Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Übersetzung: Nadine Hennig Lektorat: sadegh zabihi

["Bei den schwarzen Löchern hat Gott durch Null geteilt." - Steven Wright]

In the world of math,

In der Welt der Mathematik

many strange results are possible when we change the rules.

sind viele seltsame Ergebnisse möglich, wenn wir die Regeln ändern.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Aber es gibt eine Regel, die wir nicht brechen sollen:

don’t divide by zero.

Teile nicht durch Null.

How can the simple combination of an everyday number

Wie kann so eine einfache Kombination aus einer alltäglichen Zahl

and a basic operation cause such problems?

und einer Grundrechenart so viele Probleme verursachen?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Normalerweise erhält man beim Teilen immer kleiner werdenden Zahlen

gives you bigger and bigger answers.

immer größer werdende Zahlen.

Ten divided by two is five,

10 geteilt durch 2 ist 5,

by one is ten,

durch 1 ist 10,

by one-millionth is 10 million,

durch ein Millionstel ergibt 10 Millionen

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

und so weiter.

Es scheint, wenn man durch Zahlen teilt,

that keep shrinking all the way down to zero,

die immer kleiner werden, bis zu Null,

the answer will grow to the largest thing possible.

ist das Ergebnis die größtmögliche Zahl.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

Müsste das Ergebnis von 10 geteilt durch 0 nicht eigentlich undendlich sein?

That may sound plausible.

Das mag logisch klingen,

But all we really know is that if we divide 10

aber wir wissen nur eins:

Teilen wir 10 durch eine Zahl, die gegen 0 tendiert,

by a number that tends towards zero,

the answer tends towards infinity.

tendiert das Ergebnis gegen undendlich.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

Das ist nicht dasselbe wie 10 geteilt durch 0

is equal to infinity.

ist gleich unendlich.

Why not?

Warum nicht?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Schauen wir uns mal an, was Division eigentlich ist.

Ten divided by two could mean,

10 geteilt durch 2 könnte bedeuten:

"How many times must we add two together to make 10,”

"Wie viele Male müssen wir 2 addieren, um 10 zu bekommen?"

or, “two times what equals 10?”

oder "Zweimal wieviel ergibt 10?"

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Durch eine Zahl zu teilen, ist im Grunde die Umkehrung der Multiplikation,

in the following way:

auf folgende Art und Weise:

if we multiply any number by a given number x,

Multiplizieren wir irgendeine Zahl mit einer gegebenen Zahl x,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

können wir fragen: Gibt es eine andere Zahl,

mit der wir danach multiplizieren können, um zur Ausgangszahl zurückzukehren.

to get back to where we started.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Gibt es diese Zahl, ist sie der Kehrwert von x.

For example, if you multiply three by two to get six,

Multiplizieren wir etwa 3 mit 2, ergibt das 6.

you can then multiply by one-half to get back to three.

Multiplizieren wir das mit 0,5 und kommen wieder auf 3.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Der Kehrwert von 2 ist also 0,5

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

und der Kehrwert von 10 ist ein Zehntel.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Wie du merkst, ist das Produkt jeder Zahl und ihr Kehrwert

is always one.

immer 1.

If we want to divide by zero,

Wollen wir nun durch Null teilen,

we need to find its multiplicative inverse,

müssen wir ihren Kehrwert finden,

which should be one over zero.

der 1 durch 0 sein sollte.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Dies muss eine Zahl sein, die mit Null multipliziert, eins ergibt.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Da aber jede Zahl geteilt durch 0 gleich 0 ist,

such a number is impossible,

ist solch eine Zahl nicht möglich.

so zero has no multiplicative inverse.

Null hat also keinen Kehrwert.

Does that really settle things, though?

Ist diese Antwort zufriedenstellend?

After all, mathematicians have broken rules before.

Mathematiker haben doch zuvor auch schon Regeln gebrochen.

For example, for a long time,

So konnte man lange Zeit

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

nicht die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Doch dann legten die Mathematiker die Quadratwurzel von -1

as a new number called i,

als die neue Zahl i fest

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

und eröffneten somit eine ganz neue mathematische Welt von komplexen Zahlen.

So if they can do that,

Wenn sie dies tun können,

couldn’t we just make up a new rule,

könnten sie dann nicht auch eine neue Regel festlegen,

say, that the symbol infinity means one over zero,

die besagt: Das Symbol für unendlich bedeutet eins durch Null,

and see what happens?

und dann sehen wir weiter.

Let's try it,

Versuchen wir es.

imagining we don’t know anything about infinity already.

Stellen wir uns vor, wir wissen nichts über Unendlichkeit.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

Laut Definition des Kehrwerts

zero times infinity must be equal to one.

muss 0 mal unendlich gleich 1 ergeben.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

Das heißt 0 x unendlich plus 0 x unendlich ergibt 2.

Now, by the distributive property,

Gemäß der Distributivgesetze

the left side of the equation can be rearranged

kann die linke Seite der Gleichung

auf 0 + 0 x unendlich gekürzt werden.

to zero plus zero times infinity.

And since zero plus zero is definitely zero,

Da 0 +0 auf jeden Fall 0 ergibt,

that reduces down to zero times infinity.

können wir das zu 0 x unendlich zusammenfassen.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

Leider hatten wir schon gesagt, dass dies gleich 1 ist,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

und auf der anderen Seite der Gleichung steht noch die 2.

So, one equals two.

Also ist 1 gleich 2.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Seltsamerweise ist das nicht unbedingt falsch;

it's just not true in our normal world of numbers.

nur in unserer normalen Welt der Mathematik stimmt es nicht.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Es gibt noch eine Möglichkeit, dass dies mathematisch stimmt,

if one, two, and every other number were equal to zero.

wenn nämlich 1, 2 und alle anderen Zahlen gleich 0 sind.

But having infinity equal to zero

Aber da unendlich gleich 0 ist,

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

nützt es den Mathematikern und auch keinem anderen was.

There actually is something called the Riemann sphere

Da gibt es noch die Riemann-Sphäre,

that involves dividing by zero by a different method,

mit der man mit einer anderen Methode durch Null teilen kann,

but that’s a story for another day.

aber das heben wir uns für einen anderen Tag auf.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

Auf normale Weise durch Null zu teilen,

doesn’t work out so great.

funktioniert also nicht so gut.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Aber dies sollte uns nicht davon abhalten, gefährlich zu leben

and experimenting with breaking mathematical rules

und mit mathematischen Regeln zu experimentieren und sie zu brechen,

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

um herauszufinden, ob wir etwas Lustiges erfinden, neue Welten erforschen können.