Why can't you divide by zero? - TED-Ed

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TED-Ed


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Übersetzung: Nadine Hennig Lektorat: sadegh zabihi
["Bei den schwarzen Löchern hat Gott durch Null geteilt." - Steven Wright]
00:07
In the world of math,
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7785
1519
In der Welt der Mathematik
00:09
many strange results are possible when we change the rules.
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4080
sind viele seltsame Ergebnisse möglich, wenn wir die Regeln ändern.
00:13
But there’s one rule that most of us have been warned not to break:
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13384
3842
Aber es gibt eine Regel, die wir nicht brechen sollen:
00:17
don’t divide by zero.
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17226
2379
Teile nicht durch Null.
00:19
How can the simple combination of an everyday number
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19605
2979
Wie kann so eine einfache Kombination aus einer alltäglichen Zahl
00:22
and a basic operation cause such problems?
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22584
3879
und einer Grundrechenart so viele Probleme verursachen?
00:26
Normally, dividing by smaller and smaller numbers
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26463
3230
Normalerweise erhält man beim Teilen immer kleiner werdenden Zahlen
00:29
gives you bigger and bigger answers.
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29693
2628
immer größer werdende Zahlen.
00:32
Ten divided by two is five,
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2523
10 geteilt durch 2 ist 5,
00:34
by one is ten,
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34844
1599
durch 1 ist 10,
00:36
by one-millionth is 10 million,
10
36443
2579
durch ein Millionstel ergibt 10 Millionen
00:39
and so on.
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39022
958
00:39
So it seems like if you divide by numbers
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39980
2311
und so weiter.
Es scheint, wenn man durch Zahlen teilt,
00:42
that keep shrinking all the way down to zero,
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42291
2609
die immer kleiner werden, bis zu Null,
00:44
the answer will grow to the largest thing possible.
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44900
3161
ist das Ergebnis die größtmögliche Zahl.
00:48
Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?
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4662
Müsste das Ergebnis von 10 geteilt durch 0 nicht eigentlich undendlich sein?
00:52
That may sound plausible.
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1960
Das mag logisch klingen,
00:54
But all we really know is that if we divide 10
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54683
3050
aber wir wissen nur eins:
Teilen wir 10 durch eine Zahl, die gegen 0 tendiert,
00:57
by a number that tends towards zero,
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2941
01:00
the answer tends towards infinity.
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60674
3060
tendiert das Ergebnis gegen undendlich.
01:03
And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero
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63734
4130
Das ist nicht dasselbe wie 10 geteilt durch 0
01:07
is equal to infinity.
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67864
2650
ist gleich unendlich.
01:10
Why not?
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70514
1319
Warum nicht?
01:11
Well, let’s take a closer look at what division really means.
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71833
4389
Schauen wir uns mal an, was Division eigentlich ist.
01:16
Ten divided by two could mean,
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76222
2352
10 geteilt durch 2 könnte bedeuten:
01:18
"How many times must we add two together to make 10,”
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78574
4097
"Wie viele Male müssen wir 2 addieren, um 10 zu bekommen?"
01:22
or, “two times what equals 10?”
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82671
3442
oder "Zweimal wieviel ergibt 10?"
01:26
Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,
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86113
4340
Durch eine Zahl zu teilen, ist im Grunde die Umkehrung der Multiplikation,
01:30
in the following way:
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90453
1948
auf folgende Art und Weise:
01:32
if we multiply any number by a given number x,
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92401
3022
Multiplizieren wir irgendeine Zahl mit einer gegebenen Zahl x,
01:35
we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards
30
95423
4230
können wir fragen: Gibt es eine andere Zahl,
mit der wir danach multiplizieren können, um zur Ausgangszahl zurückzukehren.
01:39
to get back to where we started.
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99653
2633
01:42
If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.
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102286
5058
Gibt es diese Zahl, ist sie der Kehrwert von x.
01:47
For example, if you multiply three by two to get six,
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107344
4101
Multiplizieren wir etwa 3 mit 2, ergibt das 6.
01:51
you can then multiply by one-half to get back to three.
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111445
4119
Multiplizieren wir das mit 0,5 und kommen wieder auf 3.
01:55
So the multiplicative inverse of two is one-half,
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115564
3830
Der Kehrwert von 2 ist also 0,5
01:59
and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.
36
119394
4570
und der Kehrwert von 10 ist ein Zehntel.
02:03
As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse
37
123964
5270
Wie du merkst, ist das Produkt jeder Zahl und ihr Kehrwert
02:09
is always one.
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129234
2030
immer 1.
02:11
If we want to divide by zero,
39
131264
2199
Wollen wir nun durch Null teilen,
02:13
we need to find its multiplicative inverse,
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133463
2380
müssen wir ihren Kehrwert finden,
02:15
which should be one over zero.
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135843
3301
der 1 durch 0 sein sollte.
02:19
This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.
42
139144
5828
Dies muss eine Zahl sein, die mit Null multipliziert, eins ergibt.
02:24
But because anything multiplied by zero is still zero,
43
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4171
Da aber jede Zahl geteilt durch 0 gleich 0 ist,
02:29
such a number is impossible,
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149143
2413
ist solch eine Zahl nicht möglich.
02:31
so zero has no multiplicative inverse.
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151556
3286
Null hat also keinen Kehrwert.
02:34
Does that really settle things, though?
46
154842
2501
Ist diese Antwort zufriedenstellend?
02:37
After all, mathematicians have broken rules before.
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157343
3640
Mathematiker haben doch zuvor auch schon Regeln gebrochen.
02:40
For example, for a long time,
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160983
1730
So konnte man lange Zeit
02:42
there was no such thing as taking the square root of negative numbers.
49
162713
4061
nicht die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen.
02:46
But then mathematicians defined the square root of negative one
50
166774
4087
Doch dann legten die Mathematiker die Quadratwurzel von -1
02:50
as a new number called i,
51
170861
2423
als die neue Zahl i fest
02:53
opening up a whole new mathematical world of complex numbers.
52
173284
4519
und eröffneten somit eine ganz neue mathematische Welt von komplexen Zahlen.
02:57
So if they can do that,
53
177803
1442
Wenn sie dies tun können,
02:59
couldn’t we just make up a new rule,
54
179245
1958
könnten sie dann nicht auch eine neue Regel festlegen,
03:01
say, that the symbol infinity means one over zero,
55
181203
4061
die besagt: Das Symbol für unendlich bedeutet eins durch Null,
03:05
and see what happens?
56
185264
2279
und dann sehen wir weiter.
03:07
Let's try it,
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187543
1050
Versuchen wir es.
03:08
imagining we don’t know anything about infinity already.
58
188593
3130
Stellen wir uns vor, wir wissen nichts über Unendlichkeit.
03:11
Based on the definition of a multiplicative inverse,
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191723
2569
Laut Definition des Kehrwerts
03:14
zero times infinity must be equal to one.
60
194292
4182
muss 0 mal unendlich gleich 1 ergeben.
03:18
That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.
61
198474
6056
Das heißt 0 x unendlich plus 0 x unendlich ergibt 2.
03:24
Now, by the distributive property,
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204530
1957
Gemäß der Distributivgesetze
03:26
the left side of the equation can be rearranged
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206487
2901
kann die linke Seite der Gleichung
auf 0 + 0 x unendlich gekürzt werden.
03:29
to zero plus zero times infinity.
64
209388
3231
03:32
And since zero plus zero is definitely zero,
65
212619
3569
Da 0 +0 auf jeden Fall 0 ergibt,
03:36
that reduces down to zero times infinity.
66
216188
3861
können wir das zu 0 x unendlich zusammenfassen.
03:40
Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,
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220049
3668
Leider hatten wir schon gesagt, dass dies gleich 1 ist,
03:43
while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.
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223717
4636
und auf der anderen Seite der Gleichung steht noch die 2.
03:48
So, one equals two.
69
228353
2885
Also ist 1 gleich 2.
03:51
Oddly enough, that's not necessarily wrong;
70
231238
3226
Seltsamerweise ist das nicht unbedingt falsch;
03:54
it's just not true in our normal world of numbers.
71
234464
3668
nur in unserer normalen Welt der Mathematik stimmt es nicht.
03:58
There’s still a way it could be mathematically valid,
72
238132
2582
Es gibt noch eine Möglichkeit, dass dies mathematisch stimmt,
04:00
if one, two, and every other number were equal to zero.
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240714
4507
wenn nämlich 1, 2 und alle anderen Zahlen gleich 0 sind.
04:05
But having infinity equal to zero
74
245221
2493
Aber da unendlich gleich 0 ist,
04:07
is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.
75
247714
5170
nützt es den Mathematikern und auch keinem anderen was.
04:12
There actually is something called the Riemann sphere
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252884
3230
Da gibt es noch die Riemann-Sphäre,
04:16
that involves dividing by zero by a different method,
77
256114
3295
mit der man mit einer anderen Methode durch Null teilen kann,
04:19
but that’s a story for another day.
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259409
2364
aber das heben wir uns für einen anderen Tag auf.
04:21
In the meantime, dividing by zero in the most obvious way
79
261773
4192
Auf normale Weise durch Null zu teilen,
04:25
doesn’t work out so great.
80
265965
1768
funktioniert also nicht so gut.
04:27
But that shouldn’t stop us from living dangerously
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267733
2941
Aber dies sollte uns nicht davon abhalten, gefährlich zu leben
04:30
and experimenting with breaking mathematical rules
82
270674
2931
und mit mathematischen Regeln zu experimentieren und sie zu brechen,
04:33
to see if we can invent fun, new worlds to explore.
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273605
3878
um herauszufinden, ob wir etwas Lustiges erfinden, neue Welten erforschen können.
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