅列ですが 次は正の整数で

also known as natural numbers.

自然数としても知られています

But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

しかし 次の対角線の数は 三角数と呼ばれています

because if you take that many dots,

それは 点をいくつも積み上げていくと

you can stack them into equilateral triangles.

この数の正三角形の形に 積み上げられるからです

The next diagonal has the tetrahedral numbers

次の対角線は正四面体数と呼ばれています

because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

先程と同じように 正四面体に積み重なるからです

Or how about this: shade in all of the odd numbers.

今度は奇数に影を 付けていったらどうでしょうか

It doesn't look like much when the triangle's small,

三角形が小さい時は 大したことはありませんが

but if you add thousands of rows,

何千もの列になってくると

you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

シェルピンスキーの三角形という フラクタルが得られます

This triangle isn't just a mathematical work of art.

この三角形は 数学の賜物であるだけでなく

It's also quite useful,

なかでも とりわけ

especially when it comes to probability and calculations

確率や組み合わせの領域の計算では

in the domain of combinatorics.

大変便利なものです

Say you want to have five children,

例えば あなたが子供を ５人欲しいと思ったとして

and would like to know the probability

理想の家族である 女の子３人と男の子２人になる

of having your dream family of three girls and two boys.

確率を知りたいと思ったとしましょう

In the binomial expansion,

２項展開で表すと

that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

女の子+男の子の五乗です

So we look at the row five,

では ５列目を見てみましょう

where the first number corresponds to five girls,

最初の数字は女の子５人

and the last corresponds to five boys.

最後の数字は男の子が５人の場合です

The third number is what we're looking for.

３番目の数字を求めます

Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

すべての可能性の内10ですから

so 10/32, or 31.25%.

10/32 つまり 31.25% です

Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

または 無作為に12人の友人の中から

out of a group of twelve friends,

５人をバスケットボールの選手に 選ぶとしましょう

how many possible groups of five are there?

５人のグループは 幾通り考えられるでしょうか？

In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

組み合わせでは 12 C 5

and could be calculated with this formula,

この方程式を使って計算するか

or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

三角形の12列目の ６つ目の要素を見ればいいのです

and get your answer.

すると 答えが出ます

The patterns in Pascal's Triangle

パスカルの三角形のパターンは

are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

数学の織りなす美しさの証なのです

And it's still revealing fresh secrets to this day.

そして 今なお 新たな秘密が途切れることはありません

For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

例えば 最近では こういった種類の多項式の

to these kinds of polynomials.

展開方法が発見されました

What might we find next?

この次は何が見つかるのでしょうか？

Well, that's up to you.

それは あなた次第です