Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Переводчик: Ростислав Голод Редактор: Yulia Kallistratova

In the world of math,

В мире математики,

many strange results are possible when we change the rules.

если изменить правила, то можно получить много необычных решений.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Однако одно правило нам строго-настрого запрещено нарушать:

don’t divide by zero.

на ноль делить нельзя.

How can the simple combination of an everyday number

Почему обычное число и совершенно привычное действие

and a basic operation cause such problems?

удостоились столь жёсткого правила?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Обычно, чем меньше делитель,

gives you bigger and bigger answers.

тем больше результат деления.

Ten divided by two is five,

10, делённое на 2, даёт 5,

by one is ten,

на 1 — 10,

by one-millionth is 10 million,

на одну миллионную — 10 миллионов

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

и так далее.

Может показаться, что если делить

that keep shrinking all the way down to zero,

на число, которое будет уменьшаться и стремиться к нулю,

the answer will grow to the largest thing possible.

результат деления будет только возрастать.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

А что, если при делении 10 на ноль мы получим бесконечность?

That may sound plausible.

Звучит довольно убедительно.

But all we really know is that if we divide 10

Однако нам известно лишь то, что если мы будем делить 10

by a number that tends towards zero,

на число, стремящееся к нулю,

the answer tends towards infinity.

результат будет стремиться к бесконечности.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

Но при этом нельзя утверждать, что 10, делённое на ноль,

is equal to infinity.

равняется бесконечности.

Why not?

Почему?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Давайте подробно рассмотрим, что собой представляет деление.

Ten divided by two could mean,

10, делённое на 2, может означать:

"How many times must we add two together to make 10,”

«Сколько раз мы должны сложить 2, чтобы получилось 10»

or, “two times what equals 10?”

или «На сколько нужно умножить 2, чтобы получить 10».

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Деление на какое-то число — на самом деле обратное действие умножению,

in the following way:

а именно:

if we multiply any number by a given number x,

если мы умножим любое число на другое число Х,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

то существует ли такое число, на которое можно умножить результат,

to get back to where we started.

чтобы получить изначальное число?

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Если такое число существует, то оно будет называться числом, обратным Х.

For example, if you multiply three by two to get six,

Например, если умножить 3 на 2, то получим 6,

you can then multiply by one-half to get back to three.

затем 6 можно умножить на 1/2 и получить обратно 3.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

То есть обратное число 2 — это 1/2,

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

а обратное число 10 — это 1/10.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Как вы заметили, произведение любого числа на его обратное —

is always one.

это всегда 1.

If we want to divide by zero,

Если мы хотим поделить на ноль,

we need to find its multiplicative inverse,

то нам надо найти его обратное число,

which should be one over zero.

то есть 1/0.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Это должно быть такое число, которое, умноженное на ноль, давало бы 1.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Но поскольку любое число, умноженное на ноль, даёт ноль,

such a number is impossible,

такого числа не существует,

so zero has no multiplicative inverse.

то есть у нуля нет обратного числа.

Does that really settle things, though?

Стало ли теперь понятнее?

After all, mathematicians have broken rules before.

Но математикам не раз приходилось нарушать правила.

For example, for a long time,

Например, долгое время считалось,

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

что из отрицательных чисел невозможно извлечь квадратный корень.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Однако математики определили, что квадратный корень отрицательного числа

as a new number called i,

это новое так называемое мнимое число,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

благодаря чему в математике зародилось новое направление комплексных чисел.

So if they can do that,

Так если такое смогли проделать,

couldn’t we just make up a new rule,

неужели нельзя придумать новое правило,

say, that the symbol infinity means one over zero,

например, что бесконечность — это 1, поделённый на ноль,

and see what happens?

что будет тогда?

Let's try it,

Давайте попробуем.

imagining we don’t know anything about infinity already.

Представим, что нам ничего неизвестно о бесконечности.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

Основываясь на определении обратного числа,

zero times infinity must be equal to one.

если умножить ноль на бесконечность, то мы должны получить единицу.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

Это означает, что 0 на бесконечность плюс 0 на бесконечность равно 2.

Now, by the distributive property,

При помощи дистрибутивности

the left side of the equation can be rearranged

левую сторону уравнения можно преобразовать,

to zero plus zero times infinity.

получим ноль плюс ноль, умноженный на бесконечность.

And since zero plus zero is definitely zero,

И поскольку ноль плюс ноль определённо равняется нулю,

that reduces down to zero times infinity.

следовательно, у нас получилось: ноль, умноженный на бесконечность.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

К сожалению, мы только что решили, что это равняется одному,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

а во второй части уравнения у нас по-прежнему 2.

So, one equals two.

То есть 1 = 2.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Может показаться странным, но равенство нельзя назвать полностью неверным,

it's just not true in our normal world of numbers.

оно только неверно в нашем привычном мире чисел.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Существует способ математического решения,

if one, two, and every other number were equal to zero.

при котором 1, 2 или любое другое число равно нулю.

But having infinity equal to zero

Однако приравнять бесконечность к нулю

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

не получится не только у математиков, но и у представителей других наук.

There actually is something called the Riemann sphere

Существует так называемая сфера Римана,

that involves dividing by zero by a different method,

в ней в качестве альтернативного метода применяется деление на ноль,

but that’s a story for another day.

но это тема отдельного рассказа.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

Кроме того, от деления на ноль, скорее всего,

doesn’t work out so great.

не будет никакой практической пользы.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Но это не должно стать препятствием для рискованных ходов

and experimenting with breaking mathematical rules

и экспериментов с математическими правилами:

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

вдруг в ходе них мы изобретём новые и интересные миры чисел.