Why can't you divide by zero? - TED-Ed

翻訳: Misaki Sato 校正: Tomoyuki Suzuki

In the world of math,

数学の世界では

many strange results are possible when we change the rules.

規則を変えることで いくつもの奇妙な結果が得られます

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

しかし 破ってはならないとされる規則が ひとつあります

don’t divide by zero.

数を0で割ってはいけない ということです

How can the simple combination of an everyday number

身近な数と基本的な計算の 単純な組み合わせで

and a basic operation cause such problems?

なぜこのような 大問題が生じるのでしょうか？

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

通常 数をより小さな数で割るほど

gives you bigger and bigger answers.

答えはより大きくなります

Ten divided by two is five,

10÷2は5ですが

by one is ten,

1で割ると10です

by one-millionth is 10 million,

100万分の1で割ると1000万

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

このように続きます

ですから もし0になるまで 数を小さくして

that keep shrinking all the way down to zero,

割っていけば

the answer will grow to the largest thing possible.

答えが 可能な限りの 大きな数にになりそうです

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

では 10を0で割ると 答えは無限大になるのでしょうか？

That may sound plausible.

これは もっともらしく聞こえます

But all we really know is that if we divide 10

しかし 確実にいえることは

10を割る数字を どんどん0に近づけていくと

by a number that tends towards zero,

the answer tends towards infinity.

その答えは無限に 大きくなっていくということだけです

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

しかし 10を0で割ったときに

is equal to infinity.

答えが無限大になると言っている わけではありません

Why not?

なぜそうならないのでしょうか？

Well, let’s take a closer look at what division really means.

割り算の意味を 詳しく見ていきましょう

Ten divided by two could mean,

10÷2とは

"How many times must we add two together to make 10,”

2を何回足すと10になるか

or, “two times what equals 10?”

あるいは 2に何を掛けると 10になるかという意味です

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

数で割ることは 基本的に 次のように

in the following way:

掛け算の逆を行うことです

if we multiply any number by a given number x,

どんな数字であれ ある数字Xを掛けた後

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

さらに新たな数字を掛けて

to get back to where we started.

元の数に戻るようにしたいとします

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

この新しい数を Xの逆数と呼びます

For example, if you multiply three by two to get six,

例えば 3×2が6なら

you can then multiply by one-half to get back to three.

6に1/2を掛けると3に戻ります

So the multiplicative inverse of two is one-half,

つまり 2の逆数は1/2です

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

同様に 10の逆数は1/10です

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

お気づきのように どんな数でも その逆数を掛けると

is always one.

必ず1になります

If we want to divide by zero,

0で割るならば

we need to find its multiplicative inverse,

掛けることが可能な逆数が 必要となります

which should be one over zero.

これは 1/0になるはずです

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

これに0を掛けると 1になるべきです

But because anything multiplied by zero is still zero,

しかし 0を掛けたら 0にしかならないので

such a number is impossible,

このような数字はあり得ません

so zero has no multiplicative inverse.

つまり0には 逆数はないということです

Does that really settle things, though?

これで本当に問題は 解決したのでしょうか？

After all, mathematicians have broken rules before.

でも 実のところ 数学者達は 規則を破ってきたのです

For example, for a long time,

例えば 長い間

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

負の数の平方根というものは ありませんでした

But then mathematicians defined the square root of negative one

数学者は -1の平方根を

as a new number called i,

ｉという新たな数として定義し

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

複素数というまったく新しい 数学の世界をひらいたのです

So if they can do that,

彼らにそれができたのならば

couldn’t we just make up a new rule,

我々だって新しい規則を 作れるのでは？

say, that the symbol infinity means one over zero,

無限の記号が1/0を表すとすると

and see what happens?

何が起きるのでしょうか？

Let's try it,

試してみましょう

imagining we don’t know anything about infinity already.

無限についてまだ何も 知らないとしましょう

Based on the definition of a multiplicative inverse,

逆数の定義に基づいて

zero times infinity must be equal to one.

0×無限は 1になるはずです

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

つまり 0x無限+0x無限は 2になります

Now, by the distributive property,

分配法則によって

the left side of the equation can be rearranged

等式の左辺を整理すると

to zero plus zero times infinity.

(0+0)x無限になります

And since zero plus zero is definitely zero,

0+0は絶対に0なので

that reduces down to zero times infinity.

これは 0×無限と簡略化されます

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

しかし これは1と等しいと 既に定義済みである一方

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

反対側の式は なおも2のままなので

So, one equals two.

1と2が等しいことになります

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

奇妙な話ですが これは必ずしも 間違っているわけではありません

it's just not true in our normal world of numbers.

一般的な数の世界では 正しくないだけです

There’s still a way it could be mathematically valid,

実は数学的に矛盾の無い 定義の仕方があるんです

if one, two, and every other number were equal to zero.

1、 2 その他の数全てが 0と等しいと定義すればいいんです

But having infinity equal to zero

しかし 無限が0と等しいと定義しても

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

数学者にも他の誰にも 結局のところ全く役立ちません

There actually is something called the Riemann sphere

実はリーマン球面と 呼ばれるものがあり

that involves dividing by zero by a different method,

そこでは数を0で割る 別の考え方がありますが

but that’s a story for another day.

これについては 別の機会に譲りましょう

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

今のところ 数を0で割ることは

doesn’t work out so great.

明らかにうまくいきません

But that shouldn’t stop us from living dangerously

だからといって スリルのある人生を生き

and experimenting with breaking mathematical rules

数学の規則を破って これを試し

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

楽しく新たな世界を見いだそうという 試みを止められるものではありません