Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Tłumaczenie: Ola Królikowska Korekta: Rysia Wand

In the world of math,

W matematyce

many strange results are possible when we change the rules.

zmiana zasad umożliwia wiele dziwnych wyników.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Jest jednak zasada, przed łamaniem której nas przestrzegano.

don’t divide by zero.

Nie dziel przez zero.

How can the simple combination of an everyday number

Jak połączenie zwykłej liczby

and a basic operation cause such problems?

i prostego działania matematycznego może być takim problemem?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Zwykle dzielenie przez coraz mniejsze liczby

gives you bigger and bigger answers.

daje coraz większy wynik.

Ten divided by two is five,

Dziesięć podzielone przez dwa to pięć,

by one is ten,

przez jeden to dziesięć,

by one-millionth is 10 million,

przez jedną milionową to 10 milionów

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

i tak dalej.

Dlatego, jeśli dzielimy przez liczby,

that keep shrinking all the way down to zero,

które maleją aż do zera,

the answer will grow to the largest thing possible.

wynik powinien jak najbardziej rosnąć.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

Dlaczego wynikiem dzielenia 10 przez zero nie jest nieskończoność?

That may sound plausible.

Brzmi sensownie,

But all we really know is that if we divide 10

ale tak naprawdę wiemy tylko, że jeśli podzielimy 10

by a number that tends towards zero,

przez liczbę, która zmierza do zera,

the answer tends towards infinity.

wynik będzie dążył do nieskończoności.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

To nie to samo, co stwierdzenie, że 10 podzielone przez zero

is equal to infinity.

jest równe nieskończoności.

Why not?

Dlaczego nie?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Sprawdźmy, czym tak naprawdę jest dzielenie.

Ten divided by two could mean,

Dziesięć podzielić przez dwa może oznaczać

"How many times must we add two together to make 10,”

"Ile razy trzeba dodać dwa, żeby otrzymać 10?"

or, “two times what equals 10?”

albo "Dwa razy ile równa się 10?".

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Dzielenie przez liczbę to dosłownie odwrotność mnożenia przez nią

in the following way:

i wygląda tak.

if we multiply any number by a given number x,

Po pomnożeniu dowolnej liczby przez X,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

należy poszukać nowej liczby, przez którą można pomnożyć wynik,

to get back to where we started.

żeby wrócić do punktu wyjścia.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Taką liczbę nazywamy liczbą odwrotną X.

For example, if you multiply three by two to get six,

Przykładowo jeśli pomnożymy trzy przez dwa, żeby uzyskać sześć,

you can then multiply by one-half to get back to three.

pomnożenie sześciu przez jedną drugą pozwoli wrócić do trzech.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Liczbą odwrotną dla 2 jest jedna druga,

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

a liczbą odwrotną dla 10 jest jedna dziesiąta.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Można zauważyć, że wynik mnożenia każdej liczby i jej liczby odwrotnej

is always one.

to zawsze jeden.

If we want to divide by zero,

Jeśli chcemy dzielić przez zero,

we need to find its multiplicative inverse,

musimy znaleźć jego liczbę odwrotną.

which should be one over zero.

Byłaby to jedna zerowa.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Po pomnożeniu przez zero ta liczba musiałaby dać jeden.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Ale ponieważ każda liczba pomnożona przez zero to nadal zero,

such a number is impossible,

taka liczba jest niemożliwa,

so zero has no multiplicative inverse.

dlatego zero nie ma liczby odwrotnej.

Does that really settle things, though?

Czy to kończy sprawę?

After all, mathematicians have broken rules before.

Przecież matematycy łamali już zasady.

For example, for a long time,

Przez długi czas

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

nie było czegoś takiego, jak pierwiastek liczby ujemnej.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Wtedy matematycy zdefiniowali pierwiastek z minus jednego

as a new number called i,

jako nową liczbę zwaną "i",

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

otwierając erę liczb zespolonych.

So if they can do that,

Jeśli mogli to zrobić,

couldn’t we just make up a new rule,

czemu nie można wymyślić zasady,

say, that the symbol infinity means one over zero,

według której nieskończoność oznacza jedną zerową

and see what happens?

i zobaczyć, co się stanie?

Let's try it,

Spróbujmy.

imagining we don’t know anything about infinity already.

Powiedzmy, że nic nie wiemy o nieskończoności.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

Korzystając z definicji liczby odwrotnej,

zero times infinity must be equal to one.

zero razy nieskończoność powinno dać jeden.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

To znaczy, że 0 razy nieskończoność plus 0 razy nieskończoność daje dwa.

Now, by the distributive property,

Korzystając z rozdzielności działania,

the left side of the equation can be rearranged

lewą stronę równania można przekształcić

to zero plus zero times infinity.

w zero plus zero razy nieskończoność.

And since zero plus zero is definitely zero,

Ponieważ zero plus zero to na pewno zero,

that reduces down to zero times infinity.

zostaje zero razy nieskończoność.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

Tyle że przecież ustaliliśmy, że to miało dać jeden,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

a tu prawa strona równa się dwa.

So, one equals two.

Wychodzi, że jeden jest równe dwa.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Co ciekawe, nie jest to do końca błąd.

it's just not true in our normal world of numbers.

To tylko nieprawda w świecie normalnych liczb.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Mogłoby to być matematycznie prawdziwe,

if one, two, and every other number were equal to zero.

gdyby jeden, dwa i każda inna liczba równały się zeru.

But having infinity equal to zero

Ale nieskończoność równa zeru

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

nie przydaje się ani matematykom, ani nikomu innemu.

There actually is something called the Riemann sphere

Co prawda istnieje Sfera Riemanna,

that involves dividing by zero by a different method,

w której dzieli się przez zero,

but that’s a story for another day.

ale to już inna historia.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

Dzielenie przez zero w najbardziej oczywisty sposób

doesn’t work out so great.

nie jest takie super.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Ale to nie powinno nas powstrzymywać przed podejmowaniem ryzyka

and experimenting with breaking mathematical rules

i eksperymentowaniem z łamaniem matematycznych reguł,

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

żeby zobaczyć, czy możemy odkryć nowe ciekawe światy.