Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Prevodilac: Dragana Stanojevic Lektor: Tijana Mihajlović

In the world of math,

У свету математике,

many strange results are possible when we change the rules.

многи необични резултати су могући када променимо правила.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Али, постоји једно правило за које смо сви упозорени да га не прекршимо.

don’t divide by zero.

Не делите са нулом.

How can the simple combination of an everyday number

Како може једноставна комбинација

обичног броја и основне операције изазивати тако велики проблем?

and a basic operation cause such problems?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Уобичајено је да дељењем са све мањим бројевима

gives you bigger and bigger answers.

добијамо све веће вредности.

Ten divided by two is five,

Десет подељено са два је пет,

by one is ten,

са један је десет,

by one-millionth is 10 million,

са милионитим делом је 10 милиона,

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

и тако даље.

Изгледа као да дељењем бројевима

that keep shrinking all the way down to zero,

који се приближавају нули

the answer will grow to the largest thing possible.

резултат расте до највеће могуће вредности.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

Онда, да ли је десет подељено са нула у ствари бесконачно?

That may sound plausible.

То може звучати вероватно.

But all we really know is that if we divide 10

Међутим, оно што стварно знамо је да ако десет поделимо

by a number that tends towards zero,

са бројем који тежи ка нули,

the answer tends towards infinity.

одговор ће тежити ка бесконачности.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

А то није иста ствар као и да је десет подељено са нула

is equal to infinity.

једнако бесконачно.

Why not?

Зашто?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Па, хајде да погледамо шта тачно дељење означава.

Ten divided by two could mean,

Десет подељено са два може значити:

"How many times must we add two together to make 10,”

„Колико пута морамо да саберемо број два да бисмо добили број 10?“

or, “two times what equals 10?”

или: „Два пута који број је једнако 10?“

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Дељење бројем је у суштини обрнуто множење,

in the following way:

на следећи начин:

if we multiply any number by a given number x,

ако помножимо било који број датим бројем x,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

можемо се запитати да ли постоји неки нови број

којим можемо помножити резултат

to get back to where we started.

да бисмо добили број од кога смо пошли.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Ако постоји, тај нови број називамо мултипликативни инверз од x.

For example, if you multiply three by two to get six,

На пример, ако помножите три са два да добијете шест,

you can then multiply by one-half to get back to three.

онда можете помножити шест са једном половином да бисте добили три.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Дакле, мултипликативни инверз од два је једна половина,

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

а мултипликативни инверз од 10 је једнa десетина.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Као што видите, производ било ког броја и његовог мултипликативног инверза

is always one.

је увек један.

If we want to divide by zero,

Ако желимо да делимо са нулом,

we need to find its multiplicative inverse,

морамо пронаћи мултипликативни инверз нуле,

which should be one over zero.

који би требало да буде један са нула.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Ово би морао бити такав број да помножен са нулом даје један.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Али пошто је све помножено са нулом и даље нула;

such a number is impossible,

такав број је немогућ,

so zero has no multiplicative inverse.

тако да нула нема мултипликативни инверз.

Does that really settle things, though?

Да ли то стварно решава ствари?

After all, mathematicians have broken rules before.

На крају крајева, математичари су и раније кршили правила.

For example, for a long time,

На пример, дуго времена

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

није постојало рачунање квадратног корена негативних бројева.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Али, онда су математичари дефинисали квадратни корен негативне јединице

as a new number called i,

као нови број звани i,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

отварајући потпуно нови математички свет комплексних бројева.

So if they can do that,

Дакле, ако су то урадили,

couldn’t we just make up a new rule,

зар не можемо направити ново правило,

say, that the symbol infinity means one over zero,

рецимо, да се симбол бесконачности означава као један са нула,

and see what happens?

и видимо шта ће се десити?

Let's try it,

Хајде да пробамо.

imagining we don’t know anything about infinity already.

Замислимо да не знамо ништа о бесконачности.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

На основу дефиниције мултипликативног инверза,

zero times infinity must be equal to one.

нула пута бесконачно мора бити једнака један.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

То значи да нула пута бесконачно плус нула пута бесконачно треба да буде једнака два.

Now, by the distributive property,

Сада, по закону дистрибутивности,

the left side of the equation can be rearranged

лева страна једначине се може преуредити

to zero plus zero times infinity.

до нула плус нула пута бесконачно.

And since zero plus zero is definitely zero,

И пошто је нула плус нула сигурно нула,

that reduces down to zero times infinity.

сводимо израз на нула пута бесконачно.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

Нажалост, већ смо дефинисали да је ово једнако један,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

док на другој страни једначине и даље стоји број два.

So, one equals two.

Дакле, један је једнак два.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Необично, али то не мора бити увек погрешно,

it's just not true in our normal world of numbers.

већ само није тачно у нашем уобичајеном свету бројева.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Још увек постоји начин на који би могао бити математички валидан,

if one, two, and every other number were equal to zero.

ако би један, два и било који други број био једнак нули.

But having infinity equal to zero

Али, имати бесконачно једнако нули

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

није корисно ни математичарима, ни било коме другом, у крајњој линији.

There actually is something called the Riemann sphere

У ствари постоји нешто што се зове Риманова сфера

that involves dividing by zero by a different method,

и укључује дељење са нулом на другачији начин,

but that’s a story for another day.

али је то је прича за неки други пут.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

У међувремену, поделити са нулом на најочигледнији начин

doesn’t work out so great.

не функционише тако сјајно.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Али, то не би требало да нас спречава да ризикујемо

and experimenting with breaking mathematical rules

и експериментишемо са кршењем математичких правила

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

како бисмо видели да ли можемо да створимо забавне, нове светове за истраживање.